2021学年17.2 勾股定理的逆定理第2课时巩固练习

17.2 勾股定理的逆定理

第2课时 勾股定理及其逆定理的应用

基础训练

知识点1 勾股定理的验证

1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法.如图,火柴盒的一个侧面四边形ABCD倒下到四边形AB'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c.请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.

知识点2 勾股定理在折叠中的应用

2.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE,BE分别与CD相交于点O,G,且OE=OD,求AP的长.             

3.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是(　　)

A.13 cm

B.2 cm

C. cm

D.2 cm

4.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100 m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.

知识点3 勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用

5.如图,在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段

AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点(正方形网格的交点)上.

(1)若每个正方形的边长都是1,分别求出AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号).

(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段,使它们能构成直角三角形?如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.

提升训练

考查角度1 勾股定理与它的逆定理的综合应用

6.如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.

7.如图,已知AD⊥CD于点D,且AD=4,CD=3,AB=12,BC=13.

(1)求:四边形ABCD的面积;

(2)若∠B=23°,求∠ACB的度数.

考查角度2 勾股定理及其逆定理在网格中的应用

8.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C,D均在格点上.

(1)求四边形ABCD的面积.

(2)你能判断AD与CD的位置关系吗?请说出你的理由. 

探究培优

拔尖角度1 勾股定理的逆定理的实际应用

9.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测,AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海?

参考答案

1.证明:由题易知Rt△C'D'A≌Rt△ABC,

∴∠C'AD'=∠ACB.

又∵∠ACB+∠BAC=90°,

∴∠BAC+∠C'AD'=90°.

∴∠CAC'=90°.

∵S梯形BCC'D'=SRt△ABC+SRt△AC'D'+SRt△CAC',　

∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.　

∴(a+b)2=2ab+c2.

∴a2+b2=c2.

2.解:∵四边形ABCD是长方形,

∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.

根据题意得△ABP≌△EBP,

∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8.

在△ODP和△OEG中,

∴△ODP≌△OEG.

∴OP=OG,PD=GE.

∴DG=EP.

设AP=EP=x,则GE=PD=6-x,DG=x,

∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x.

根据勾股定理得BC2+CG2=BG2.

即62+(8-x)2=(x+2)2,解得x=4.8,∴AP=4.8.

3.【答案】A

4.解:小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.理由如下:∵AB=60 m,BC=80 m,AC=100 m,

∴AB2+BC2=AC2.

∴∠ABC=90°.

又∵AD∥NM,

∴∠NBA=∠BAD=30°.

∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.

∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.

5.解:(1)AB=,AC=,AD=2,AE=2.

(2)存在,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.

理由:∵AB=,AD=2,AC=,∴AD2+AB2=AC2,

由勾股定理的逆定理可知,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.

6.解:如图,连接EE'.

由题意可知△ABE≌△CBE',　

∴E'C=AE=1,BE'=BE=2,∠ABE=∠CBE'.　

又∵∠ABE+∠EBC=90°,

∴∠CBE'+∠EBC=90°,

即∠EBE'=90°,则由勾股定理,得EE'=2.

在△EE'C中,EE'=2,E'C=1,EC=3.

由勾股定理的逆定理可知∠EE'C=90°.

∵BE=BE',∠EBE'=90°,

∴∠BE'E==45°,

∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.

7.解:(1)在Rt△ACD中,∠D=90°,

∴AC===5.

又∵AB=12,BC=13,

∴AB2+AC2=BC2.

∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

=AB·AC+AD·CD

=×12×5+×4×3

=36.

(2)在Rt△ABC中,∵∠B=23°,

∴∠ACB=90°-∠B=90°-23°=67°.

8.解:(1)如图,将四边形ABCD分成4个小直角三角形,发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半,因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半,即×52=12.5.

 (2)AD⊥CD.理由如下:

在△ADC中,因为AD2=12+22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,所以AD2+CD2=AC2,

即△ADC是直角三角形,且AD⊥CD.

9.解:∵AB2+BC2=62+82=100=102=AC2,

∴△ABC为直角三角形,

且∠ABC=90°.

∴S△ABC=AB·BC,

∴AB·BC=AC·BD,即

∴×10·BD=×6×8,

解得BD=4.8.

在Rt△BCD中,CD2=BC2-BD2=82-4.82,

解得CD=6.4.

∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8=0.5(h).

∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10:58.