北师大新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》（含答案）试卷

这是一份北师大新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》（含答案）试卷，共33页。
北师大新版数学八年级专题复习《相交线与平行线》
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•遂宁期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
2．（2020春•涿鹿县期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）

A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
3．（2020•青州市一模）如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（　　）

A．β+γ﹣α＝180° B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360° D．α+β﹣2γ＝180°
4．（2020春•巍山县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（　　）

A．∠B+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5
5．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为（　　）

A．30° B．35° C．36° D．45°
6．（2019春•福州期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（　　）

A．43° B．57° C．47° D．45°
7．（2018春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
8．（2014春•东营区校级期末）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AD＞BD．

A．3个 B．4个 C．7个 D．0个
9．（2013•呼伦贝尔）如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2010秋•常熟市期末）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共10小题）
11．（2021•张家界模拟）如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是　 　．

12．（2020•吉州区一模）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于　 　．

13．（2019秋•灯塔市期末）如图所示，已知AB∥CD，EF交AB于M交CD于F，MN⊥EF于M，MN交CD于N，若∠BME＝110°，则∠MND＝　 　．

14．（2020春•阜平县期末）如图，AD∥BC，∠D＝100°，CA平分∠BCD，则∠DAC＝　 　度．

15．（2020春•涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是　 　．

16．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝　 　．

17．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　 　和　 　被直线　 　所截而成的　 　角；图中与∠2是同旁内角的角有　 　个．

18．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为　 　．

19．（2019秋•南岗区校级月考）如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为　 　．

20．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　 　度．

三．解答题（共10小题）
21．（2021春•襄城县月考）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？

22．（2020秋•罗庄区期末）一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
23．（2020春•赣州期中）MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

24．（2019秋•伊通县期末）如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？

25．（2020春•青川县期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．

26．（2020春•华亭市期末）已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝　 　°．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝　 　°．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．

27．（2021春•南开区期中）已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．试说明：AF∥CE．
解：因为∠DAB＝∠DCB（　 　），
又因为AF平分∠DAB，
所以　 　＝∠DAB（　 　）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝　 　（　 　）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以　 　＝　 　．
所以AF∥CE（　 　）．

28．（2020春•武城县期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

29．（2018春•丹阳市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．

30．（2017秋•江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．


2021年新初二数学北师大新版专题复习《相交线与平行线》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•遂宁期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④．
【解答】解：∵∠α与∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，
∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；
∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确；
180°﹣∠α＝∠β，∴③错误；
（∠α﹣∠β）＝（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好，难度不大．
2．（2020春•涿鹿县期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）

A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b；
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
3．（2020•青州市一模）如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（　　）

A．β+γ﹣α＝180° B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360° D．α+β﹣2γ＝180°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】此题主要是巧妙构造辅助线，根据平行线的性质，把要探讨的角联系起来．
【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠γ+∠FEC＝180°∠FEA＝∠α，
∵∠AEF+∠FEC＝∠β，
∴∠γ+∠β﹣∠AEF＝180°，
∴γ+β﹣α＝180°，
故选：A．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
4．（2020春•巍山县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（　　）

A．∠B+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5
【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故符合题意；
C、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故不符合题意；
D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
5．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为（　　）

A．30° B．35° C．36° D．45°
【考点】余角和补角；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得∠F的度数．
【解答】解：∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，
设∠2＝x，则∠3＝2x，∠ABE＝4x，
∴x+4x＝180°，
解得，x＝36°，
即∠F的度数为36°，
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质、余角和补角，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2019春•福州期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（　　）

A．43° B．57° C．47° D．45°
【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】利用平行线的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝∠A＝43°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2018春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
【考点】同位角、内错角、同旁内角．菁优网版权所有
【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和．
【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，
射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选：C．
【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
8．（2014春•东营区校级期末）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AD＞BD．

