专题14三角形（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

这是一份专题14三角形（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共43页。
2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题14三角形（共50题）
一．选择题（共16小题）
1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）

A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
3．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
4．（2020•甘孜州）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
【分析】利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解析】∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
故选：B．
5．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．
【解析】∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
6．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A．101313 B．91313 C．81313 D．71313
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC＝3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313，
故选：D．
7．（2020•鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，由AAS证明△OGA≌△OHB（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；

∵∠OCA＝∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，
得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正确；

作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；

假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMD=∠DMO，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
8．（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）

A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解析】如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝62km，
则PC＝32km，
则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．

9．（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．
故选：D．
10．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）

A．120° B．130° C．145° D．150°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解析】∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；
故选：B．
11．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）

A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解析】∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
12．（2020•鄂州）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．35° C．55° D．65°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．
【解析】如图：

∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵a∥b，
∴∠4+∠2＝∠3＝70°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．
故选：A．
13．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B．12 C．13 D．14
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DFBC=EFAB=DEAC=12，
∴△DEF∽△ABC，
∴S△DEFS△ABC=（DEAC）2＝（12）2=14，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是14，
故选：D．
14．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．63 B．9 C．6 D．33
【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD=3AB＝3，于是得到结论．
【解析】连接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC=3，
∴AD＝CD=3AB＝3，
∴四边形ABCD的面积＝2×12×3×3=33，
故选：D．

15．（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（　　）

A．30 B．25 C．22.5 D．20
【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=12BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=14，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，
即S△ADE：15＝1：3，
∴S△ADE＝5，
∴S△ABC＝5+15＝20．
故选：D．

16．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
又∵CD为中线，
∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．
故选：B．

二．填空题（共14小题）
17．（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　＝　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【解析】∵S△ABC=12×2×4＝4，S△ABD＝2×5-12×5×1-12×1×3-12×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
18．（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　1　．

【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
∴EC＝1，
故答案为：1
19．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）　．（只填一个即可）

【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
【解析】∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
20．（2020•哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝63，CD＝1，则BC的长为　5或7　．
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的意义，求出BD的长，再分类进行解答．
【解析】在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝63，
∴BD=ADtanB=633=6，
如图1、图2所示：
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7或5．

21．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　2　．

【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=12BC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2．
【解析】∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
22．（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　45　．

【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
【解析】延长BD到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C点作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝HC，
∵BD＝8，AC＝11，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，
∴HF＝HC＝8﹣3＝5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD中，
∴BC=82+42=45，
故答案为：45

23．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　10或11　．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
24．（2020•济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是　4　（写出一个即可）．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，
故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以，4．
故答案为：4．
25．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．

【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
26．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　78°　．

【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解析】过O作射线BP，

∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，
故答案为：78°．
27．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
∠B=∠DAB=ED∠A=∠DEF，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
28．（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是　BD＝CD　（写出一个即可）．

【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
AB=AC∠ABD=∠ACDBD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
29．（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　140°　．

【分析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．
【解析】如图，

∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，
∵∠D＝45°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案为：140°．
30．（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为23，则m的值为　2或27　．

【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=3，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【解析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC＝AB＝2，
∴BE=3，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
∵BD＝23，
∴BE＝DE，
∴AD＝AB＝2，
∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
∵BD′＝23，
∴D′E＝33，
∴AD′=(33)2+12=27，
∴m＝27，
综上所述，m的值为2或27，
故答案为：2或27．

三．解答题（共20小题）
31．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．

【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
32．（2020•南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
33．（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
34．（2020•铜仁市）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
35．（2020•泸州）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．

【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
36．（2020•无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．

【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
37．（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
38．（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=25+144=13．
39．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
40．（2018秋•溧水区期末）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；

（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
41．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°-12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE=12∠AEB＝90°-12n°-12m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°-12n°-12m°=12n°．
42．（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．

【分析】（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
43．（2020•哈尔滨）已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

【分析】（1）根据SAS可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∵∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵BF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝45°，
∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，
∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．
44．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．

【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，证明△AEF∽△ACB，推出AFAB=AEAC，由此求出AF即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝42×22=4．

（2）①如图2中，

∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP，
∵AE＝EB，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．

②如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，

∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°，
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AFAB=AEAC，即AF42=22833，
∴AF＝23，
在Rt△AFP，AF＝FP，
∴AP=2AF＝26．
方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°． AP＝ABcos30°＝26．
45．（2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解析】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；

（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．


46．（2020•泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，可证BC∥AE，AC∥BE，可得四边形BEAC是平行四边形；
（2）①由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，由“SAS”可证△EGH≌△CGF，可得∠BFC＝∠H，CF＝EH，可得EH＝BE，由等腰三角形的性质可得结论．
【解析】（1）四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：
∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，
∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BC∥AE，AC∥BE，
∴四边形BEAC是平行四边形；
（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，

∵G是EC的中点，
∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，
∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BFC．
47．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？　是　．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．

【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．
（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题．
（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）如图（2）中，

∵∠EDC＝90°，EF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠A＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，
∴∠ADB+∠FDC＝90°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
故答案为是．

（2）结论成立：
理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠EDF，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠EDF，
∴EF＝FD，
∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴EF＝FC，
∴点F是EC的中点．

（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．

∴DG=12EC=92，
∵BD＝AB＝6，
在Rt△BDG中，BG=DG2+BD2=(92)2+62=152，
∴CB=152-92=3，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+32=35，
∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
∴ACEC=BCCD，
∴359=3CD，
∴CD=955，
∴AD＝AC+CD＝35+955=2455．
48．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
（2）结论：AB⊥BE．证明C，E，B，D四点共圆即可解决问题．
（3）设BC交DE于O．连接AO．想办法证明△ACO是等腰直角三角形，OA＝OB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．

（2）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．

（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD∽△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB=2m，
∴tan∠ABC=ACCB=mm+2m=2-1．

49．（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；
②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴BMBC=BDAB=12，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，
∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，
∴BE=12PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，
∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，
∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，
∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，
∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，
∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），
∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
50．（2020•黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【解析】（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE=AD2+DE2=9+4=13，
∴BD=13；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF=AFAC，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×32=32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×12=12，
FD＝CD﹣CF＝2-12=32，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，
∴AD=3．