初中数学12.3 互逆命题同步达标检测题

这是一份初中数学12.3 互逆命题同步达标检测题，共22页。

12.3互逆命题限时作业（2）2020～2021年苏科版
数学七年级下册

一、选择题
1．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．25° D．30°
2．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于点M、N，射线PN⊥c，则图中∠1与∠2一定满足的关系是（　　）

A．同位角 B．相等 C．互余 D．互补
3．已知，如图，∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于（　　）

A．115° B．120° C．125° D．135°
4．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．50° D．65°
5．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（　　）

A．70° B．68° C．60° D．72°
6．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B+BCD＝180° D．∠B＝∠5
7．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝130°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．20° D．70°
8．如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
二、填空题
9．如图，四边形ABCD中，∠B＝88°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，且AE∥CF，若∠BAE＝54°，则∠D的度数等于 　．

10．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝115°，延长AD到F，延长CD到E，连接EF，则∠E与∠F的和为　 　°．


11．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED＝50°，则∠1＝　 　°．

12．如图，若AB∥CD，点E在直线AB的上方，连接AE，CE，延长EA交CD于点F，已知∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，则∠EAB＝　 　°．

13．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，则∠2等于　 　．

14．如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　 　．

15．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为　 　．


16．如图，a∥b，将三角尺的直角顶点落在直线a上，若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝　　°．

三、解答题
17．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EF∥CD（已知）
∴∠BEF＝　 　（　 　）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥　 　（　 　）
∴∠CDG＝　 　（　 　）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件：　 　，结论：　 　（填序号）．
②证明：　∵ ，
∴ ，
∵
∴ 　．



18．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．











19．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，已知∠ABE＝50°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝　 °；
（2）如图②，若∠BEC＝140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC＝　 　°．




20．如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．
（1）求∠1的度数；
（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．









【参考答案】


一、选择题

1．A
解析：平行线的性质．
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=25°，
故选C．
2．根据平行线的性质得出∠1＝∠3，求出∠2+∠3＝90°，再得出选项即可．
【解答】解：∵射线PN⊥c，
∴∠MNP＝90°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝∠MNP＝90°，
即∠1与∠2互余，
故选：C．
3．C
解析：平行线的判定与性质．
【分析】根据对顶角相等以及平行线的判定与性质求出∠3=∠6，即可得出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2=∠3=55°，
∴∠2=∠5=55°，
∴∠5=∠1=55°，
∴l1∥l2，
∴∠3=∠6=55°，
∴∠4=180°﹣55°=125°．
故选：C．

4．A
解析：根据a∥b，可得∠3＝∠1＝40°，再根据AB⊥BC，可得∠ABC＝90°，进而可得∠2的度数．
【解答】解：如图，

∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝50°．
故选：C．
5．A
解析：【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠C，根据角平分线的定义可得∠ABE＝2∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BED＝∠ABE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝35°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝2×35°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝70°．
故选：A．
6．A
解析：【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本选项正确；
B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
C∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误．
故选：A．
7．C
解析：【分析】先利用平行线的性质先求出∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠D．
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°．
∵∠A＝130°，
∴∠C＝50°．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D＝40°
故选：A．
8．C
解析：【分析】先在直角△CBD中可求得∠DBC的度数，然后平行线的性质可求得∠1的度数．
解：∵CD⊥AB于点D，∠BCD＝40°，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°．
∴∠DBC＝50°．
∵直线BC∥AE，
∴∠1＝∠DBC＝50°．
故选：B．
二、填空题

