人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量导学案

空间中的点、直线与空间向量

一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行．在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛．比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止．这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握．在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行．

[问题]　(1)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？

(2)怎样用向量来表示直线在空间中的位置？

(3)怎样用向量来表示平面在空间中的位置？

知识点　直线的方向向量

1．定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．

2．两直线平行与垂直的判定

如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则

(1)v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合；

(2)l1⊥l2⇔v1·v2＝0．

3．空间中两条直线所成的角

设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，如图①②所示，

则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sin θ＝sin_〈v1，v2〉或cos θ＝|cos_〈v1，v2〉|．

4．异面直线与空间向量

(1)设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．

若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行；

若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面；

(2)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．

空间中两直线所成角的范围

设空间中两直线l1，l2所成角的大小为θ，两直线的方向向量分别为v1，v2.

由θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，sin θ＝sin 〈v1，v2〉或cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|，可知0≤θ≤.　　　　

两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？

提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角〈v1，v2〉∈时等于异面直线所成角，若〈v1，v2〉∈时，则异面直线所成角为π－〈v1，v2〉．

1．已知空间直线l上两点A(3，－2，1)，B(1，3，1)，则直线l的一个方向向量为________(写出一个即可).

答案：(2，－5，0)

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则直线AB与直线A1D1所成的角为________，直线AB与直线CD1所成的角为________．

答案：90°　45°

[例1]　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).

(1)若＝(－)，求P点的坐标；

(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．

[解]　(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)，

＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0)，

∴P点的坐标为(1，1，0).

(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，

知＝．

设点P的坐标为(x，y，z)，

则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，

故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，

即得

因此P点的坐标为.

求空间点的坐标

此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出待求的点的坐标，利用已知条件列出关于待求点的坐标为未知数的方程或方程组，再求解即可．

[跟踪训练]

已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为数轴上的两点，且分别满足条件：

(1)AP∶PB＝1∶2；

(2)AQ∶QB＝2∶1.

求点P和点Q的坐标．

解：(1)由已知，得＝2，

即－＝2(－)，

＝＋．

设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得

(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，

即x＝＋＝，y＝＋＝，

z＝0＋1＝1.

因此，P点的坐标是.

(2)因为AQ∶QB＝2∶1，

所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2，

设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，

得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，

即x′＝0，y′＝2，z′＝6.

因此，Q点的坐标是(0，2，6).

[例2]　(链接教科书第32页例3)如图，点M，N分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：

(1)MN和CD′所成角的大小；

(2)MN和AD所成角的大小．

[解]　法一：设正方体棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，

则C(0，1，0)，D′(0，0，1)，A(1，0，0)，M，

N，D(0，0，0)，

∴＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)，＝.

(1)∵cos 〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝60°，即MN和CD′所成角为60°.

(2)∵cos 〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝45°，即MN与AD所成角为45°.

法二：设正方体的棱长为1.

＝－＝－＋，＝－．

(1)∵·＝·(－)＝2＝，||·||＝×＝1，

∴cos 〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°，

即MN和CD′所成角为60°.

(2)∵·＝2＝，

||·||＝×1＝.

∴cos 〈，〉＝＝，∴〈，〉＝45°，

即MN与AD所成角为45°.

求异面直线所成的角的方法

(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos 〈a，b〉＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量；

(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．　

[跟踪训练]

已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为(　　)

A．　　　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选C　＝－＝－，＝－，于是||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，于是cos 〈，〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.

[例3]　(链接教科书第30页例1、第32页例2、第35页例4)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：

(1)AD1⊥G1G；

(2)AD1∥EF；

(3)A1G⊥DF.

[证明]　设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.

(1)因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c，

所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，

所以⊥，所以AD1⊥G1G.

(2)因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以EF∥AD1.

(3)因为＝＋＋＝－c＋b＋a，＝＋＝a－b，所以· ＝·＝a2－b2＝0，

所以⊥，所以A1G⊥DF.

1．要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．

2．要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．　　　

[跟踪训练]

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：

(1)AB1∥GE，AB1⊥EF；

(2)直线GF与直线BA1不平行．

证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得E，G，

F.

(1)∵＝(1，0，1)，

＝，

＝，

∴＝2，

·＝1×＋0＋1×＝0，

∴∥，⊥．

故AB1∥GE，AB1⊥EF.

(2)∵＝，＝(－1，0，1)，

又∵≠，∴与不平行．

∵为直线GF的一个方向向量，为直线BA1的一个方向向量，当∥时，必有GF∥BA1.由上可知直线GF与直线BA1不平行．

1．若A(1，0，1)，B(2，3，4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)

A．(－1，3，3)　　　　　  B．(1，3，3)

C．(3，3，5)     D．(2，4，6)

解析：选B　＝(2，3，4)－(1，0，1)＝(1，3，3).

2．向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，则x＝(　　)

A．8     B．4

C．2     D．0

解析：选C　∵向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，

∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2.故选C.

3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1，1，2)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－1)，则直线l1与l2的位置关系为________．

解析：∵v1·v2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0，

∴v1⊥v2.

答案：垂直