必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究4 自由落体运动学案

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考点1：自由落体运动的理解
1．自由落体运动的理解
(1)条件：①初速度为零；②只受重力。
(2)运动性质：是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动。
(3)v­t图像：是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，斜率k＝g。
【点拨】 自由落体运动是一种理想化模型：只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体从静止下落才可以当作自由落体运动。
2．自由落体加速度(重力加速度)的理解
(1)方向：总是竖直向下。
(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同。
②大小与在地球上的纬度、距地面的高度有关：
【点拨】 1重力加速度的方向既不能说是“垂直向下”，也不能说是“指向地心”，只有在赤道或两极时重力加速度的方向才指向地心。
2物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但不同天体表面的重力加速度不同。
【例1】 (多选)关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是( )
A．竖直向下的运动一定是自由落体运动
B．熟透的苹果从树枝开始自由下落的运动可被视为自由落体运动
C．同一地点，轻重物体的g值一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
【解析】BC 物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错误；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力的作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，B正确；同一地点，重力加速度都相同，与质量无关，C正确；赤道处g值小于北极处，D错误。
【技巧与方法】
分析自由落体运动的两点注意
（1）物体在真空中下落的运动不一定是自由落体运动，因为初速度不一定为零。
（2）物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但同一物体在不同的星球上所受重力一般不同，所以物体下落时的加速度一般不同。
【针对训练】
1．(对自由落体运动的理解)(多选)下列关于自由落体运动说法中正确的是( )
A．一张纸片在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
B．一个钢球在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同
D．轻物体和重物体的重力加速度不同
【解析】BC 地球表面有空气，纸片受到的空气阻力较大，不能忽略，钢球受到的阻力比重力小得多，可以忽略，因此钢球的自由下落可以看成自由落体运动，纸片的自由下落不能看成自由落体运动，A错误，B正确；重力加速度是矢量，方向竖直向下，在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，重力加速度与物体的质量无关，C正确，D错误。
2．(对重力加速度的理解)关于重力加速度，以下说法正确的是 ( )
A．轻重不同的物体的重力加速度不同
B．重力加速度表示自由下落的物体运动的快慢
C．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的大小
D．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢
【解析】D 重力加速度的大小与所处的位置有关，与物体的大小、形状、质量无关，轻重不同的物体在同一地点具有相同的重力加速度，故A项错误；重力加速度是物体只受重力时产生的加速度，表示自由落体运动速度变化的快慢，与速度大小以及速度变化均无关，故D项正确，B、C项错误。
考点2：自由落体运动规律的应用
1.自由落体运动的基本公式：
匀变速直线运动规律eq \(――→,\s\up14(特例))自由落体运动规律
eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\c1(v＝v0＋at,x＝v0t＋eq \f(1,2)at2,v2－veq \\al(2,0)＝2ax))eq \(――→,\s\up11(v0＝0),\s\d4(a＝g))eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\c1(v＝gt,h＝eq \f(1,2)gt2,v2＝2gh))
2．自由落体运动的中间一段过程的分析方法：
(1)差值法：从物体开始下落开始研究，物体做自由落体运动，如求物体下落后第4 s内的位移，可以用自由落体前4 s的位移与前3 s的位移的差求得。
(2)初速法：如求物体下落后第4 s内的位移，可以先根据v0＝gt1求出第4 s内的初速度，再利用h＝v0t2＋eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)求出相应的位移。
