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2021广西区中考数学几何压轴题试卷（有答案）
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这是一份2021广西区中考数学几何压轴题试卷（有答案），共60页。
§7.6 几何压轴综合题
中考数学
1.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点 A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长 线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
解析 (1)证明:如图,连接DF. ∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.又∵点A关于直线DE的对称点为F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,∴∠DFG=90°.在Rt△DFG和Rt△DCG中, ∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH= AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME. ∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ADC=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴2∠2+2∠3=90°,∴∠2+∠3=45°,
∴∠EDH=45°.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90°,∠A=90°,∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.在△DME和△EBH中, ∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90°,AM=AE,∴ME= AE,∴BH= AE.
思路分析 本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构 造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.
解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角 形全等,从而将BH和AE转化到△AME中证明数量关系.
2.(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连 接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1.①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思 路.(可以不写出计算结果) 图1 备用图
解析 (1)①补全图形,如图1所示. 图1②AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AH⊥PH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=45°.∴AD=PQ.∵QH⊥BD,∴∠HQD=∠HDQ=45°.∴HD=HQ,∠ADB=∠DQH.∴△ADH≌△PQH.
∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP=∠PHQ+∠DHP.即∠AHP=∠DHQ=90°.∴AH⊥PH.(2)求解思路如下:a.由∠AHQ=152°画出图形,如图2所示;b.与②同理,可证△AHD≌△PHQ,可得AH=PH;c.由∠AHP=∠AHD-∠PHD=∠PHQ-∠PHD=90°,可得△AHP是等腰直角三角形;d.由∠AHQ=152°,∠BHQ=90°,可求∠BHA,∠DAH,∠PAD的度数;e.在Rt△ADP中,由∠PAD的度数和AD的长,可求DP的长.
图2
解题关键 准确画出图形,用平移的性质得PQ=CD,才能得到后续结论,同时对于考查思路的 题目,还需要按照“由……,可得(可求)……”这样的句式一步一步进行操作.
3.(2014北京,24,7分)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE, 其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.
解析 (1)补全图形,如图所示. (2)连接AE,如图.
∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,∠EAP=∠BAP=20°.∵AB=AD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADF.又∠BAD=90°,∴2∠ADF+40°+90°=180°.∴∠ADF=25°.(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2.证明:连接AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.
∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,FE=FB.可证得∠FEA=∠FBA.∵AB=AD,∴AE=AD.∴∠ADE=∠AED.∴∠ADE=∠ABF.又∵∠DGF=∠AGB,
∴∠DFB=∠BAD=90°.∴FB2+FD2=BD2.∵BD2=2AB2,∴FE2+FD2=2AB2.
4.(2012北京,24,7分)在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段 PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含 α的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出α的范围.
解析 (1)补全图形,如图1.∠CDB=30°. 图1(2)猜想:∠CDB=90°-α.证明:如图2,连接AD,PC.∵BA=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC.
图2∵点D,P在直线BM上,∴PA=PC,DA=DC.又∵DP为公共边,∴△ADP≌△CDP.∴∠DAP=∠DCP,∠ADP=∠CDP.又∵PA=PQ,∴PQ=PC.
∴∠DCP=∠PQC.∴∠DAP=∠PQC.∵∠PQC+∠DQP=180°,∴∠DAP+∠DQP=180°.∴在四边形APQD中,∠ADQ+∠APQ=180°.∵∠APQ=2α,∴∠ADQ=180°-2α.∴∠CDB= ∠ADQ=90°-α.(3)α的范围是45°<α<60°.
5.(2018北京东城一模,27)已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂 线,交 AD的延长线于点H.(1)如图1,若∠BAC=60°,①直接写出∠B和∠ACB的度数;②若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.
解析 (1)①∠B=75°,∠ACB=45°.②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中,由∠DAC=30°,AD=AB=2可得DE=1,AE= .Rt△CDE中,由∠ACD=45°,DE=1,可得EC=1.∴AC= +1.Rt△ACH中,由∠DAC=30°,可得AH= . (2)线段AH与AB+AC之间的数量关系为2AH=AB+AC.证明: 延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH.易证△ACH ≌△AFH.
∴AC=AF,HC=HF.∴GH∥BC.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠AGH=∠AHG,∴AG=AH.∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.
解题关键 解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关 系.
6.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转α,所得射线与线 段BD交于点M,作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.(1)如图1,当0°<α<45°时,①依题意补全图形; ②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系: ;(2)当45°<α<90°时,探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系,并加以证明;(3)当0°<α<90°时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.
解析 (1)①补全的图形如图1所示. 图1②∠NCE=2∠BAM.(2)当45°<α<90°时,∠NCE=180°-2∠BAM.证明:如图2,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.
图2∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对 称.∵射线AM与线段BD交于点M,∴∠BAM=∠BCM=α,∴∠1=∠2=90°-α.∵CE⊥AM,
∴∠CEH=90°,∠3+∠5=90°.又∵∠1+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2=90°-α.∵点N与点M关于直线CE对称,∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=180°-2∠BAM.(3) +1.提示:∵∠CEA=90°,∴点E在以AC为直径的圆上,∴线段EF的最大值为1+ .
7.(2018北京海淀一模,27)如图,已知∠AOB=60°,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PE⊥OB, 交OB于点E,点D在∠AOB内,且满足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.(1)当DP=PE时,求DE的长;(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得 的值不变,并证明你的判断.
