人教新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》（含答案）试卷

这是一份人教新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》（含答案）试卷，共50页。
人教新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•深圳模拟）下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角
②菱形的对角线互相垂直平分
③垂直于半径的直线是圆的切线
④顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2021春•仓山区期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（　　）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
3．（2021春•周村区月考）从下列命题中，随机抽取一个，是真命题的概率是（　　）
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（4）在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形．
A． B． C． D．1
4．（2021春•碑林区校级期中）∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（　　）
A．50° B．130° C．50°，130° D．40°，140°
5．（2021春•光明区期中）下列命题正确的是（　　）
A．在一个三角形中，如果一个角等于30°，那么在这个三角形中，有一条边的长度是另一边的一半
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线互相重合
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．三角形的两边之和小于第三边
6．（2021春•宝安区期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．有两个角是60°的三角形是等边三角形
C．点A（2，1）与点B（1，2）关于原点对称
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
7．（2021春•河西区期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
8．（2021春•巴南区期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式，正确的是（　　）
A．如果两个角互余，那么这两个角相等
B．如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等
C．如果两个角相等，那么这两个角互为余角
D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等
9．（2021春•洪山区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
10．（2021春•洪山区期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•涪城区校级月考）平面内10条直线相交，最多有　 　个交点．
12．（2021春•高新区校级月考）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为　 　．

13．（2021春•长清区期中）如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是　 　．

14．（2021春•雁塔区校级期中）如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，若∠BCD＝∠BFD+60°，则∠BCD的度数为　 　．

15．（2021春•武昌区期中）今年3月，“烂漫樱花地，最美英雄城”长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道AB、CD上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转，若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，当光线PB旋转时间为　 　秒时，PB1∥QC1．

16．（2021春•无为市月考）如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD．
（1）当a＝2时，∠AFC＝　 　；
（2）当a＝3时，∠AFC＝　 　．

17．（2020秋•黄石期末）已知，点P（m，2m）是第一象限的点，下面四个命题：
（1）点P关于y轴对称的点P1的坐标是（m，﹣2m）；
（2）点P到原点O的距离是m；
（3）直线y＝﹣mx+2m不经过第三象限；
（4）对于函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小．
其中真命题是　 　．（填上所有真命题的序号）
18．（2021•娄底模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式放置在两平行线（l1∥l2）之间，则图中的∠1＝　 　．

19．（2020秋•道里区期末）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为　 　度．

20．（2021春•西城区校级期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若a（a≥0）不是某个有理数的平方，则方程x2＝a在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程x3＝b在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号　 　．
①x9＝3在实数范围内有解；②x2020﹣5＝0在实数范围内的解不止一个；③x2+x4＝5在在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的a（a≥0），恒有．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•仓山区期中）如图，B，C，D是不在同一直线上的三点，且∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥DE；
（2）DG平分∠EDC，点P是DG上一点，过点P作射线PB，设∠1＝α；
①如图2，若PD∥BC，∠ABC＝2∠3，求∠C的度数；（用含α的式子表示）
②如图3，若∠3+∠C＝90°，判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

22．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点和点D都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点A，B，C的坐标分别为（﹣2，4），（﹣4，0），（0，1），平移三角形ABC使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF，并分别写出点E，F的坐标；
（2）三角形DEF内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC内部的点Q是对应点，请直接写出点Q的坐标．（用含a的式子表示）

23．（2021春•东台市月考）如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．

24．（2021春•黄浦区期中）如图所示，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．
（1）求∠FOB的度数；
（2）直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系；
（3）在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由．

25．（2021春•汉阴县月考）小琦碰到这样一道题：如图，∠A＝30°，∠B＝45°，点C在射线BD上，求∠ACD的度数．经过思考，她想到了作平行线的方法，即过点C作CE∥AB，因此可以得到∠ACE＝∠A＝30°，∠DCE＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30°+45°＝75°．
请学习小琦的解法，解答下列问题：

（1）如图1，点D为BC的延长线上一点，则图中x的值为　 　；
（2）如图2，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝46°．
①若点P在AD的延长线上运动，求∠PEC﹣∠APE的度数；
②若点P在射线DA上运动，请直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A，D重合的情况）

