2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析【KS5U 高考】

专题五　平面向量

【真题典例】

5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量

基本定理及坐标表示

挖命题

【考情探究】

分析解读　　高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.

破考点

【考点集训】

考点一　平面向量的基本概念与线性运算

1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　A　

2.在△ABC中,G为重心,记a=,b=,则=(　　)

A.a-b　　　　B.a+b　　　　C.a-b　　　　D.a+b

答案　A　

3.M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为(　　)

A.　　　　B.　　　　 C.1　　　　D.2

答案　B　

考点二　向量共线问题

4.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若∥a,则点B的坐标为　　　　. 

答案　(-3,-6)

考点三　平面向量基本定理

5.D是△ABC所在平面内一点,=λ+μ(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件　　　　C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B　

6.已知△OAB,若点C满足=2,=λ+μ(λ,μ∈R),则+=(　　)

A.　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　D.

答案　D　

7.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=(　　)

A.　　　　B.　　　　　　　　C.1　　　　D.

答案　A　

考点四　平面向量的坐标运算

8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,则实数m=(　　)

A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-

答案　D　

9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,则t=　　　　. 

答案　±3

炼技法

【方法集训】

方法1　平面向量的线性运算技巧

1.在△ABC中,点D满足=2-,则(　　)

A.点D不在直线BC上　　　　B.点D在BC的延长线上　　　　

C.点D在线段BC上　　　  　D.点D在CB的延长线上

答案　D　

2.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=　　　　. 

答案　2

方法2　向量共线问题的解决方法

3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,则x=(　　)

A.-3　　　　B.-　　　　C.　　　　D.

答案　B　

4.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实数λ=(　　)

A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2

答案　D　

5.在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y(x>0,y>0),则4x+y的最小值为　　　　. 

答案　

方法3　平面向量的坐标运算的解题策略

6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,则实数λ=(　　)

A.-3　　　　B.　　　　C.1　　　　D.3

答案　A　

7.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=　　　　. 

答案　

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

1.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　. 

答案　

2.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　. 

答案　5

3.(2009天津,15,4分)在四边形ABCD中,==(1,1),+=,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

答案　

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　平面向量的基本概念与线性运算

1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　)

A.-　　　　B.-　　　　C.+　　　　D.+

答案　A　

2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(　　)

A.=-+　　　　B.=-　　　　C.=+　　　　D.=-

答案　A　

3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为　　　　. 

答案　90°

考点二　向量共线问题

1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6

答案　B　

2.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　. 

答案　-3

3.(2016课标Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. 

答案　-6

考点三　平面向量基本定理

1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)　　　

C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　 D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

答案　B　

2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. 

答案　

考点四　平面向量的坐标运算

1.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　)

A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2

答案　A　

2.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(　　)

A.-8　　　　B.-6　　　　C.6　　　　D.8

答案　D　

3.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)

A.(-2,1)　　　　B.(2,-1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(4,3)

答案　B　

4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 

答案　

5.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　. 

答案　-3

C组　教师专用题组

1.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(　　)

A.|b|=1　　　　B.a⊥b　　　　C.a·b=1　　　　D.(4a+b)⊥

答案　D　

2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是(　　)

A.|a·b|≤|a||b|　　　　B.|a-b|≤||a|-|b||　　　　C.(a+b)2=|a+b|2　　　　D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案　B　

3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(　　)

A.　　　　B. C.　　　　D.

答案　A　

4.(2014福建文,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案　D　

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2019届天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:

①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有(　　)

A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个

答案　C　

2.(2017天津河北一模,7)若O为△ABC所在平面内的任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形　　　　B.等腰三角形　　　　C.等腰直角三角形　　　　D.等边三角形

答案　B　

3.(2018天津和平一模,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.

答案　B　

4.(2018天津河东一模,7)设P是△ABC边BC上的任意一点,Q为AP的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1

答案　C　

5.(2018天津和平二模,7)如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=2,G为线段EF上的一点,且=,=λ+μ(λ,μ∈R),则的值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

二、填空题(每小题5分,共45分)

6.(2018天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60°,||=2,点D在边AB上,点E在边BC上,=,=,若·=,则||=　　　　. 

答案　5

7.(2019届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,=2,则·=　　　　. 

答案　

8.(2018天津部分区县二模,14)在△ABC中,AB=6,AC=6,∠BAC=,点D满足=,点E在线段AD上运动(不包括端点),若=λ+μ(λ,μ∈R),则3λ+取得最小值时,的模为　　　　. 

答案　2

9.(2018天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内的一点,且AP=1,若=x+y,则3x+2y的最大值为　　　　. 

答案　2

10.(2018天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=AB=1,F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是　　　　. 

答案　[0,2]

11.(2017天津河东二模,14)如图,在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足==2,若||=2,||=3,∠BAC=120°,则·的值为　　　　. 

答案　-2

12.(2017天津实验中学热身训练,13)已知△ABC的外接圆圆心为P,若点P满足=(+),则cos∠BAC=　　　. 

答案　

13.(2017天津新华中学模拟,14)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是　　　　. 

答案　

14.(2017天津耀华中学二模,14)已知函数f(x)=|-x|(x∈R),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为　　　　. 

答案　4

三、解答题(共10分)

15.(2019届天津河西期中,19)设平面内的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),点P在直线OM上,且·=-16,其中O为坐标原点.

(1)求的坐标;

(2)求∠APB的余弦值;

(3)设t∈R,求|+t|的最小值.

解析　(1)设P(x,y),由点P在直线OM上,可知与共线,而=(2,2),

∴2x-2y=0,即x=y,∴P(x,x).

∴=-=(-1-x,-3-x),=-=(5-x,3-x),

∴·=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)

=2x2-4x-14=-16⇒x=1,

∴P(1,1),则=(1,1).

(2)由(1)得P(1,1),=(-2,-4),=(4,2),

∴||==2,

||==2,

∴cos<,>==-.

∴∠APB的余弦值为-.

(3)+t=(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3),

∴|+t|===.

当t=2时,|+t|min=.