解析 (1)作PF⊥DE交DE于F.∵PE⊥BO,∠AOB=60°, ∴∠OPE=30°,∴∠DPA=∠OPE=30°,∴∠EPD=120°.∵DP=PE,DP+PE=6,∴∠PDE=30°,DP=PE=3.∴DF=PD·cos 30°= ,
∴DE=2DF=3 .(2)存在.当点M在射线OA上且满足MO=2 时, 的值不变,始终为1.理由如下:当点P与点M不重合时,延长EP到K,使得PK=PD,连接MK. ∵∠DPA=∠OPE,∠OPE=∠KPA,∴∠KPA=∠DPA.∴∠KPM=∠DPM.∵PK=PD,PM是公共边,
∴△KPM≌△DPM.∴MK=MD.作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.∵MO=2 ,∠MOL=60°,∴ML=MO·sin 60°=3,∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK,∴四边形MNEL为矩形,∴EN=ML=3.∵EK=PE+PK=PE+PD=6,∴EN=NK.∵MN⊥EK,∴MK=ME.∴ME=MK=MD,即 =1.当点P与点M重合时,OP=OM=2 ,易求得PD=PE=3,
∴ = =1.综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2 时, 的值不变,始终为1.
解题关键 解决本题第二问的关键是要能够借助对称性和解直角三角形的相关知识发现线 段之间的数量关系.
8.(2018北京朝阳一模,27)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB边上的动点(与点A,B不重 合),连接CE,将∠ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心顺时针旋转120°,分别交射线AD于 点F,G.(1)依题意补全图形;(2)若∠ACE=α,求∠AFC 的大小(用含α的式子表示);(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.
解析 (1)补全的图形如图所示. (2)由题意可知,∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°.∴∠AGC=30°.∴∠AFC=α+30°.(3)线段AE、AF与CG之间的数量关系为AE+AF= CG.
证明:作CH⊥AG于点H.由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°,∴CA=CG.∴HG= AG.∵∠ACE=∠GCF,∠CAE=∠CGF,∴△ACE≌△GCF,∴AE=FG.在Rt△HCG中,HG=CG·cos∠CGH= CG,∴AG= CG.即AF+AE= CG.
解题关键 解决本题的关键是要根据120°角构造含30°角的直角三角形,进而通过全等三角 形、解直角三角形相关知识来解决.
9.(2018北京丰台一模,28)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,过点C在△ABC外作射线CE,且 ∠BCE=α,点B关于CE的对称点为点D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CE于点M,N.(1)依题意补全图形;(2)当α=30°时,直接写出∠CMA的度数;(3)当0°<α<45°时,用等式表示线段AM,CN之间的数量关系,并证明.
解析 (1)如图. (2)45°.(3)结论:AM= CN.证明:作AG⊥NC交NC的延长线于点G.∵点B与点D关于CE对称,∴CE是BD的垂直平分线,∴CB=CD.
∴∠1=∠2=α.∵CA=CB,∴CA=CD,∴∠3=∠CAD.∵∠4=90°,∴∠3= (180°-∠ACD)= (180°-90°-α-α)=45°-α.∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°.∵∠4=90°,CE是BD的垂直平分线,∴∠1+∠7=90°,∠1+∠6=90°,∴∠6=∠7.∵AG⊥EC,∴∠G=90°=∠8.∴在△BCN和△CAG中, ∴△BCN≌△CAG.
∴CN=AG.∵Rt△AMG中,∠G=90°,∠5=45°,∴AM= AG.∴AM= CN.
思路分析 本题最后一问需要构造全等三角形来解决.
解题关键 求线段之间的关系时经常会利用全等、旋转、轴对称等变换将不在同一个三角 形的线段转化到同一个三角形中,然后找出关系.
10.(2018北京通州一模,27)如图,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的 直线l上取一点P,连接PN,以线段PN为边,在PN的上方作正方形NPAB.射线MA交直线l于点C,连 接BC.(1)设∠ONP=α,求∠AMN的度数;(2)写出线段AM与BC之间的等量关系,并证明.
解析 (1)连接PM,如图1所示. 图1∵l是线段MN的垂直平分线,∴PM=PN,∴∠ONP=∠OMP=α.∵四边形APNB是正方形,∴PA=PN,∠APN=90°.∴PM=PA,∴∠AMP=∠MAP.
∵∠APC+∠CPN=90°,∠CPN+∠ONP=90°,∴∠APC=∠ONP=α.∴∠MPA=90°-α-α=90°-2α.∴∠AMP=∠PAM= (180°-∠MPA)=45°+α.∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°.(2)AM= BC.证明如下:作AE⊥MN,交直线MN于点E,作AG⊥l,交直线l于点G,连接EP,如图2所示. 图2
在△AGP与△PON中, ∴△AGP≌△PON(AAS),∴PO=AG.又易知AG=EO,∴EP= OE= AG=AC.又∵∠APG=∠BAG,∴45°-∠APG=45°-∠BAG,即∠EPA=∠CAB.在△ACB与△EPA中, ∴△ACB≌△PEA(AAS),∴BC=AE.又AM= AE,
∴AM= BC.
11.(2018北京大兴一模,27)如图,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,F是AB边上一点,作射线CF, 过点B作BG⊥CF于点G,连接AG.(1)求证:∠ABG=∠ACF;(2)用等式表示线段CG,AG,BG之间的数量关系,并证明.
解析 (1)证明:∵∠CAB=90°,BG⊥CF于点G,∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA.∴∠ABG=∠ACF.(2)CG= AG+BG.证明:在CG上截取CH=BG,连接AH, ∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=90°,AB=AC.又∠ABG=∠ACH,
∴△ABG≌△ACH.∴AG=AH,∠GAB=∠HAC,∴∠GAH=90°,∴AG2+AH2=GH2,∴GH= AG,∴CG=GH+CH= AG+BG.
12.(2018北京顺义一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使 BF=BE,过点F作FH⊥AE于点H,射线FH分别交AB、CD于点M、N,交对角线AC于点P,连接AF.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠FAC=∠APF;(3)用等式表示线段FM与PN之间的数量关系,并加以证明.