A．3个 B．4个 C．7个 D．0个
【考点】点到直线的距离．菁优网版权所有
【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°∴①AB⊥AC正确；
∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误；
点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④正确；
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知⑤正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑥错误；
AD＞BD不一定，所以⑦错误．
故选：A．
【点评】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
9．（2013•呼伦贝尔）如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】两角互余，则两角之和为90°，此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角，根据平行线的性质及对顶角相等作答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，设∠ABC的对顶角为∠1，
则∠ABC＝∠1，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝∠CAB+∠BCD＝∠CAB+∠1＝90°，
因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．
故选：C．

【点评】此题考查的知识点为：平行线的性质，两角互余和为90°，对顶角相等．
10．（2010秋•常熟市期末）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】相交线；对顶角、邻补角；垂线；平行线．菁优网版权所有
【分析】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．
【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•张家界模拟）如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是　互余　．

【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】由∥b，c∥d，根据平行线的性质，可证得∠2＝∠3＝∠4，又由b⊥e，即可得∠1与∠2的关系是互余．
【解答】解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵b⊥e，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
即∠1与∠2的关系是互余．
故答案为：互余．

【点评】此题考查了平行线的性质以及垂线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2020•吉州区一模）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于　70°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由平行线的性质和对顶角相等得出∠1＝∠2＝∠3，由角平分线的定义求出∠AOC＝∠AOB＝20°，由直角三角形的性质求出∠3＝70°，即可得出∠1的度数．
【解答】解：如图所示：根据题意得：∠1＝∠2＝∠3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB＝20°，
∴∠3＝90°﹣20°＝70°，
∴∠1＝70°．
故答案为：70°．

【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1＝∠3是解决问题的关键．
13．（2019秋•灯塔市期末）如图所示，已知AB∥CD，EF交AB于M交CD于F，MN⊥EF于M，MN交CD于N，若∠BME＝110°，则∠MND＝　20°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据对顶角相等求出∠AMF，再求出∠AMN，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：∵∠BME＝110°，
∴∠AMF＝∠BME＝110°，
∵MN⊥EF于M，
∴∠NMF＝90°，
∴∠AMN＝∠AMF﹣∠NMF＝110°﹣90°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠MND＝∠AMN＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（2020春•阜平县期末）如图，AD∥BC，∠D＝100°，CA平分∠BCD，则∠DAC＝　40　度．

【考点】角平分线的定义；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠D＝80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝40°，
∴∠DAC＝∠ACB＝40°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
15．（2020春•涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是　平行　．

【考点】对顶角、邻补角；平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】因为∠2与∠3是邻补角，由已知便可求出∠3＝∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系．
【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝130°，
∴∠3＝50°，
∵∠1＝50°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件．
16．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝　40°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【解答】解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故答案是：40°

【点评】本题考查了平行线的性质．注意此题要构造辅助线，运用了平行线的性质、邻补角的关系、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
17．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　AB　和　AC　被直线　DE　所截而成的　内错　角；图中与∠2是同旁内角的角有　3　个．

【考点】同位角、内错角、同旁内角．菁优网版权所有
【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可．
【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：AB、AC、DE、内错，3．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
18．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为　75°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先根据BC∥DE及三角板的度数求出∠EAB的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FBC＝∠EAB＝（180°﹣90°）＝45°，
∵∠AFC是△AEF的外角，
∴∠AFC＝∠FAE+∠E＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
19．（2019秋•南岗区校级月考）如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为　2或4　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力；应用意识．
【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
【解答】解：如图，①当∠ABP1＝∠DCA时，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值为2，
②当∠ABP2＝∠DCA时，∴∠CBP2：∠ABP2的值为4，
故答案为：2或4．

【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
20．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　65　度．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED．
AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，
CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．
故填65°．

【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•襄城县月考）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？

