初中数学青岛版八年级下册10.1 函数的图像教案

这是一份初中数学青岛版八年级下册10.1 函数的图像教案，共8页。

课程目标
1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
数学学科素养
1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；
2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；
3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；
4.数学运算：五点作图；
5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.
重点：正弦函数、余弦函数的图象．
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝csx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本196-199页，思考并完成以下问题
1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？
2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？
3.怎样作出余弦函数y＝cs x的图像？
4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
2．“五点法”画图
步骤：(1)列表：
(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)．；
画余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向 左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．
四、典例分析、举一反三
题型一 作正弦函数、余弦函数的简图
例1画出下列函数的简图
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－csx，x∈[0,2π]．
【答案】见解析
【解析】(1)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．
图1
(2)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．
图2
解题技巧：（简单三角函数图像画法）
1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cs x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.
2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.
跟踪训练一
1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
【答案】见解析．
【解析】按三个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)．
图3
2. 在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))在区间[0，π]上的图象．
【答案】见解析．
【解析】列表取点如下：
描点连线作出函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))在区间[0，π]上的图象如图5所示．
图4 图5
题型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋eq \r(16－x2)的定义域.
【答案】见解析.
【解析】由题意，得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,16－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,sin x>0，))
作出y＝sin x的图象，如图所示.
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
【答案】见解析.
【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个
解题技巧： (正弦函数、余弦函数图象的简单应用)
1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
跟踪训练二
1.函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为_________________________________.
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
【解析】 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥eq \f(1,2).由y＝sin x在[0,2π]的图象，
可知eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5,6)π，又有y＝sin x的周期性，
可得y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
2. 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
【答案】m∈(－1，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，0).
【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根.
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.
由y＝sin x图象可知：
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
解得－1＜m＜0，且m≠－eq \f(1,2).
∴m∈(－1，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，0).
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
1.正弦曲线 例1 例2 例3
2.余弦曲线

3.五点作图


七、作业
课本200页练习，213习题5.4第1题.
本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
cs x
1
0
－1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋sinx
1
2
1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
－csx
－1
0
1
0
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0
x
0
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
π
2x＋eq \f(π,4)
eq \f(π,4)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(9π,4)
f(x)
1
0
－eq \r(2)
0
eq \r(2)
1