解析 (1)补全图如图所示. (2)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,∴∠PAH=45°-∠BAE.∵FH⊥AE,∴∠APF=45°+∠BAE.∵BF=BE,
∴AF=AE,∠BAF=∠BAE.∴∠FAC=45°+∠BAF=45°+∠BAE.∴∠FAC=∠APF. (3)FM=PN.证明:过B作BQ∥MN交CD于点Q,∴MN=BQ,BQ⊥AE.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠BAE=∠CBQ,∴△ABE≌△BCQ,∴AE=BQ,∴AE=MN.∵∠FAC=∠APF,∴AF=FP.∵AF=AE,∴AE=FP,∴FP=MN,∴FM=PN.
13.(2018北京房山一模,27)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,点D为边BC上的点,连接 AD,∠BAD=α,点D关于AB的对称点为E,点E关于AC的对称点为G,线段EG交AB于点F,连接AE, DE,DG,AG.(1)依题意补全图形;(2)求∠AGE的度数(用含α的式子表示);(3)用等式表示线段EG与EF,AF之间的数量关系,并说明理由.
解析 (1)如图. (2)由对称性可知,AB为线段ED的垂直平分线,AC为线段EG的垂直平分线.∴AE=AG=AD.∴∠AEG=∠AGE,∠BAE=∠BAD=α,∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,
∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,∴∠AGE= (180°-∠EAG)=60°-α.(3)EG=2EF+AF.设AC交EG于点H. ∵∠BAC=30°,∠AHF=90°,
∴FH= AF,∴EH=EF+FH=EF+ AF,又∵点E,G关于AC对称,∴EG=2EH,∴EG=2 =2EF+AF.
14.(2018北京怀柔一模,27)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是BC上任意一点,将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接EC.(1)依题意补全图形;(2)求∠ECD的度数;(3)若∠CAE=7.5°,AD=1,将射线DA绕点D顺时针旋转60°,交EC的延长线于点F,请写出求AF长 的思路.
解析 (1)如图. (2)∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE.∴∠DAE=90°,AD=AE.∴∠DAC+∠CAE=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°.∴∠BAD=∠CAE .又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE.∵△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.(3)①连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形,所以可求出DE的长.②由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°,可求∠EDC的度数和∠CDF的度数,从而可知DF的长.③过点A作AH⊥DF于点H,在Rt△ADH中,由∠ADF=60°,AD=1可求AH、DH的长.④由DF、DH的长可求HF的长.⑤在Rt△AHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长.
15.(2018北京延庆一模,27)如图,正方形ABCD中,点E是BC延长线上一点,连接DE,过点B作BF⊥ DE于点F,连接FC.(1)求证:∠FBC=∠CDF.(2)作点C关于直线DE的对称点G,连接CG,FG.①依据题意补全图形;②用等式表示线段DF,BF,CG之间的数量关系,并加以证明.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°.∴∠CDF+∠E=90°.∵BF⊥DE,∴∠FBC+∠E=90°.∴∠FBC=∠CDF.(2)①如图1.
图1
②线段DF,BF,CG之间的数量关系为BF=DF+CG.证明:在BF上取点M,使得BM=DF,连接CM,如图2所示.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC.∵∠FBC=∠CDF,BM=DF,∴△BMC≌△DFC,∴CM=CF,∠BCM=∠DCF,∴△MCF是等腰直角三角形.∴∠BFC=45°.∵点C与点G关于直线DE对称,∴CF=GF,∠CFE=∠GFE.∵BF⊥DE,∠BFC=45°,∴∠CFE=45°,
∴∠CFG=90°,∴∠CFG=∠MCF,∴CM∥GF.∵CM=CF,CF=GF,∴CM=GF,∴四边形CGFM是平行四边形,∴CG=MF,∴BF=BM+FM=DF+CG.
图2
16.(2018北京东城二模,27)如图所示,点P位于等边△ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.(1)∠BPC的度数为 °;(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD,①依题意补全图形;②证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.
解析 (1)120.(2)①如图1所示. 图1②在等边△ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.∵∠ACP=∠CBP,∴∠CBP+∠BCP=60°,∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=120°,∴∠CPD=180°-∠BPC=60°,∵PD=PC,
∴△CPD为等边三角形.∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,∴∠ACD=∠BCP.在△ACD和△BCP中, ∴△ACD≌△BCP(SAS).∴AD=BP,∴AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图2,作BM⊥AD于点M,BN⊥DC延长线于点N.
图2
∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,∴∠ADB=∠CDB=60°,∴BM=BN= BD= .又由(2)得,AD+CD=BD=2,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= AD·BM+ CD·BN= (AD+CD)= ×2= .
17.(2018北京海淀二模,27)如图,在等边△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,且CD=CE,∠DBC <30°,点C与点F关于直线BD对称,连接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G.(1)DE,DF之间的数量关系是 ;(2)若∠DBC=α,求∠FEC的大小;(用α的式子表示)(3)用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系,并证明.
解析 (1)DE=DF.(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°.∵∠DBC=α,∴∠BDC=120°-α.∵点C与点F关于直线BD对称,∴∠BDF=∠BDC=120°-α,DF=DC.∴∠FDC=120°+2α.由(1)知DE=DF,∴F,E,C在以D为圆心,DC为半径的圆上.∴∠FEC= ∠FDC=60°+α.(3)BG=GF+FA.证明:连接BF,延长AF,BD,交于点H,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC=CA.∵点C与点F关于直线BD对称,∴BF=BC,∠FBD=∠CBD.∴BF=BA,∴∠BAF=∠BFA. 设∠CBD=α,则∠ABF=60°-2α,∴∠BAF=60°+α,
∴∠FAD=α,∴∠FAD=∠DBC.由(2)知∠FEC=60°+α.∴∠BGE=∠FEC-∠DBC=60°.∴∠FGB=120°,∠FGD=60°.四边形AFGB中,∠AFE=360°-∠FAB-∠ABG-∠FGB=120°,∴∠HFG=60°,∴△FGH是等边三角形,∴FH=FG,∠H=60°.∵CD=CE,∴DA=EB.在△AHD与△BGE中, ∴△AHD≌△BGE.