26．（2021春•香坊区校级月考）在三角形ABC中，CD⊥AB于D，F是BC上一点，FH⊥AB于H，E在AC上，∠EDC＝∠BFH．
（1）如图1，求证：DE∥BC；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，请直接写出图中与∠ECD互余的角，不需要证明
27．（2021春•永年区月考）（1）根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE＝180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：因为∠B+∠BFE＝180°，
所以AB∥EF（　 　）．
又因为AB∥CD，
所以CD∥EF （　 　）．
所以∠CDF+∠DFE＝180° （　 　）．
所以∠B+∠BFD+∠D＝∠B+∠BFE+∠DFE+∠D＝360°．
（2）根据以上解答进行探索：如图②，AB∥EF，那么∠BDF与∠B，∠F有何数量关系？并说明理由．
（3）如图③④，AB∥EF，你能探索出图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B，∠F的数量关系吗？请直接写出结果．

28．（2021春•盂县月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝　 　，∠C＝　 　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
提示：过点C作CF∥AB．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为　 　°．

29．（2021春•黄埔区期中）已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，与l2相交于C，D两点，点P在直线AB上运动．
（1）如图1，当点P在A，B两点间运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明；
（2）如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究（1）的结论求出∠BAC的度数；
（3）如果点P在A，B两点外侧运动时，画出相应图形并直接写出∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系．

30．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD，　 　．
求证：　 　．
证明：

（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．

2021年新初二数学人教新版专题复习《相交线与平行线》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•深圳模拟）下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角
②菱形的对角线互相垂直平分
③垂直于半径的直线是圆的切线
④顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用对顶角的定义、菱形的性质、切线的判定及中点四边形的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形的对角线互相垂直平分，正确，是真命题，符合题意；
③经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意，
真命题有②④，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、菱形的性质、切线的判定及中点四边形的知识，难度不大．
2．（2021春•仓山区期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（　　）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角；垂线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据角平分线的性质得到∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是补角，所以∠COE+∠COF＝90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG＝∠AOD，且∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOG＝∠BOF，所以，OF与OG共线，所以，OE⊥OG，所以B，C均错误．
【解答】解：

解：∵∠AOC＝∠BOD，
∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOF＝∠BOC，
∵OG是∠AOD的平分线，
∴∠AOG＝∠DOG，
∴∠COE+∠COF＝∠AOFE+∠BOF＝×180°＝90°，
∴∠EOG＝∠FOE＝90°，
∴射线OE，OF互相垂直，故D正确；故A错误；射线OF，OG互相垂直；故C错误；故B错误．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2021春•周村区月考）从下列命题中，随机抽取一个，是真命题的概率是（　　）
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（4）在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形．
A． B． C． D．1
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】首先判断各个命题是真假，如何利用概率公式计算即可
【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题．
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是假命题（在同一平面内成立）．
（4）在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形．是假命题．
∴随机抽取一个，是真命题的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，概率公式等知识，解题的关键是正确判断命题的真假，属于中考常考题型．
4．（2021春•碑林区校级期中）∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（　　）
A．50° B．130° C．50°，130° D．40°，140°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】分两种情况讨论，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解．
【解答】解：如图①，
∵AC∥BE，
∴∠1＝∠A＝50°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠EBF＝90°+50°＝140°；
如图②，
∵AC∥BE，
∴∠1＝180°﹣∠A＝130°，
∵BF⊥AD，
∴∠DFB＝90°，
∴∠EBF＝130°﹣90°＝40°．
综上所述，∠B＝140°，40°．
故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质，注意分类思想的应用，∠B有两种可能，在∠A内部和∠A外部的．
5．（2021春•光明区期中）下列命题正确的是（　　）
A．在一个三角形中，如果一个角等于30°，那么在这个三角形中，有一条边的长度是另一边的一半
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线互相重合
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．三角形的两边之和小于第三边
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据直角三角形30度角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三边关系等知识，一一判断即可．
【解答】解：A、在一个三角形中，如果一个角等于30°，那么在这个三角形中，有一条边的长度是另一边的一半，是假命题，本选项不符合题意．
B、等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线互相重合，是假命题，本选项不符合题意．
C、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意．
D、三角形的两边之和小于第三边，是假命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，直角三角形30度角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2021春•宝安区期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．有两个角是60°的三角形是等边三角形
C．点A（2，1）与点B（1，2）关于原点对称
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，中心对称，直角三角形的判定等知识，一一判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合，是假命题．
B、有两个角是60°的三角形是等边三角形，是真命题．
C、点A（2，1）与点B（1，2）关于原点对称，是假命题．
D、在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形，是假命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，中心对称，直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2021春•河西区期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【考点】平行公理及推论；平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可．
【解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点评】考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
8．（2021春•巴南区期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式，正确的是（　　）
A．如果两个角互余，那么这两个角相等
B．如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等
C．如果两个角相等，那么这两个角互为余角
D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据命题的定义，写成如果，那么的形式即可．
【解答】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
故选：B．
【点评】本题考查本题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2021春•洪山区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和．
利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
10．（2021春•洪山区期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．