【例2】 如图所示，有一根长为l＝0.5 m的木棍AB，悬挂在某房顶上，它自由下落时经过一高为d＝1.5 m的窗口，通过窗口所用的时间为0.2 s，求木棍B端离窗口上沿的距离h。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
【解析】 设木棍B端下落到窗口上沿所用的时间为t，则A端下落到窗口下沿所用的总时间为t＋0.2 s，B下落到上沿有h＝eq \f(1,2)gt2，A下落到下沿有h＋d＋l＝eq \f(1,2)g(t＋0.2 s)2，联立以上两式得：t＝0.9 s，h＝4.05 m。
【技巧与方法】
对于不可以看作质点的物体的运动，比如计算棒、铁链从静止到自由下落经过某点时所用的时间，因为棒、铁链有一定的长度，所以经过某一点时不是一瞬间，而是一段时间。解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移。应借助示意图，搞清楚物体的运动过程，从而解决问题。
【针对训练】
3．甲、乙两物体做自由落体运动，已知甲物体的质量是乙物体的质量的一半，而甲距地面的高度是乙距地面高度的2倍，下列说法正确的是( )
A．甲物体的加速度是乙物体加速度的eq \f(1,2)
B．甲物体着地时的速度是乙物体着地时的速度的2倍
C．甲物体下落的时间是乙物体下落的时间的eq \r(2)倍
D．甲、乙两物体的末速度相同
【解析】C 甲、乙两物体均做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故A错误；根据v2＝2gh，可得末速度v＝eq \r(2gh)，故甲物体着地时的速度是乙物体着地时的速度的eq \r(2)倍，故B、D错误；根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(eq \f(2h,g))等，故甲物体下落的时间是乙物体下落的时间的eq \r(2)倍，故C正确。
考点3：自由落体运动的实验探究
1.实验器材
打点计时器、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、交流电源、毫米刻度尺。
2．探究过程
(1)按如图所示将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路。
(2)使纸带穿过两个限位孔，下端用夹子夹住连到重物上，让重物靠近打点计时器。
(3)用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，启动计时器，放开纸带让重物自由下落，重物落地后立刻关闭电源，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。
(4)改变重物的质量，重复几次上面的实验，选取一条点迹清晰的纸带进行处理。
3．数据处理
(1)用刻度尺测量打点计时器打出的纸带上的点之间的距离。(2)用vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)求出各点的速度，作v­t图像，图像应为一条过原点的倾斜直线。
(3)根据v­t图像的斜率求加速度或根据Δx＝aT2计算加速度。
4．实验结论
自由落体运动是初速度为零、加速度恒定(约为9.8 m/s2，与物体的质量无关)的匀加速直线运动。
【例3】 某同学用如图甲所示的装置测定重力加速度。
乙
(1)电火花打点计时器的工作电压为 。
(2)打出的纸带如图乙所示，实验时是纸带的 (选填“A”或“B”)端和重物相连接。
(3)纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出实验时重物的加速度为 m/s2。(电火花打点计时器的工作频率为50 Hz)
(4)当地的重力加速度为9.8 m/s2，该测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因是 。
【解析】 (1)电火花打点计时器的工作电压为220 V。
(2)由于各点之间时间间隔均为T＝0.02 s，重物下落过程中速度越来越大，故相邻两点间距离越来越大，由此可知，B端与重物相连。
(3)由Δx＝aT2得x23－x78＝5aT2，解得a＝eq \f(x23－x78,5T2)＝9.4 m/s2。
(4)重物拖着纸带下落时受到摩擦力和空气阻力的作用，加速度必然小于重力加速度。
【答案】 (1)220 V (2)B (3)9.4 (4)受摩擦力和空气阻力作用
【技巧与方法】
研究自由落体运动、测定自由落体加速度的其他常用方法
(1)频闪照相法
①频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置(如图所示)。
②根据匀变速运动的推论Δh＝gT 2可求出重力加速度g＝eq \f(Δh,T 2)。也可以根据veq \s\d5(eq \f(t,2))＝eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝eq \f(v－v0,t)，可求出重力加速度g。
(2)滴水法
如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去。用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次数1,2,3…，当数到n时按下停表停止计时，读出停表示数t，则每一滴水下落的时间为T＝eq \f(t,n)，由h＝eq \f(1,2)gT 2得g＝eq \f(2h,T 2)＝eq \f(2n2h,t 2)。