∴BG=AH.∵AH=HF+FA=GF+FA,∴BG=GF+FA.
18.(2018北京西城二模,27)如图,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段 QA绕点Q顺时针旋转,使得点A对应的点E落在射线BC上,连接BQ,设∠DAQ=α(0°<α<60°且α≠ 30°).(1)当0°<α<30°时,①在图中依题意画出图形,并求∠BQE(用含α的式子表示);②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;(2)当30°<α<60°时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.
解析 (1)①画出的图形如图1所示. 图1∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°.∵CD为等边三角形的中线,Q为线段CD上的点,∴由等边三角形的对称性得QA=QB.∵∠DAQ=α,∴∠ABQ=∠DAQ=α,∠QBE=60°-α.∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,
∴QE=QA,∴QB=QE,可得∠BQE=∠180°-2∠QBE=180°-2(60°-α)=60°+2α.②CE+AC= CQ.证明:如图2,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QH⊥AC于点H. 图2∵∠BQE=60°+2α,点E在BC上,∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=(60°+2α)+(60°-α)=120°+α.∵点F在CA的延长线上,∠DAQ=α,∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α.
∴∠QAF=∠QEC.又∵AF=EC,QA=QE,∴△QAF≌△QEC,∴QF=QC.∵QH⊥AC于点H,∴FH=CH,CF=2CH.∵在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在CD上,∴∠ACQ= ∠ACB=30°,即△QCF为底角为30°的等腰三角形.∴CH=CQ·cos∠HCQ=CQ·cos 30°= CQ.∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH= CQ,即CE+AC= CQ.(2)当30°<α<60°时,AC-CE= CQ.
19.(2017北京朝阳二模,28)在△ABC中,∠ACB=90°,以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,且点D 与点C在直线AB的两侧,连接CD.(1)如图1,若∠ABC=30°,则∠CAD的度数为 .(2)已知AC=1,BC=3.①依题意将图2补全;②求CD的长;小聪通过观察、实验、提出猜想,与同学们进行交流,通过讨论,形成了求CD长的几种想法:想法1:延长CB,在CB延长线上截取BE=AC,连接DE.要求CD的长,需证明△ACD≌△BED,△CDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DH⊥BC于点H,DG⊥CA,交CA的延长线于点G,要求CD的长,需证明△BDH≌ △ADG,△CHD为等腰直角三角形.……请参考上面的想法,帮助小聪求出CD的长(一种方法即可).(3)用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系(直接写出即可).
图1 图2
解析 (1)105°.(2)①补全图形,如图1所示. 图1②证法一:如图2.∵∠ACB=∠ADB=90°,∴∠CAD+∠CBD=180°.∵∠DBE+∠CBD=180°,∴∠CAD=∠DBE.∵DA=DB,AC=BE,∴△ACD≌△BED.∴DC=DE,∠ADC=∠BDE.
∴∠CDE=90°.∴△CDE为等腰直角三角形.∵AC=1,BC=3,∴CE=4.∴CD=2 . 图2证法二:如图3.∵∠ACB=∠ADB=90°,
∴∠CAD+∠CBD=180°.∵∠DAG+∠CAD=180°,∴∠CBD=∠DAG.∵DA=DB,∠DGA=∠DHB=90°,∴△BDH≌△ADG.∴DH=DG,BH=AG.易证四边形DGCH为正方形,∴△CHD为等腰直角三角形.∵AC=1,BC=3,∴CH=2.∴CD=2 .
图3(3)AC+BC= CD.(提示:由全等三角形的性质和等腰直角三角形三边关系即可证明AC、BC、CD的数量关系)
20.(2017北京海淀二模,28)在锐角△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AC的中点.(1)如图1,过点C作CF⊥AB于F点,连接EF,若∠BAD=20°,求∠AFE的度数;(2)若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合),过点C作CN⊥AM于N点,射线EN,AB交于P点.①依题意将图2补全;②小宇通过观察、实验,提出猜想:在点M运动的过程中,始终有∠APE=2∠MAD.小宇把这个猜想与同学们进行讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:连接DE,要证∠APE=2∠MAD,只需证∠PED=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α,∠DAC=β,只需用α,β表示出∠PEC,通过角度计算得∠APE=2α.想法3:在NE上取点Q,使∠NAQ=2∠MAD,要证∠APE=2∠MAD,只需证△NAQ∽△APQ.……请你参考上面的想法,帮助小宇证明∠APE=2∠MAD.(一种方法即可)
解析 (1)证明:∵AB=AC,AD为BC边上的高,∠BAD=20°,∴∠BAC=2∠BAD=40°.∵CF⊥AB,∴∠AFC=90°.∵E为AC的中点,∴EF=EA= AC.∴∠AFE=∠BAC=40°.(2)①补全图形如图(画出一种即可).
画出一种即可.②证明:想法1:连接DE. ∵AB=AC,AD为BC边上的高,∴D为BC的中点.∵E为AC的中点,∴ED∥AB,∴∠1=∠APE.∵∠ADC=90°,E为AC的中点,∴AE=DE=CE= AC.同理,AE=NE=CE= AC.
∴AE=NE=CE=DE.∴A,N,D,C在以点E为圆心,AC为直径的圆上.∴∠1=2∠MAD.∴∠APE=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α,∠DAC=β,∵CN⊥AM,∴∠ANC=90°.∵E为AC的中点,∴AE=NE= AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠PEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.