（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．

（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•涪城区校级月考）平面内10条直线相交，最多有　45　个交点．
【考点】相交线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第五条直线时，应尽量和前面四条直线都产生交点，即增加4个交点，则有6+4＝10个交点；求得n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；将n＝10代入上式即可求解．
【解答】解：10条直线相交，最多有＝45个交点．
故答案为：45．
【点评】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多个交点是解题的关键．
12．（2021春•高新区校级月考）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为　90°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠1＝2x，易证∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
设∠1＝2x，则∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，
∴4x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠2＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D′FE＝135°，
∴∠CFD'＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．（2021春•长清区期中）如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是　9　．

【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据平移的性质可得BC＝EF，CF＝5，然后列式其解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC向右平移5个单位长度得到，
∴BC＝EF，CF＝5，
∴BC＝EF＝EC+CF＝4+5＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC＝EF是解题的关键．
14．（2021春•雁塔区校级期中）如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，若∠BCD＝∠BFD+60°，则∠BCD的度数为　160°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由角平分线的定义可得∠EDA＝∠ADC，∠CBE＝∠ABE，又由AB∥ED，得∠EDF＝∠DAB，∠DFE＝∠ABF；设∠EDF＝∠DAB＝x，∠DFE＝∠ABF＝y，则∠BFD＝x+y；再根据四边形内角和定理得到∠BCD＝360°﹣2（x+y），最后根据∠BCD＝∠BFD+60°即可求解．
【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，
∴∠EDA＝∠ADC，∠CBE＝∠ABE，
又∵AB∥ED，
∴∠EDF＝∠DAB，∠DFE＝∠ABF，
设∠EDF＝∠DAB＝x，∠DFE＝∠ABF＝y，
∴∠BFD＝∠EDA+∠ADE＝x+y，
在四边形BCDF中，∠FBC＝x，∠ADC＝y，∠BFD＝x+y，
∴∠BCD＝360°﹣2（x+y），
∵∠BCD＝∠BFD+60°＝x+y+60°，
∴∠BFD＝x+y＝100°，
∴∠BCD＝360°﹣2（x+y）＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2021春•武昌区期中）今年3月，“烂漫樱花地，最美英雄城”长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道AB、CD上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转，若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，当光线PB旋转时间为　2.5或43.75　秒时，PB1∥QC1．

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求．
【解答】解：当PB1∥QC1，则∠PB1Q＝∠CQC1，如下图：

∵AB∥CD，
∴∠PB1Q＝∠BPB1．
∴∠CQC1＝∠BPB1．
设光线PB旋转时间为ts，
∴5×2+2t＝6t．
∴t＝2.5．
当PB1∥QC1，则∠CQC1＝∠PB1C，如下图：

∵AB∥CD，
∴∠PB1Q＝∠BPB1．
∴∠BPB1＝∠CQC1．
设光线PB旋转时间为ts，此时光线PB由PA处返回，
∴∠APB1＝6t﹣180°．
∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（6t﹣180°）＝360°﹣6t．
∴360°﹣6t＝2t+10°．
∴t＝43.75．
综上，t的值为2.5s或43.75s．
故答案为：2.5或43.75．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键．
16．（2021春•无为市月考）如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD．
（1）当a＝2时，∠AFC＝　45°　；
（2）当a＝3时，∠AFC＝　60°　．

【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），求出∠AEC＝2（x°+y°），∠AFC═x°+y°，由直角三角形的两锐角互余可得∠CAE+∠ACE＝90°，即可得出答案．
（2）连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），求出∠AEC＝3（x°+y°），∠AFC═2（x°+y°），即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），
∵∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，
∴∠AFC＝x°+y°，
∵AE⊥CE，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴180°﹣（2x°+2y°）＝90°，
∴x°+y°＝45°，
∴∠AFC＝45°；
故答案为：45°；