由于h＝eq \f(1,2)gT 2，则h∝T 2。因此先画出h­T 2图像，利用图线的斜率来求重力加速度更准确。
【针对训练】
4．甲、乙两同学通过下面的实验测量人的反应时间。实验步骤如下：
(1)甲用两个手指轻轻捏住量程为L的木尺上端，让木尺自然下垂。乙把手放在尺的下端(位置恰好处于L刻度处，但未碰到尺)，准备用手指夹住下落的尺。
(2)甲在不通知乙的情况下，突然松手，尺子下落；乙看到尺子下落后快速用手指夹住尺子。若夹住尺子的位置刻度为L1，重力加速度大小为g，则乙的反应时间为 (用L、L1和g表示)。
(3)已知当地的重力加速度大小为g＝9.80 m/s2，L＝30.0 cm，L1＝10.4 cm。乙的反应时间为 s。(结果保留两位有效数字)
(4)写出一条能提高测量结果准确程度的建议：
。
【解析】 (2)根据自由落体运动的规律，得L－L1＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝ eq \r(eq \f(2L－L1,g))。
(3)将g＝9.80 m/s2，L＝30.0 cm＝0.300 m，L1＝10.4 cm
＝0.104 m，代入t＝ eq \r(eq \f(2L－L1,g))得t＝0.20 s。
(4)建议：多次测量取平均值；初始时乙的手指尽可能接近尺子。
【答案】 (2) eq \r(eq \f(2L－L1,g)) (3)0.20 (4)多次测量取平均值；初始时乙的手指尽可能接近尺子
考点达标
考点一 自由落体运动的理解
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫作自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动才是自由落体运动
D．当空气阻力可以忽略不计时，物体从静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
【解析】CD 自由落体运动的条件：只受重力，初速度v0＝0，A、B错误，C正确；若空气阻力可以忽略不计，物体由静止开始自由下落的运动可以当成自由落体运动来处理，D正确。
2．1971年发射的阿波罗15号飞船把一辆月球车送上月球，美国航天员做了一个落体实验：在月球上的同一高度同时释放羽毛和铁锤(月球上没有空气)，如图所示，出现的现象是( )
A．羽毛先落地，铁锤后落地
B．铁锤先落地，羽毛后落地
C．铁锤和羽毛都做自由落体运动，重力加速度为9.8 m/s2
D．铁锤和羽毛都做自由落体运动，同时落地
【解析】D 月球上没有空气，铁锤和羽毛由静止释放只受重力作用，他们都做自由落体运动，同时落地，故D正确。
3．在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是( )
A B C D
【解析】C 在真空中物体只受重力作用，且从静止开始下落，满足自由落体运动条件，故a＝g，又h＝eq \f(1,2)gt2，由于苹果和羽毛从同一高度同时下落，则任意时刻都在同一高度，且是加速，所以频闪间距不断变大，选项C正确。
考点二 自由落体运动规律的应用
4．关于自由落体运动，下列说法正确的是 ( )
A．速度变化得越来越快
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶4∶9
C．第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度大小之比是1∶2∶3
D．物体的质量越大，加速度越大
【解析】C 物体自由落体的加速度为g，大小不变，A、D错误；由v＝gt可得，v1∶v2∶v3＝1∶2∶3，C正确；从开始运动三个连续1 s内通过的位移之比为1∶3∶5，B错误。
5．一条悬链长5.6 m，从悬点处断开，使其自由下落，不计空气阻力。则整条悬链通过悬点正下方12.8 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)( )
A．0.3 s B．0.4 s
C．0.7 s D．1.2 s
【解析】B 设悬链的长度为L，从悬点至悬点正下方12.8 m处的一点的高度为h，经t1悬链的下端经过该点，经t2悬链的上端经过该点，则h－L＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，得t1＝eq \r(eq \f(2h－L,g))＝eq \r(eq \f(2×12.8－5.6,10)) s＝1.2 s，h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，得t2＝eq \r(eq \f(2h,g))＝eq \r(eq \f(2×12.8,10)) s＝1.6 s，则Δt＝t2－t1＝0.4 s，故B正确。
6．(多选)甲、乙两物体分别从高10 m处和高20 m处同时由静止自由下落，不计空气阻力，下面几种说法中正确的是( )
A．乙落地速度是甲落地速度的eq \r(2)倍
B．落地的时间甲是乙的2倍
C．下落1 s时甲的速度与乙的速度相同
D．甲、乙两物体在最后1 s内下落的高度相等
【解析】AC 根据v＝eq \r(2gh)可知，落地时乙的速度是甲落地速度的eq \r(2)倍，故A正确；根据t＝eq \r(eq \f(2h,g))，落地的时间乙是甲的eq \r(2)倍，故B错误；根据v＝gt可知，下落1 s时甲的速度与乙的速度都为10 m/s，故C正确；甲、乙两物体下落的时间不同，最后一秒的初速度不同，所以最后1 s下落的距离不相等，故D错误。