想法3:在NE上取点Q,连接AQ,使∠NAQ=2∠MAD. ∴∠1=∠2.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠BAD-∠1=∠CAD-∠2,即∠3=∠4.∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ,即∠PAQ=∠EAN.∵CN⊥AM,
∴∠ANC=90°.∵E为AC的中点,∴AE=NE= AC.∴∠ANE=∠EAN.∴∠PAQ=∠ANE.∵∠AQP=∠AQP,∴△PAQ∽△ANQ.∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD.
21.(2017北京东城二模,28)取一张正方形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:第一步:如图1,先把正方形ABCD对折,折痕为MN;第二步:点G在线段MD上,将△GCD沿GC翻折,点D恰好落在MN上,记为点P,连接BP. 图1(1)判断△PBC的形状,并说明理由;(2)作点C关于直线AP的对称点C',连接PC',DC'.①在图2中补全图形,并求出∠APC'的度数;②猜想∠PC'D的度数,并加以证明.(温馨提示:当你遇到困难时,不妨连接AC',CC',研究图形中特殊的三角形)
图2
解析 (1)△PBC是等边三角形.理由如下:在正方形ABCD中,BC=CD,又CD=CP,∴BC=CP,∵P在MN上,∴PB=PC.∴PB=BC=PC.∴△PBC是等边三角形.(2)①补全图形,如图所示.
由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠APB=75°,由∠BPC=60°,可得∠APC=135°.根据对称性,得∠APC=∠APC'=135°.②∠PC'D=15°.证法一:连接AC',CC'.由①可得∠CPC'=90°.由对称性可知PC=PC',从而可求得AC=AC'=CC'= AB.从而△ACC'为等边三角形.由AC'=CC',DA=DC,C'D=C'D,可证△AC'D≌△CC'D,可得∠AC'D=∠CC'D=30°.根据对称性得∠AC'C=∠ACC',∠PC'C=∠PCC',所以∠AC'P=∠ACP,由△ABC为等腰直角三角形,可得∠ACB=45°,
由△PBC为等边三角形,可得∠BCP=60°,从而∠ACP=∠AC'P=15°.所以∠PC'D=∠AC'D-∠AC'P=15°.证法二:连接AC',CC'.由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠BAP=∠APB=75°,又∠BAC=45°,∴∠CAP=30°.根据对称性,得∠CAP=∠C'AP=30°,从而∠CAC'=60°.由对称性可知AC=AC',从而△ACC'为等边三角形.以下同证法一.
22.(2017北京西城一模,28)在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.(1)如图1,当∠ABC=90°时,若CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F,①求证:△BEF是等腰三角形;②求证:BD= (BC+BF);(2)点E在AB边上,连接CE.若BD= (BC+BF),在图2中补全图形,判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系,写出你的结论,并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路. 图1 图2
解析 在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.∴∠ABD=∠CBD,AD=CD.(1)①证明:∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°.∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.∴BE=BF.∴△BEF是等腰三角形.②证明:延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∴BD∥CM,BD= CM,∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,∠BFE=∠MCE.∴BC=BM.由①可得,∠BEF=∠BFE,BE=BF.∴∠BFE=∠MCE=∠BEF.∴EM=MC,∴BD= EM= (BC+BF).
(2)∠ACE= ∠ABC. a.与(1)②同理可证BD∥PC,BD= PC,BP=BC;b.由BD= (BC+BF)可知△PEC和△BEF分别是等腰三角形;c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,可知∠ACE= ∠ABC.
解题关键 解决本题的关键是借助辅助线(建议使用“延长”)构造等腰三角形,寻找边角关 系.
23.(2017北京朝阳一模,28)在△ABC中,∠ACB=90°,AC解析 (1)∵∠AEB=110°,∠ACB=90°,∴∠DAE=20°.(2)①补全图形,如图所示. ②证明:由题意可知∠AEF=90°,EF=AE.∵∠ACB=90°,∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°.∴∠BEF=∠DAE.∵BE=AD,∴△EBF≌△ADE.∴DE=BF.
24.(2017北京丰台一模,28)在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点 (不与点B,C,D重合),且AE⊥EF.(1)如图1,当BE=2时,求FC的长;(2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P.①依题意将图2补全;②小京通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学 们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法:想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证△AGE≌△ECP.想法2:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH,要证AE=PE,需证△EHP为等腰三角 形.想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM,要证AE=PE,需证四边形 MCPE为平行四边形.请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可)
解析 (1)∵正方形ABCD的边长为5,BE=2,∴EC=3.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°,∵AE⊥EF,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2.∴△ABE∽△ECF,
∴ = ,即 = ,∴FC= .(2)①依题意补全图形. ②证法一:在AB上截取AG=EC,连接EG. ∵AB=BC,∴GB=EB.∵∠B=90°,∴∠BGE=45°,∴∠AGE=135°.
∵∠DCB=90°,CP是正方形ABCD的外角平分线,∴∠ECP=135°.∴∠AGE=∠ECP.又∵∠1=∠2,∴△AGE≌△ECP.∴AE=PE.证法二:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH. ∴AB=BH=BC,∠ABE=∠HBE=90°.∴∠1=∠4,∠BHC=∠BCH=45°,∴AE=EH,∠4+∠5=45°.∵∠1=∠2,∴∠2+∠5=45°.
∵∠ECP=135°,∴∠HCP=180°,∴点H,C,P在同一条直线上.∵∠6=∠2+∠P=45°,∴∠5=∠P.∴EH=PE,∴AE=PE.证法三:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM. ∴MB=EB,∴∠MEB=45°,∴∠MEC=135°.由证法一知∠ECP=135°,∴∠MEC=∠ECP.∴ME∥PC.又∵AB=BC,∠ABC=∠MBC=90°,
∴△ABE≌△CBM.∴∠1=∠BCM,MC=AE.由(1)知∠1=∠2,∴∠2=∠BCM,∴MC∥EP.∴四边形MCPE为平行四边形.∴MC=PE.∴AE=PE.