（2）设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]
＝2x°+2y°
＝2（x°+y°），
∵AE⊥CE，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴180°﹣（3x°+3y°）＝90°，
∴x°+y°＝30°，
∴∠AFC＝2（x°+y°）＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
17．（2020秋•黄石期末）已知，点P（m，2m）是第一象限的点，下面四个命题：
（1）点P关于y轴对称的点P1的坐标是（m，﹣2m）；
（2）点P到原点O的距离是m；
（3）直线y＝﹣mx+2m不经过第三象限；
（4）对于函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小．
其中真命题是　（2）（4）　．（填上所有真命题的序号）
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据轴对称的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质一一判断即可．
【解答】解：（1）点P关于y轴对称的点P1的坐标是（m，﹣2m），错误，对称点坐标应该是（﹣m，2m）．
（2）点P到原点O的距离是m，正确．
（3）直线y＝﹣mx+2m不经过第三象限，正确．因为m＞0，直线不经过第三象限．
（4）对于函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确．
故答案为：（2）（4）．
【点评】本题考查轴对称的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2021•娄底模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式放置在两平行线（l1∥l2）之间，则图中的∠1＝　15°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】延长BC交直线l1于A，首先计算∠BAD＝120°，根据平角的定义可得∠ACD＝45°，最后根据三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：延长BC交直线l1于A，

∵l1∥l2，且∠ABE＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠BAD﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查平行线的性质、特殊直角三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（2020秋•道里区期末）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为　59或121　度．

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；

②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
20．（2021春•西城区校级期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若a（a≥0）不是某个有理数的平方，则方程x2＝a在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程x3＝b在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号　①②③　．
①x9＝3在实数范围内有解；②x2020﹣5＝0在实数范围内的解不止一个；③x2+x4＝5在在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的a（a≥0），恒有．
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据方程的解的定义，一一判断即可．
【解答】解：①x9＝3在实数范围内有解，正确．
②x2020﹣5＝0在实数范围内的解不止一个，正确．
③x2+x4＝5在在实数范围内有解，解介于1和2之间，正确．
④对于任意的a（a≥0），恒有，错误，a＝不成立．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•仓山区期中）如图，B，C，D是不在同一直线上的三点，且∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥DE；
（2）DG平分∠EDC，点P是DG上一点，过点P作射线PB，设∠1＝α；
①如图2，若PD∥BC，∠ABC＝2∠3，求∠C的度数；（用含α的式子表示）
②如图3，若∠3+∠C＝90°，判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【分析】（1）延长DC交AB于点F，根据同旁内角互补即可得证；
（2）①根据PD∥BC，∠ABC＝2∠3，∠1＝α，可得∠ABC＝2α，再DG平分∠EDC，得出∠EDC+∠C＝180°与已知等式联立即可算出∠C的度数；
②作CH平分∠C交DG于H，先根据角平分线的性质得出∠PHC＝90°+∠ABC，再有∠3+∠C＝90°，得出∠3+∠4＝90°，再根据四边形内角和为360°得出∠PBC＝180°﹣∠ABC，即可得出∠1＝∠2．
【解答】解：（1）如图1，延长DC交AB于点F，
∵∠BFC＝∠BCD﹣∠ABC，
∴∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，
即∠CDE+∠BFC＝180°，
∴AB∥DE；
（2）①∵PD∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠ABC＝2∠3，∠ABC＝∠1+∠2，∠1＝α，
∴∠1＝∠2＝∠3＝α，∠ABC＝2α，
∵DG平分∠EDC，∠CDG+∠C＝180°，
∴∠EDC+∠C＝180°，①
∵∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，
即∠CDE+∠C﹣2α＝180°，②
联立①②解得∠C＝180°﹣2α；
②∠1＝∠2，理由如下：
如图3，作CH平分∠C交DG于H，
∴∠4＝∠5＝∠BCD，
∵DG平分∠EDC，
∴∠CDG＝∠EDC，
∴∠5+∠CDG＝（∠BCD+∠EDC），
又∵∠CDE+∠BCD﹣∠ABC＝180°，
∴∠5+∠CDG＝（180°+∠ABC）＝90°+∠ABC，
∴∠PHC＝90°+∠ABC，
∵∠3+∠C＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠PBC＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠PHC＝360°﹣90°﹣90°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABC，
又∵∠PBC+∠2＝180°，
∴∠2＝∠ABC，
∴∠1＝∠2．


【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质等知识，数量掌握平行线的判定和性质，三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质等知识是解题的关键．
22．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点和点D都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点A，B，C的坐标分别为（﹣2，4），（﹣4，0），（0，1），平移三角形ABC使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF，并分别写出点E，F的坐标；
（2）三角形DEF内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC内部的点Q是对应点，请直接写出点Q的坐标．（用含a的式子表示）

