北师大版高考数学一轮复习第七章 §7.5　推理与证明试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第七章 §7.5　推理与证明试卷，共15页。试卷主要包含了演绎推理等内容，欢迎下载使用。

1．合情推理
2.演绎推理
(1)定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
3．直接证明
(1)综合法
①任何两个基本事件是互斥的．
②框图表示：eq \x(P⇒Q1)―→eq \x(Q1⇒Q2)―→eq \x(Q2⇒Q3)―→…―→eq \x(Qn⇒Q)
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中一个结果．
②框图表示：eq \x(Q⇐P1)―→eq \x(P1⇐P2)―→eq \x(P2⇐P3)―→…―→eq \x(得到一个明显成立的条件)
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
4．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
5．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．
根据(1)(2)可以判定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．
微思考
1．合情推理所得结论一定是正确的吗？
提示 合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．
2．综合法与分析法的推理过程有何区别？
提示 综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × )
(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a0，b>0，求证：eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)；
(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
证明 (1)∵a>0，b>0，
要证eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)，
只要证(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)成立．
(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a0矛盾，所以a＝0不可能，如果a0可得，bc0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0相矛盾，因此，a0，同理可证b>0，c>0，所以原命题成立．
题型三 数学归纳法
例7 数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2n－1)))>eq \f(\r(2n＋1),2)均成立．
证明 ①当n＝2时，左边＝1＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，右边＝eq \f(\r(5),2).
∵左边>右边，∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2k－1)))>eq \f(\r(2k＋1),2).
则当n＝k＋1时，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2k－1)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2k＋1－1)))
>eq \f(\r(2k＋1),2)·eq \f(2k＋2,2k＋1)＝eq \f(2k＋2,2\r(2k＋1))＝eq \f(\r(4k2＋8k＋4),2\r(2k＋1))
>eq \f(\r(4k2＋8k＋3),2\r(2k＋1))＝eq \f(\r(2k＋3)\r(2k＋1),2\r(2k＋1))＝eq \f(\r(2k＋1＋1),2).
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
思维升华 用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
跟踪训练3 (2020·兰州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.
(1)求a1，a2，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
解 (1)∵Sn＝2an－n，
∴当n＝1时，a1＝1.
又Sn＋1＝2an＋1－n－1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.
(2)猜想通项公式an＝2n－1.
下面用数学归纳法证明an＝2n－1.
①当n＝1时，a1＝1满足通项公式；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即ak＝2k－1，
由(1)知ak＋1＝2ak＋1＝2(2k－1)＋1，
ak＋1＝2k＋1－1，
即证当n＝k＋1时命题成立．
由①②可证an＝2n－1成立．
课时精练
1．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝lg2|x|是对数函数，因此f(x)＝lg2|x|是非奇非偶函数”，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提错误
C．小前提错误 D．推理形式错误
答案 C
解析 本命题的小前提是f(x)＝lg2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝lg2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝lgax(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cs x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
答案 D
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
3．(2020·成都诊断)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )
A．22项 B．23项 C．24项 D．25项
答案 C
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为第24项．
4．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )
A．18 B．17 C．16 D．15
答案 B
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.
5．设x，y，z为正实数，a＝x＋eq \f(1,y)，b＝y＋eq \f(1,z)，c＝z＋eq \f(1,x)，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
答案 C
解析 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋cabc>0成立．
上式两边同时取常用对数，得
lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))>lg abc，
∴lg eq \f(a＋b,2)＋lg eq \f(b＋c,2)＋lg eq \f(c＋a,2)>lg a＋lg b＋lg c.
12．已知xi>0(i＝1，2，3，…，n)，我们知道(x1＋x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))≥4成立．
(1)求证：(x1＋x2＋x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋\f(1,x3)))≥9；
(2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋\f(1,x3)＋\f(1,x4)))≥16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x1＋x2＋…＋xn和eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＋…＋eq \f(1,xn)(n≥2，n∈N＋)有关的不等式，并用数学归纳法证明．
(1)证明 方法一 (x1＋x2＋x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋\f(1,x3)))
≥3eq \r(3,x1x2x3)·3eq \r(3,\f(1,x1)·\f(1,x2)·\f(1,x3))＝9(当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立)．
方法二 (x1＋x2＋x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋\f(1,x3)))
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)＋\f(x1,x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x3,x1)＋\f(x1,x3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x3,x2)＋\f(x2,x3)))
≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立)．
(2)解 猜想：(x1＋x2＋…＋xn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))
≥n2(n≥2，n∈N＋)．
证明如下：
①当n＝2时，由已知得猜想成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，猜想成立，
即(x1＋x2＋…＋xk)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xk)))≥k2，
则当n＝k＋1时，
(x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xk)＋\f(1,xk＋1)))
＝(x1＋x2＋…＋xk)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xk)))＋(x1＋x2＋…＋xk)eq \f(1,xk＋1)＋xk＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xk)))＋1
≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk)eq \f(1,xk＋1)＋xk＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xk)))＋1
＝k2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,xk＋1)＋\f(xk＋1,x1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,xk＋1)＋\f(xk＋1,x2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xk,xk＋1)＋\f(xk＋1,xk)))＋1≥k2＋＋1
＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
综合①②可知，猜想成立．
13．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C.eq \f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1
答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq \f(nn＋1,2)＝eq \f(n2＋n＋2,2)个区域．
14．(2020·西安模拟)已知a，b，c∈R，若eq \f(b,a)·eq \f(c,a)>1且eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥－2，则下列结论成立的是( )
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．a，c同号，b与它们异号
D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定
答案 A
解析 由eq \f(b,a)·eq \f(c,a)>1知eq \f(b,a)与eq \f(c,a)同号，若eq \f(b,a)>0且eq \f(c,a)>0，不等式eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥－2显然成立，若eq \f(b,a)0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a)))≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a))))>2，即eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)0且eq \f(c,a)>0，即a，b，c同号．
15．(2020·河南六校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：
①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟．
根据上述调查结果，下列结论错误的是( )
A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
答案 D
解析 设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝∅，B⊆C，D∩C＝∅，∁UD＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝∅.选项A，B∩D＝∅，正确；选项B，B＝C，正确；选项C，A⊆D，正确．
16．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝eq \f(1,x＋2)是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设得g(x)＝eq \f(1,2)(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上是增加的．
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
则eq \f(1,2)b2－b＋eq \f(3,2)＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝eq \f(1,x＋2)在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝eq \f(1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上是减少的，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ha＝b，,hb＝a，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋2)＝b，,\f(1,b＋2)＝a.))
解得a＝b，这与已知矛盾．
故不存在常数a，b(a>－2)使函数h(x)＝eq \f(1,x＋2)是[a，b]上的“四维光军”函数．类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事件中部分事物具有某种属性，推断该类事件中每一个事物都有这种属性的推理方式
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程
由特殊到特殊
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3