解题关键 本题提供了三种方法,都是正确的,但有简有繁.构造全等在有角等的情况下,选择 截取边.解决本题的关键是要根据已知添加辅助线,同时要掌握全等三角形的判定方法.
25.(2017北京顺义一模,28)在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是 BF的中点.(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;(2)如图2,连接AH,GH. 小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成 了证明该猜想的几种想法:想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形;
想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.……请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH.(一种方法即可)
解析 (1)在正方形ABCD和正方形DEFG中,△ABD,△GDF为等腰直角三角形.∵AB=1,DG=2,∴由勾股定理求得BD= ,DF=2 .∵B、D、F三点共线,∴BF=3 .∵H是BF的中点,∴BH= BF= .(2)证法一:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,
在正方形ABCD和正方形DEFG中,∠ABD=∠DFE=45°,又B、D、F共线,∴∠ABH=∠MFH.又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,∴△ABH≌△MFH.∴AH=MH,AB=MF.∵AB=AD,∴AD=MF.∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,∴△ADG≌△MFG.∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.又∵∠DGM+∠MGF=90°,∴∠AGD+∠DGM=90°.∴△AGM为等腰直角三角形.∵AH=MH,∴AH=GH,AH⊥GH.
证法二:连接AC,GE分别交BF于点M,N, 在正方形ABCD和正方形DEFG中,∴AC⊥BD,GE⊥DF,DM= BD,DN= DF.∴∠AMD=∠GNH=90°,∵B、D、F三点共线,∴MN= BF.∵H是BF的中点,∴BH= BF.∴BH=MN.
∴BH-MH=MN-MH.∴BM=HN.∵AM=BM=DM,∴AM=HN=DM.∴MD+DH=NH+DH.∴MH=DN.∵DN=GN,∴MH=GN.∴△AMH≌△HNG.∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.∵∠HGN+∠GHN=90°,∴∠AHM+∠GHN=90°.∴∠AHG=90°.∴AH⊥GH.
26.(2017北京海淀一模,28)在▱ABCD中,点B关于直线AD的对称点为B',连接AB',CB',CB'交AD 于F点.(1)如图1,∠ABC=90°,求证:F为CB'的中点.(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB'的中点. 小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:过点B'作B'G∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;想法2:连接BB'交AD于H点,只需证H为BB'的中点;想法3:连接BB',BF,只需证∠B'BC=90°.……请你参考上面的想法,证明F为CB'的中点.(一种方法即可)(3)如图3,当∠ABC=135°时,AB',CD的延长线相交于点E,求 的值.
图3
解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形,AB=CD.∴∠D=∠BAD=90°.∵B,B'关于直线AD对称,∴∠B'AD=∠BAD=90°,AB=AB'.∴∠B'AD=∠D,AB'=CD.∵∠AFB'=∠CFD,∴△AFB'≌△DFC(AAS).∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.(2)证法一:过点B'作B'G∥CD交AD于G点.
∵B,B'关于直线AD对称,∴∠1=∠2,AB=AB'.∵B'G∥CD,AB∥CD,∴B'G∥AB.∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴B'A=B'G.∵AB=CD,AB=AB',∴B'G=CD.∵B'G∥CD,∴∠4=∠D.∵∠B'FG=∠CFD,∴△B'FG≌△CFD(AAS).∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.
证法二:连接BB'交AD于H点. ∵B,B'关于直线AD对称,∴直线AD是线段B'B的垂直平分线.∴B'H=HB.∵AD∥BC,∴ = =1.∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.证法三:连接BB',BF.
∵B,B'关于直线AD对称,∴直线AD是线段B'B的垂直平分线.∴B'F=FB.∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴B'B⊥BC.∴∠B'BC=90°.∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.∴∠3=∠4.∴FB=FC.∴B'F=FB=FC.∴F是CB'的中点.
(3)取B'E的中点G,连接GF. ∵由(2)得,F为CB'的中点,∴FG∥CE,FG= CE.①∵∠ABC=135°,AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=45°.由对称性,知∠EAD=∠BAD=45°.∵FG∥CE,AB∥CD,∴FG∥AB.∴∠GFA=∠FAB=45°.
∴∠FGA=90°,GA=GF.∴FG=sin∠EAD·AF= AF.②由①②可得 = .
解题思路 (1)利用三角形全等证线段相等.(2)根据题目中的想法证明.(3)连接GF,证明△AFG是等腰直角三角形,以FG为中间量求解.
解题关键 解决本题第(3)问的关键是要通过构造中点寻找45°角,并借助FG寻找等量关系.
27.(2017北京东城一模,28)在等腰△ABC中,(1)如图1,若△ABC为等边三角形,D为线段BC中点,线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE, 连接DE,则∠BDE的度数为 ;(2)若△ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将线段AD绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE,连接BE.①根据题意在图2中补全图形;②小玉通过观察、验证,提出猜测:在点D运动的过程中,恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨 论,形成了几种证明的思路:思路1:要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明△ADC≌△AEB;思路2:要证明CD=BE,只需要过点D作DF∥AB,交AC于F,证明△ADF≌△DEB;思路3:要证明CD=BE,只需要延长CB至点G,使得BG=CD,证明△ADC≌△DEG.……请参考以上思路,帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证明即可)(3)小玉的发现启发了小明:如图3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且∠ADE=∠C,此时小明发现BE,
BD,AC三者之间满足一定的数量关系,这个数量关系是 .(直接给出结论无需证 明)
解析 (1)30°.(2)①补全图形如图所示. ②思路1:如图,连接AE. ∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE为等边三角形,∴AE=AD.又∵△ABC为等边三角形,
∴∠EAD=∠BAC=60°,AB=AC.∵∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC.∴△EAB≌△DAC.∴CD=BE.思路2:过点D作DF∥AB,交AC于F. ∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=60°.∴△CDF为等边三角形.∴AF=BD.∵∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠DAF=∠EDB.又∵AD=DE,∴△ADF≌△DEB.∴DF=BE=CD.思路3:延长CB至G,使BG=CD. ∵BG+BD=CD+BD,∴DG=BC.∵△ABC为等边三角形,∴BC=AC,∠C=60°.∴DG=AC.