考点三 伽利略对自由落体运动的研究
7．(多选)如图所示，大致地表示了伽利略探究自由落体运动的实验和思维过程，对于此过程的分析，以下说法正确的是( )
A．其中甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得出的结论
B．其中丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得出的结论
C．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
【解析】AC 伽利略探究自由落体运动时，让小球从斜面上滚下，此时可以“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显，然后合理外推到斜面竖直的状态，故正确选项为A、C。
考点四 自由落体运动的实验探究
8．“自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，下列说法正确的是( )
A．时间相同，加速度相同
B．时间相同，加速度不同
C．时间不同，加速度相同
D．时间不同，加速度不同
【解析】A 轻重不同的物体在牛顿管中不受空气阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都为g；因高度相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2知运动时间相同，故A正确，B、C、D错误。
9．用滴水法可以测定重力加速度的值。方法：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴落到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一滴水滴在挡板上的声音的同时，下一滴水刚好开始下落。首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用停表计时，计时方法：当听到某一滴水滴在挡板上的声音的同时，开启停表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3…”，一直数到“n”时，按下停表按钮停止计时，读出停表的示数为t。
(1)写出用上述所测量数据计算重力加速度g的表达式： 。
(2)为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格中(表中t′是水滴从水龙头口到A板所用的时间，即水滴在空中运动的时间)，请在图所示的坐标纸上作出适当的图像，并利用图像求出重力加速度g的值：g＝ m/s2。(保留两位有效数字)
【解析】 (1)滴水的周期就是水滴下落的时间，所以t′＝eq \f(t,n－1)，由h＝eq \f(1,2)gt′2得g＝eq \f(2n－12h,t2)。
(2)描点如图所示，求出斜率k＝eq \f(h,t′2)＝eq \f(1,2)g，解得g＝9.8 m/s2。
【答案】 (1)g＝eq \f(2n－12h,t2) (2)图见解析 9.8
10．屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗户的上、下沿，如图所示，问：
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？(g取10 m/s2)
【解析】 设屋檐离地高度为h，滴水的时间间隔为Δt，由x＝eq \f(1,2)at2得第2滴水的位移h2＝eq \f(1,2)g·(3Δt)2，第3滴水的位移h3＝eq \f(1,2)g·(2Δt)2，又由h2－h3＝1 m得Δt＝0.2 s，屋檐高h＝eq \f(1,2)g·(4Δt)2＝eq \f(1,2)×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m。
11．2018年12月8日2时23分，“嫦娥四号”探测器成功发射，开启了人类登陆月球背面的探月新征程，距离2020年实现载人登月更近一步，若你通过努力学习、刻苦训练有幸成为中国登月第一人，而你为了测定月球表面附近的重力加速度进行了如下实验：在月球表面上空让一个小球由静止开始自由下落(不计一切阻力)，测出下落高度h＝20 m时，下落的时间正好为t＝5 s，则：
(1)月球表面的重力加速度g月为多大？
(2)小球下落过程中，最初2 s内和最后2 s内的位移之比为多大？
【解析】 (1)由h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝1.6 m/s2。
(2)小球下落过程中的5 s内，相邻每1 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9，则最初2 s内和最后2 s内的位移之比为(1＋3)∶(7＋9)＝1∶4。
与纬度的关系
在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，即赤道处重力加速度最小，两极处重力加速度最大，但差别不大
与高度的关系
在地面上的同一地点，重力加速度随高度的增加而减小。但在不太高的高度内，可认为重力加速度的大小不变
次数
高度h/cm
空中运动时间t′/s
1
20.10
0.20
2
25.20
0.23
3
32.43
0.26
4
38.45
0.28
5
44.00
0.30
6
50.12
0.32