9．利用角平分线的定义以及平行线的性质求出∠DFC∠DCF即可解决问题【解答】解：∵∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣88°﹣54°＝38°∵AECF分别平分∠BAD∠BCD∴∠DAE＝∠B
解析：利用角平分线的定义以及平行线的性质求出∠DFC，∠DCF即可解决问题．
【解答】解：∵∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣88°﹣54°＝38°，
∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠DAE＝∠BAE＝54°，∠DCF＝∠BCF，
∵CF∥AE，
∴∠DFC＝∠DAE＝54°，∠FCB＝∠AEB﹣38°，
∴∠DCF＝∠FCB＝38°，
∴∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠DCF＝180°﹣54°﹣38°＝88°，
故答案为88°．
10．解：∵AB∥CD∴∠B+∠C＝180°∵∠B＝115°∴∠C＝65°∵AD∥BC∴∠FDC＝65°∴∠E+∠F＝65°故答案为：65
解析：解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝115°，
∴∠C＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠FDC＝65°，
∴∠E+∠F＝65°．
故答案为：65．
11．∵DE∥OB∴∠AED＝∠AOB＝50°∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点∴∠1＝∠AOC＝×50°＝25°故答案为：25
解析：∵DE∥OB，
∴∠AED＝∠AOB＝50°，
∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，
∴∠1＝∠AOC＝×50°＝25°．
故答案为：25．
12．解：∵∠DCE＝99°∠CEF＝35°∴∠EFD＝∠DCE+∠CEF＝99°+35°＝134°∵AB∥CD∴∠EAB＝∠EFD＝134°故答案为：134
解析：解：∵∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，
∴∠EFD＝∠DCE+∠CEF＝99°+35°＝134°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠EFD＝134°．
故答案为：134．
13．解：∵AB∥CD∴∠BEG＝∠1＝40°∵EF是∠GEB的平分线∴∠BEF＝∠BEG＝×40°＝20°∵AB∥CD∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣20°＝160°故答案为：160°
解析：解：∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝40°，
∵EF是∠GEB的平分线，∴∠BEF＝∠BEG＝×40°＝20°，
∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣20°＝160°．
故答案为：160°．
14．翻折变换（折叠问题）
解析：翻折变换（折叠问题）．
根据长方形纸条的特征﹣﹣﹣对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2=∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE的度数．
【解答】解：延长AE到H，由于纸条是长方形，
∴EH∥GF，
∴∠1=∠EFG，
根据翻折不变性得∠1=∠2，
∴∠2=∠EFG，
又∵∠DEF=24°，
∴∠2=∠EFG=24°，
∠FGD=24°+24°=48°．
在梯形FCDG中，
∠GFC=180°﹣48°=132°，
根据翻折不变性，∠CFE=∠GFC﹣∠GFE=132°﹣24°=108°．
15．解：如图过点E作EF∥AB∴∠α+∠AEF＝180°（两直线平行同旁内角互补）∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠EDC（两直线平行内错角相等）∵∠β＝∠AEF+∠FED又∵∠γ＝∠EDC∴∠α+
解析：解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β＝∠AEF+∠FED，
又∵∠γ＝∠EDC，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°．
故答案为：∠α+∠β﹣∠γ＝180°

16．结合三角形内角和定理得到∠4＝80°然后由对顶角相等和两直线平行同位角相等求得∠3的度数【解答】解：如图∵∠1＝60°∠2＝40°∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝80°∴∠5＝∠4＝80°∵a∥b∴∠
解析：结合三角形内角和定理得到∠4＝80°，然后由对顶角相等和“两直线平行，同位角相等”求得∠3的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝40°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝80°．
∴∠5＝∠4＝80°
∵a∥b，
∴∠3＝∠5＝80°，
故答案为：80．

三、解答题

17．【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD（答案不唯一），
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
（2）①、①③；②，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
18．【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

19．【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；
（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C＝∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C＝∠BEC；…据此得到规律∠En＝∠BEC，最后求得∠BEnC的度数．
解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；
（3）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC，
∴当∠BEC＝α度时，∠BEnC等于（）°．
故答案为：75°；（）．


20．J9：平行线的判定；K7：三角形内角和定理．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
（1）设∠BAC＝3x，∠B＝5x，∠C＝7x，利用三角形的内角和定理可得各角度数，利用外角性质可得结果；
（2）由∠BAC＝36°，易得∠BAD，利用平行线的判定定理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，
∴设∠BAC＝3x，∠B＝5x，∠C＝7x，
∴3x+5x+7x＝180°，
解得：x＝12°，
∴∠BAC＝36°，∠B＝60°，∠C＝84°，
∵∠ADB＝102°，
∴∠1＝∠ADB﹣∠C＝102°﹣84°＝18°；
（2）ED∥AB．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝18°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝36°﹣18°＝18°，
∴∠2＝∠BAD，
∴ED∥AB．