2020-2021学年第12章 证明12.3 互逆命题一课一练

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 12.3互逆命题限时作业（1）2020～2021年苏科版数学七年级下册一、选择题1．下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是(　　)A．32  B．16  C．8  D．42．下列各命题的逆命题是真命题的是（　　）A．对顶角相等 B．若x＝1，则x2＝1 C．相等的角是同位角 D．若x＝0，则x2＝0 3．下列各命题的逆命题成立的是(　　)A．同旁内角互补B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等二、填空题4．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：　                        　．5．“内错角相等”的逆命题是　                 　．6．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　                             ．7．命题“对顶角相等”的逆命题是　               命题（填“真”或“假”）．8．命题“如果a＞b，那么ac＞bc”的逆命题是　                　．9．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：　                    　．10．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是　              ．11．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是　            ．12．对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2的值都不小于1； ④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是　      　．（填所有真命题的序号）13．命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是　　　　　　　　　，该逆命题是　　　（填“真”或“假”）命题．三、解答题14．写出下列命题的逆命题，并在括号内指出它们是真命题还是假命题．(1)原命题：如果a＝b，那么a2＝b2；(　　)逆命题：____________________．(　　)(2)原命题：如果a＝b，那么＝；(　　)逆命题：____________________．(　　)(3)原命题：等边三角形是锐角三角形；(　　)逆命题：____________________．(　　)(4)原命题：直角都相等；(　　)逆命题：____________________．(　　)(5)原命题：内错角相等，两直线平行；(　　)逆命题：____________________．(　　)15．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来；（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 16．完成下面的证明过程．已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证∠A＝∠D．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠AGB（　                  　），∴∠1＝　            ．∴EC∥BF（　                               　）．∴∠B＝∠AEC（　                          　）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠AEC＝　∠C　．∴　           　（　                        　）．∴∠A＝∠D（　                         　）．17．用两种方法证明“三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，∠DAB是△ABC的一个外角．求证：∠DAB＝∠B+∠C证法1：∵∠BAC+∠B+∠C＝180° （             　）∠BAC+∠DAB＝180°（平角的定义）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠DAB（　                 ）∴∠DAB＝∠B+∠C（　                    　）请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2．18．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE（1）请将下面的证明过程补充完整：证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）∴∠BDC=90°，∠BGF=90°（             　）∴∠BDC=∠BGF∴DC∥GF（　                   　）∴　            　（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知）∴　              　（等量代换）∴　           　（　                       　）∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等）（2）你在第（1）小题的证明过程中，应用了哪两个互逆的真命题？请直接写出这一对互逆的真命题．19．（10分）（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　   　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．         答案和解析一、选择题1．D解析： [解析] 因为4是偶数，但不是8的整数倍，可证明“任何偶数都是8的整数倍”是不成立的．故选D.2．A解析：【答案】D写出这些命题的逆命题，然后判断真假即可．【解答】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题；B、逆命题为若x2＝1，则x＝1，错误，是假命题；C、逆命题为同位角相等，错误，是假命题；D、逆命题为若x2＝0，则x＝0，正确，是真命题；故选：D．3．A解析： [解析] A项，逆命题是“如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角”，不成立；B项，逆命题是“绝对值相等的两个数相等”，不成立；C项，逆命题是“同位角相等，两直线平行”，成立；D项，逆命题是“相等的两个角都是45°”，不成立.故选C.二、填空题 4．互为相反数的两个数和为零的逆命题：和为零的两数互为相反数故答案为：和为零的两数互为相反数解析：“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：和为零的两数互为相反数，故答案为：和为零的两数互为相反数．5．【分析】交换原命题的题设与结论得到它的逆命题解：内错角相等的逆命题是相等的角为内错角故答案为相等的角为内错角解析：【分析】交换原命题的题设与结论得到它的逆命题．解：“内错角相等”的逆命题是“相等的角为内错角”．故答案为相等的角为内错角．6．【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题【解答】解：命题直角三角形的两个锐角互余的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形解析：【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．7．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题然后根据对顶角的定义进行判断解：命题对顶角相等的逆命题是相等的角为对顶角此逆命题为假命题故答案为假解析：【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．8．交换命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．【解答】解：命题“如果a＞b，那么ac＞bc”的逆命题是如果ac＞bc，那么a＞b．故答案为：如果ac＞bc，那么a＞b．9．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题解：命题：同位角相等两直线平行的题设是同位角相等结论是两直线平行所以它的逆命题是两直线平行同位角相等故答案为：两直线平行同位角相等解析：把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为：“两直线平行，同位角相等”．10．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题那么把另一个叫做它的逆命题故只需将命题若a＝b则a2＝b2的题设和结论互换变成新的命题即可【解答解析：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．故只需将命题“若a＝b，则a2＝b2”的题设和结论互换，变成新的命题即可．【解答】解：命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．11．命题与定理【分析】交换原命题的题设与结论部分即可得到逆命题【解答】解：命题若a=b则|a|=|b|的逆命题是：若|a|=|b|则a=b故答案为若|a|=|b|则a=b解析：命题与定理．【分析】交换原命题的题设与结论部分即可得到逆命题【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是：“若|a|=|b|，则a=b”．故答案为若|a|=|b|，则a=b12．根据不等式的性质三角形的性质以及代数式的最值解答即可【解析】①若a＞b当a＝﹣1b＝﹣2时则a2＜b2；原命题是假命题；②在锐角三角形中任意两个内角和一定大于第三个内角是真命题；③无论x取什么值代数解析：根据不等式的性质、三角形的性质以及代数式的最值解答即可．【解析】①若a＞b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，则a2＜b2；原命题是假命题；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角，是真命题；③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题．故答案为：②③④．13．【答案】【第1空】如果3a=3b那么a=b【第2空】真把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题再判断命题的真假即可【解答】解：根据题意得：命题如果a＝b那么3a＝3b的条件是如果a＝b结论是3a＝解析：【答案】【第1空】如果3a=3b，那么a=b,  【第2空】真把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．三、解答题 14．解：(1)真命题　如果a2＝b2，那么a＝b　假命题(2)真命题　如果|a|＝|b|，那么a＝b　假命题(3)真命题　锐角三角形是等边三角形　假命题(4)真命题　相等的角是直角　假命题(5)真命题　两直线平行，内错角相等　真命题15．（1）根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．（2）任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明．【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是：命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①．（2）解：选择命题2：①③⇒②．证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B．16．【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠AGB（对顶角相等），∴∠1＝∠AGB．∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠AEC＝∠C．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠AGB；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠C；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．17．【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．【专题】14：证明题；552：三角形；67：推理能力．证法1：根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论；证法2：根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角．求证：∠DAB＝∠B+∠C证法1：∵∠BAC+∠B+∠C＝180° （三角形内角和定理）∠BAC+∠DAB＝180°（平角的定义）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠DAB（等量代换）∴∠DAB＝∠B+∠C（等式基本性质1）故答案为：三角形内角和定理，等量代换，等式基本性质1；证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠C，∠EAB＝∠B，∵∠DAB＝∠DAE+∠EAB，∴∠DAB＝∠B+∠C；18．平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定推出FG∥CD，根据平行线的性质得出∠2=∠DCB，求出∠1=∠DCB，根据平行线的判定推出DE∥BC即可．【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDB=90°，∠FGB=90°（垂直定义），∴FG∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），故答案为：垂直定义，同位角相等，两直线平行，FG∥CD，∠1=∠DCB，∠DCB，等量代换，内错角相等，两直线平行．19．【解答】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；故答案为：＝；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；该逆命题为真命题；理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．