由证法二知∠EDB=∠DAC,又AD=DE,∴△ADC≌△DEG,∴DC=EG,∠C=∠G=60°,∴△GBE是等边三角形,∴EG=BE,∴CD=BE.(3)k(BE+BD)=AC.
28.(2017北京丰台二模,28)已知正方形ABCD,点E,F分别在射线AB,射线BC上,AE=BF,DE与AF 交于点O.(1)如图1,当点E,F分别在线段AB,BC上时,则线段DE与AF的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,当点E在线段AB的延长线上时,将线段AE沿AF平移至FG,连接DG.①依题意将图2补全;②小亮通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DG2=2AD2+2AE2.小亮把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:连接EG,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直 角三角形.想法2:延长AD,GF交于点H,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证△DGH是直角三角形.
请你参考上面的想法,帮助小亮证明DG2=2AD2+2AE2.(一种方法即可)
解析 (1)相等;垂直.(2)①依题意补全图形. ②证法一:连接GE.
由平移可得AE=FG,AE∥FG,∴四边形AEGF是平行四边形.∴AF=EG,AF∥EG,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAE=∠ABC=90°.∵在△AED和△BFA中, ∴△AED≌△BFA.
∴∠3=∠4,AF=DE.∴EG=DE.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠DEG=90°.∴DG2=DE2+EG2=2DE2.又∵DE2=AD2+AE2,∴DG2=2AD2+2AE2.证法二:延长AD,GF交于点H,
由平移可得AE=FG,AE∥FG,∴∠H+∠DAB=180°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,AD=DC.∴∠H=90°.∴DG2=GH2+DH2.∵∠HDC=∠DCF=90°,∴四边形HDCF是矩形.∴HF=DC.∴HF=AD.∵HG=FG+HF,∴HG=AE+HF=AE+AD.易证BF=AH且BF=AE,∴HD=AE-AD.
∴DG2=(AE+AD)2+(AE-AD)2=2AD2+2AE2.
29.(2016北京西城一模,28)在正方形ABCD中,点P是射线CB上一个动点.连接PA,PD,点M,N分 别为BC,AP的中点,连接MN交PD于点Q.(1)如图1,当点P与点B重合时,△QPM的形状是 ;(2)当点P在线段CB的延长线上时,如图2.①依题意补全图2;②判断△QPM的形状并加以证明;(3)点P'与点P关于直线AB对称,且点P'在线段BC上.连接AP',若点Q恰好在直线AP'上,正方形 ABCD的边长为2,请写出求此时BP长的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)等腰直角三角形.(2)①补全图形,如图所示. ②△QPM是等腰三角形.证明:延长BC至E,使CE=BP,连接AE,如图.
∵PB=CE,∴PB+BC=CE+BC,即CP=BE.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.在△DCP和△ABE中, ∴△DCP≌△ABE.∴∠1=∠E.∵M为BC的中点,∴MB=MC.∴MB+BP=MC+CE,即MP=ME.∴M为PE的中点.∵N为AP的中点,∴NM∥AE.∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.∴QP=QM.∴△QPM是等腰三角形.
(3)求解思路如下:a.由题意画出图形,并延长BC至E,使CE=BP,连接AE,如图. b.由(2)可得QM∥AE,可得 = ;c.由PP'∥AD,可得△P'PQ∽△ADQ,从而 = ;d.可得 = ;e.由点P'与点P关于直线AB对称,得BP'=BP=CE,设BP'=BP=CE=x,由AD=BC=2,M为BC的中点, 可分别表示出P'M,ME,P'P,可求BP的长.
思路分析 (1)易知△BMN为等腰直角三角形,结合正方形的对称性,可知△QPM为等腰直角 三角形.(2)依题意画图,由M、N为中点,构造以MN为中位线的三角形,从而证明△QPM为等腰三角形.(3)借助(2)的思想进行解题.
解题技巧 这类由特殊到一般的动点问题要寻求共同点,同时注意上一问对下一问的影响.
30.(2016北京海淀一模,28)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(与B、C两点不重 合),以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧,射线BA与射线CF相交于点G.(1)若点D在线段BC上,如图1,①依题意补全图1;②判断BC与CG的数量关系与位置关系,并加以证明;(2)若点D在线段BC的延长线上,且G为CF的中点,连接GE,AB= ,则GE的长为 ,并简述求GE长的思路.
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②BC与CG的数量关系为BC=CG,位置关系为BC⊥CG.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∠1+∠2=90°.∵射线BA、CF相交于点G,∴∠CAG=∠BAC=90°.∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=∠2+∠3=90°,AD=AF.∴∠1=∠3.在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF.∴∠B=∠ACF=45°.∴∠B=∠G=45°,∠BCG=90°.∴BC=CG,BC⊥CG. (2)GE= .思路如下:a.画出图形,如图所示. b.与②同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG;c.由AB= ,G为CF中点,可得BC=CG=FG=CD=2;d.过点A作AM⊥BD于M,过点E作EN⊥FG于N,可证△AMD≌△FNE,可得AM=FN=1,NE所在直
线为FG的垂直平分线,FE=EG;e.在Rt△AMD中,AM=1,MD=3,可得AD= ,故GE=FE=AD= .
思路分析 (1)补全图形.易证△ABD≌△ACF(SAS),则△BCG为等腰直角三角形;(2)由于点D 在BC的延长线上,所以要考虑借助(1)②的证明过程,同时寻找它们之间的差异,另外,题目中有 很多相等的线段,所以要考虑借助全等三角形来解决.