【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】先根据对顶角相等得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠3可得出∠1＝∠2，由此得出结论．
【解答】解：a∥b．
理由：∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
22．（2020秋•罗庄区期末）一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用“一个角的余角比它的补角的还少40°”作为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则有90°﹣x+40°＝（180°﹣x），
解得x＝30°．
答：这个角为30°．
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
23．（2020春•赣州期中）MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】延长MF交CD于点H，利用平行线的判定证明．
【解答】解：
解法一：延长MF交CD于点H，
∵∠1＝90°+∠CHF，∠1＝140°，∠2＝50°，
∴∠CHF＝140°﹣90°＝50°，
∴∠CHF＝∠2，
∴AB∥CD．

解法二：过点F作直线FL∥AB，

∵FL∥AB，
∴∠MFL＝∠2＝50°，
∵∠MFN＝90°，
∴∠NFL＝40°，
∵∠1＝140°，
∴∠1+∠NFL＝140°+40°＝180°，
∴CD∥FL，
∴CD∥AB．

【点评】本题主要考查了平行线的判定和外角定理，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
24．（2019秋•伊通县期末）如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？

【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角．菁优网版权所有
【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝80°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°；
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠1＝40°．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣40°﹣100°＝40°．

（2）平分
理由：∵∠2+∠3+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣100°﹣40°＝40°．
∴∠AOF＝∠3＝40°，
∴OF平分∠AOD．
【点评】本题综合考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质，属于基础题型．
25．（2020春•青川县期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．

【考点】角平分线的定义；垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCN的度数，然后再根据CM⊥CN即可求出∠BCM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN＝∠BCE＝×140°＝70°，
∵CM⊥CN，
∴∠BCM＝20°．
【点评】本题利用平行线的性质和角平分线的定义求解，比较简单．
26．（2020春•华亭市期末）已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝　60　°．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝　360﹣x﹣y　°．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．

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【专题】计算题；探究型．
【分析】首先都需要过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数；
（3）根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．

（1）∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°；

（2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝x°，∠C＝y°，
∴∠1+∠2+x°+y°＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣x°﹣y°；

（3）∠A＝α，∠C＝β，
∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝180°﹣α+β．

【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．解此题的关键是准确作出辅助线：作平行线，这是此类题目的常见解法．
27．（2021春•南开区期中）已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．试说明：AF∥CE．
解：因为∠DAB＝∠DCB（　已知　），
又因为AF平分∠DAB，
所以　∠FAE　＝∠DAB（　角平分线的性质　）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝　∠DCB　（　角平分线的性质　）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以　∠FAE　＝　∠CEB　．
所以AF∥CE（　同位角相等，两直线平行　）．

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【专题】推理填空题．
【分析】利用角平分线的性质和等量代换，根据已知条件，得出∠FAE＝∠CEB，判断得出AF∥CE，证得结论解决问题．
【解答】解：因为∠DAB＝∠DCB（已知），
又因为AF平分∠DAB，
所以∠FAE＝∠DAB（角平分线的定义）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝∠DCB（角平分线的定义）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以∠FAE＝∠CEB，
所以AF∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；∠FAE，角平分线的定义；∠DCB，角平分线的定义；∠FAE，∠CEB；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线性质和判定和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．
28．（2020春•武城县期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

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【专题】探究型．
【分析】由图中题意可先猜测∠AED＝∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2＝180°，而∠1+∠4＝180°所以∠2＝∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3＝∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．
【解答】∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）
∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．
29．（2018春•丹阳市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．

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【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】依据AD是△ABC的角平分线，可得∠BAD＝∠CAD，再根据∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，即可得到∠CAD＝∠F，进而得出EF∥AD．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，
∴∠CAD＝∠F，
∴EF∥AD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
30．（2017秋•江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．

【考点】角平分线的定义；平行线的判定．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【解答】解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC＝180°（四边形的内角和等于360°）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC（角平分线的定义）．
∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠ADC）＝×180°＝90°（等式的性质）．
又∠1+∠AEB＝90°（三角形的内角和等于180°），
∴∠3＝∠AEB（同角的余角相等）．
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点评】此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．

考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
3．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
4．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
5．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
6．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
7．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
8．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
9．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
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日期：2021/6/27 17:23:42；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867