【考点】作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形DEF，并写出点E，F的坐标；
（2）根据三角形DEF内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC内部的点Q是对应点，即可写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF即为所求，

点E（2，﹣2），F（6，﹣1）；
（2）由（1）可知：三角形ABC右移6个单位，下移2个单位得到三角形DEF，
因为三角形DEF内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC内部的点Q是对应点，
所以点Q的坐标为（a﹣6，a﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
23．（2021春•东台市月考）如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝50°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝50°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝10°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质及整体思想的应用是解题的关键．
24．（2021春•黄浦区期中）如图所示，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．
（1）求∠FOB的度数；
（2）直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系；
（3）在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由．

【考点】平行线的性质；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOB＝∠AOC；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠AOB，从而得到∠AOE＝2∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠AOE，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COF＝∠AOB，从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵CB∥OA，
∴∠EBO＝∠AOB，
又∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OB平分∠AOE，
又∵OF平分∠COE，
∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝∠COA＝×80°＝40°；

（2）结论：∠OEC＝2∠OBC．
∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA，
则∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA，
又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB，
∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，
∴∠OEC＝2∠OBC．
（3）存在
在△COF和△AOB中，
∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，
∴∠COF＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA，此时∠OFC＝∠OBA＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
25．（2021春•汉阴县月考）小琦碰到这样一道题：如图，∠A＝30°，∠B＝45°，点C在射线BD上，求∠ACD的度数．经过思考，她想到了作平行线的方法，即过点C作CE∥AB，因此可以得到∠ACE＝∠A＝30°，∠DCE＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30°+45°＝75°．
请学习小琦的解法，解答下列问题：

（1）如图1，点D为BC的延长线上一点，则图中x的值为　55　；
（2）如图2，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝46°．
①若点P在AD的延长线上运动，求∠PEC﹣∠APE的度数；
②若点P在射线DA上运动，请直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A，D重合的情况）

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）过点C作CE∥AB，根据三角形的外角性质以及平行线的性质解答即可；
（2）①过点E作EF∥AP，根据三角形的外角性质以及平行线的性质解答即可；
②画出图形，根据三角形的外角性质以及平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）过点C作CE∥AB，如图1，

因此可以得到：∠ACE＝∠A＝x°，∠DCE＝∠B＝（x+10）°，
∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝x°+（x+10）°＝120°，
解得：x＝55，
则x的值为55．
故答案为：55；
（2）①过点E作EF∥AP，如图2：

因此可以得到：∠CEF＝∠CDP，∠PEF＝∠APE，∠PEC﹣∠APE＝∠CDP，
∵AB∥CD，
∴BAD＝∠ADC＝46°，
∴∠CEF＝∠CDP＝180°﹣∠ADC＝180°﹣46°＝134°，
∴∠PEC﹣∠APE＝134°；
②要分成两种情况计算，
情况一，P在D、A两点之间时，

∵AB∥CD，∠BAD＝46°，
∴∠BAD＝∠ADC＝46°，
∵∠PEC＝∠EPD+∠ADC，∠APE＝180°﹣∠EPD，
∴∠PEC+∠APE＝180°+∠ADC＝226°，
即∠PEC+∠APE＝226°；
情况二，P在点A左侧时，如图4，

