专题10 新定义问题（3）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题10  新定义问题（3）

【规律总结】

※知识精要

新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题

目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义

的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】

例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（    ）

A．6个 B．10个 C．16个 D．20个

【答案】C

【分析】

由，以及若x不是整数，则<x知，即n是6的倍数，得到n的值.

【详解】

∵，若x不是整数，则<x，

∴，即n是6的倍数，

∴n的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，

故选：C.

【点睛】

此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解表示不超过x的最大整数，得到，即n是6的倍数，由此解决问题.

例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为＝，＝，．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．

【答案】

【分析】

设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．

【详解】

设n的个位数字是a，十位数字是b，

∵n是“博雅数”，

∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，

∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），

∵m能被13整除，

∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数，

∵1≤a≤9，0≤b≤9，

∴a+b＝13，

∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；

∴m的值所有情况为：

1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；

3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；

6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；

∵F（1287）＝；F（3861）＝；F（6435）＝；

∴F（m）的最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．

例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．

根据题中所给材料，解答以下问题：

（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；

（2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值．

【答案】（1）1020，9990；（2）7．

【分析】

（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；

（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m，再根据定义求出即可得出最大值．

【详解】

解：（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，

可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；

（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m”可能是1062；1602；1242；1422；2664．

当=1602时，；

当=1062时，；

当=1242时，；

当=1422时，；

当=2664时，；

故的最大值为7．

【点睛】

本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）若规定“！”是一种数学运算符号，且 ，，，，则 的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据数学运算符号“！”得出和的值，再计算有理数的乘除法即可得．

【详解】

由题意得：，

，

，

故选择：C．

【点睛】

本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．

2．（2020·江苏常州市·七年级期中）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（   ）

A．4159 B．6419 C．5179 D．6174

【答案】D

【分析】

设这个四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值．

【详解】

由题意，不妨设这个四位数为1234，

则经过第1次F运算的结果为，

经过第2次F运算的结果为，

经过第3次F运算的结果为，

经过第4次F运算的结果为，

由此可知，这个定值为6174，

故选：D．

【点睛】

本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F运算的定义是解题关键．

二、填空题

3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知a是不等于的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为，已知是的和倒数，是的和倒数，是的和倒数，…，依此类推，则______．

【答案】

【分析】

根据和倒数的定义分别计算出a1、a2、a3、…a12的值，代入计算即可求解．

【详解】

解：a1＝1，a2，a3，，，，，，，，，，

则a1•a2•a3…a12＝1．

故答案为：

【点睛】

本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a1，a2，a3，a4，a5…a12的值是解题关键．

4．（2020·江门市新会尚雅学校八年级期中）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若 与是关于2的共轭二次根式，则m的值为___．

【答案】

【分析】

根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m的值；

【详解】

解：∵ 与是关于2的共轭二次根式，

∴

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．

三、解答题

5．（2020·重庆市凤鸣山中学八年级期中）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为个则称为进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个进制表示的数通常使用个阿拉伯数字作为基数，特点是逢进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ，则，七进制数

（1）请将以下两个数转化为十进制：       ，（       ．

（2）若一个正数可以用7进制表示为，也可用五进制表示为，求出这个数并用十进制表示．

【答案】（1）93，34；（2）这个数用十进制表示为51或102．

【分析】

（1）根据进制的规则列式计算即可；

（2）根据题意列得，化简成24a+b=12c，根据a、b、c的取值范围分别将a从1开始取值验证，即可得到答案．

【详解】

（1），，

故答案为：93，34；

（2）根据题意得：，

∴24a+b=12c，

∴，

∵a、b、c均为整数，且，

∴b=0，c=2a，

∵，，

∴或，

∵，．

∴这个数用十进制表示为51或102．

【点睛】

此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．

6．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．

（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．

（2）如图3，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点为D．

①求m的值和点D的坐标；

②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①，；②存在，或或

【分析】

（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；

（2）①将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；

②根据抛物线解析式求出，，，当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为；Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标．中分线解析式为；Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为．

【详解】

解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，

直径所在的直线为圆的中分线，

（2）①将代入抛物线，得

，

解得，

抛物线解析式，

顶点为；

②将代入抛物线解析式，得

，

解得或4，

，，

令，则，

，

当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，

根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，

所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．

Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，

中分线经过点，

中分线解析式为；

Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即．

中分线经过点，

中分线解析式为；

Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，

中分线经过点，

中分线解析式为，

综上，中分线的解析式为式为或为或为．

【点睛】

本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．