北师大版高考数学一轮复习第十三章 §13.1　第1课时　坐标系

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第1课时 坐标系
考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0))，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
微思考
1．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．
2．如何把极坐标转化为直角坐标？
提示 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ.))
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( × )
题组二 教材改编
2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,2)
B．ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,4)
C．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,2)
D．ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,4)
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcs θ(0≤ρcs θ≤1)．
∴ρ＝eq \f(1,sin θ＋cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2))).
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))) C．(1,0) D．(1，π)
答案 B
解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))，知圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))，故选B.
题组三 易错自纠
4．在极坐标系中，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝eq \r(3)
C．ρcs θ＝1 D．ρcs θ＝eq \r(3)
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))转化为直角坐标为x＝ρcs θ＝2cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)，y＝ρsin θ＝2sin eq \f(π,6)＝1，即(eq \r(3)，1)，过点(eq \r(3)，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 ．
答案 x2＋y2－2y＝0
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．
解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsin θ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0)．
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝eq \f(\r(3),3)a，
∴B点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a，a)).
又∵点B在x2＋y2－4y＝0上，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))2＋a2－4a＝0，
即eq \f(4,3)a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
∴a＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)极坐标方程ρ2cs θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
答案 C
解析 ρ2cs θ－ρ＝0⇒ρ＝eq \r(x2＋y2)＝0，或ρcs θ＝1，x＝1.
(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
答案 C
解析 ∵ρ＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，tan θ＝eq \f(\r(3),－1)＝－eq \r(3).
又点M在第二象限，∴θ＝eq \f(2π,3)，
∴点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
跟踪训练1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1得，
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1.
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解 (1)圆心C的直角坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))，
则设圆C的直角坐标方程为(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝r2，
依题意可知r2＝(0－eq \r(2))2＋(0－eq \r(2))2＝4，
故圆C的直角坐标方程为(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝4，
即x2＋y2－2eq \r(2)(x＋y)＝0，
化为极坐标方程为ρ2－2eq \r(2)ρ(sin θ＋cs θ)＝0，
即ρ＝2eq \r(2)(sin θ＋cs θ)．
(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2eq \r(2)(x＋y)＝0中，
令y＝0，得x2－2eq \r(2)x＝0，解得x＝0或2eq \r(2).
于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2eq \r(2)，0)，
由于直线过圆心C(eq \r(2)，eq \r(2))和点(2eq \r(2)，0)，
则该直线的直角坐标方程为y－0＝eq \f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))(x－2eq \r(2))，
即x＋y－2eq \r(2)＝0.
化为极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－2eq \r(2)＝0.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 已知曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