∵AB∥CD，∠BAD＝46°，
∴∠BAD＝∠ADC＝46°，
∴∠PEC＝∠APE+∠ADC＝∠APE+46°，
∴∠PEC＝∠APE+46°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
26．（2021春•香坊区校级月考）在三角形ABC中，CD⊥AB于D，F是BC上一点，FH⊥AB于H，E在AC上，∠EDC＝∠BFH．
（1）如图1，求证：DE∥BC；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，请直接写出图中与∠ECD互余的角，不需要证明
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【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）根据FH⊥AB，CD⊥AB，可得∠FHB＝∠CDB＝90°，得FH∥CD，再根据平行线的判定与性质即可得结论；
（2）结合（1）和已知条件可得∠BFH、∠BCD、∠A、∠CDE与∠B互余，根据∠ECD＝∠B，即可得与∠ECD互余的角．
【解答】（1）证明：∵FH⊥AB，CD⊥AB，
∴∠FHB＝∠CDB＝90°，
∴FH∥CD，
∴∠BFH＝∠BCD，
又∵∠EDC＝∠BFH，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）解：图中与∠ECD互余的角为∠A，∠CDE，∠DCB，∠HFB．理由如下：
∵FH⊥AB，CD⊥AB，
∴∠B+∠BFH＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BFH、∠BCD与∠B互余，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠A与∠B互余，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠CDE与∠B互余．
∴∠BFH、∠BCD、∠A、∠CDE与∠B互余，
∵∠ECD＝∠B，
∴与∠ECD互余的角有∠BFH、∠BCD、∠A、∠CDE．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
27．（2021春•永年区月考）（1）根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE＝180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：因为∠B+∠BFE＝180°，
所以AB∥EF（　同旁内角互补，两直线平行　）．
又因为AB∥CD，
所以CD∥EF （　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行　）．
所以∠CDF+∠DFE＝180° （　两直线平行，同旁内角互补　）．
所以∠B+∠BFD+∠D＝∠B+∠BFE+∠DFE+∠D＝360°．
（2）根据以上解答进行探索：如图②，AB∥EF，那么∠BDF与∠B，∠F有何数量关系？并说明理由．
（3）如图③④，AB∥EF，你能探索出图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B，∠F的数量关系吗？请直接写出结果．

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【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定填空即可；
（2）过点D作AB的平行线DC，根据两直线平行，内错角相等证明即可；
（3）与（2）的证明方法类似，可以求出∠BDF与∠B、∠F的数量关系．
【解答】解：（1）因为∠B+∠BFE＝180°，
所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行 ），
因为AB∥CD（已知），
所以CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行），
所以∠CDF+∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BFD+∠D＝∠B+∠BFE+∠EFD+∠D＝360°；
（2）过点D作AB的平行线DC，
因为AB∥EF，
所以∠B＝∠BDC，
因为AB∥EF，
所以CD∥EF，
所以∠F＝∠FDC，
所以∠BDF＝∠B+∠F
（3）过点D作AB的平行线DC，
根据平行线的性质可以证明图③∠BDF+∠B＝∠F；图④∠BDF+∠B＝∠F．

【点评】本题考查的是平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．解答本题时，注意类比思想的运用．
28．（2021春•盂县月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
提示：过点C作CF∥AB．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为　65　°．

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【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DCA，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
（2）过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B＝∠BCF，∠C＝∠DCF，
∴∠B+∠BCD+∠D＝∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°．

（3）如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°
故答案为：65；
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
29．（2021春•黄埔区期中）已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，与l2相交于C，D两点，点P在直线AB上运动．
（1）如图1，当点P在A，B两点间运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明；
（2）如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究（1）的结论求出∠BAC的度数；
（3）如果点P在A，B两点外侧运动时，画出相应图形并直接写出∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系．

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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠1＝∠CPQ，∠3＝∠DPQ”，再通过角的计算即可得出结论；
（2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可得到结果；
（3）分两种情况进行讨论：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠QPC＝∠ACP，∠QPD＝∠BDP”，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，利用①的方法可得出结论．
【解答】解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2＝∠1+∠3保持不变．
理由：过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示，

∵PQ∥AC，
∴∠1＝∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3＝∠DPQ，
∴∠1+∠3＝∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3＝∠2．
（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示，

由（1）知：∠2＝∠1+∠3
∴∠BAC＝32°+56°＝88°．
（3）∠CPD＝|∠ACP﹣∠BDP|．
分两种情况：
①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．

∵PQ∥AC，
∴∠QPC＝∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD＝∠BDP．
又∵∠CPD＝∠QPD﹣∠QPC，
∴∠CPD＝∠BDP﹣∠ACP；
②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图4所示．

同理可得：∠CPD＝∠ACP﹣∠BDP．
综上所述：∠CPD＝|∠ACP﹣∠BDP|．
【点评】本题考查了平行线的性质以及方向角的应用，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出“∠1＝∠CPQ，∠3＝∠DPQ”；（2）利用（1）中结论进行计算；（3）需要分情况讨论，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
30．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD，　直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE　．
求证：　OE⊥OF　．
证明：

（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
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【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM、FN交CD于点Q，过点O作OP∥CD交ME于点P．结合（1）的方法可得∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，再根据角平分线定义即可求出结果．
【解答】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
求证：OE⊥OF；
证法1：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．

∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，

∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
∵EM∥FN，
∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．

∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．

考点卡片
1．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
2．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
3．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
4．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
5．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
6．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
7．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
8．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
9．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
10．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
12．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
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日期：2021/6/27 17:01:00；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867