解题关键 解决本题的关键是要发现全等三角形,能够根据相等的线段构造全等的三角形.
31.(2016北京朝阳二模,28)在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC= ∠A.(1)如图1,若AB=AC,则BD与CE的数量关系是 ;(2)如图2,若AB≠AC,请你补全图2,思考BD与CE是否仍然具有(1)中的数量关系,并说明理由;(3)如图3,∠BDC=105°,BD=3,且BE平分∠ABC,请写出求BE长的思路.(不用写出计算结果)
解析 (1)BD=CE.(2)补全图形如图.证明:在BE上截取BF=CD,连接CF. ∵∠DCB=∠EBC= ∠A,在△DCB和△FBC中, ∴△DCB≌△FBC.∴BD=CF,∠FCB=∠DBC.∴∠CFE=∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠DBC=2∠FBC+∠ABE.∵∠CEF=∠A+∠ABE.∴∠CFE=∠CEF.
∴CF=CE.∴BD=CE.(3)求解思路如下:a.如图,过点E作EM⊥BC于M; b.由BE平分∠ABC,可得∠ABC=∠A;c.由∠BDC=105°,可得∠EBC=25°,∠A=50°,∠ACB=80°;d.由(2)知CE=BD=3,在Rt△CEM中,可求EM的长度;e.在Rt△BEM中,由∠EBM的度数和EM的长度,可求BE的长度.
思路分析 第(1)问利用ASA证△DCB≌△EBC;要解决第(2)问,首先要把第(1)问的结论进行 证明并思考两问之间的联系;要解决第(3)问,需要将BE放置在有已知角的直角三角形中,这样 才能借助三角函数来求边长.
答题技巧 写“思路”的题目,可以“节省”的是题目的计算过程,可以应用的句式是“由… …,可得(可求)……”等.
32.(2016北京朝阳一模,28)在等腰三角形ABC中,AC=BC,点P为BC边上一点(不与B、C重合),连 接PA,以P为旋转中心,将线段PA顺时针旋转,旋转角与∠C相等,得到线段PD,连接DB.(1)当∠C=90°时,请你在图1中补全图形,并直接写出∠DBA的度数;(2)如图2,若∠C=α,求∠DBA的度数(用含α的代数式表示);(3)连接AD,若∠C=30°,AC=2,∠APC=135°,请写出求AD长的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)补全图形如图. ∠DBA=90°.(2)过点P作PE∥AC交AB于点E.
∴∠PEB=∠CAB.∵AC=BC,∴∠CBA=∠CAB.∴∠PEB=∠PBE.∴PB=PE.又∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α,∴∠BPD=∠EPA.∵PA=PD,∴△PDB≌△PAE.
∵∠PBA=∠PEB= (180°-α)=90°- α,∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=90°+ α.∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=α.(3)求解思路如下:a.作AH⊥BC于H; b.由∠C=30°,AC=2,可得AH=1,CH= ,BH=2- ,利用勾股定理可求出AB的长;c.由∠APC=135°,可得∠APH=45°,可得AP= ;d.由∠APD=∠C=30°,AC=BC,AP=DP,可得△PAD∽△CAB,由相似比可求AD的长.
思路分析 (1)准确画出图形,用好旋转的性质.(2)添加辅助线,构造全等三角形.(3)已知中有两 个特殊角,所以应考虑构造直角三角形.
解题关键 解决本题的关键是要用好旋转的相关性质,同时本题中有大量相等的线段,要考虑 借助全等三角形来解题.
33.(2016北京石景山一模,28)在正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接BE.(1)请你在图1中画出△BEM,使得△BEM与△BEC关于直线BE对称;(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF,请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证 明;(3)在(2)的条件下,若点E为边CD的三等分点,且CE解析 (1)如图所示. (2)∠ABF与∠CBE的数量关系是∠ABF+∠CBE=45°.证明:连接BF,EF,延长DC到G,使得CG=AF,连接BG. ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠A=∠BCD=∠ABC=90°.∴△BAF≌△BCG.
∴BF=BG,∠ABF=∠CBG.∵AF+CE=EF,∴EF=GE.∴△BEF≌△BEG.∴∠FBE=∠GBE,∵∠GBE=∠GBC+∠CBE=∠ABF+∠CBE,∴∠FBE=∠ABF+∠CBE.∴∠ABF+∠CBE=45°.(3)求解思路如下:a.设正方形的边长为3a,AF=x,则EF=x+a,DF=3a-x,DE=2a;b.在Rt△EFD中,由EF2=DF2+DE2,可得(x+a)2=(3a-x)2+(2a)2, 从而得到x与a的关系2x=3a;c.根据cos∠FED= = ,可求得结果.
34.(2016北京海淀二模,28)已知:AB=BC,∠ABC=90°.将线段AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<90 °)得到线段AD.点C关于直线BD的对称点为E,连接AE,CE.(1)如图,①补全图形;②求∠AEC的度数; (2)若AE= ,CE= -1,请写出求角α度数的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②连接BE. ∵AB=BC,E,C关于直线BD对称,∴AB=BC=BE.
∴∠C=∠BEC,∠BAE=∠BEA.∴∠AEC=∠C+∠BAE.∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEC+∠C=270°,即2∠AEC=270°,∴∠AEC=135°.(2)求解思路如下:a.连接AC,过点A作AF⊥CE,交CE的延长线于点F,如图所示; b.由②知∠AEC=135°,由AE= 可求得AF=EF=1;c.由CE= -1,可求得FC= ,AC=2,AB=BC= ,可证△ABE为等边三角形;
d.由C,E两点关于直线BD对称,AB=AD,可求∠EBD=15°,∠ABD=75°,α=30°.
思路分析 (1)①补全图形.②由四边形内角和为360°及等腰三角形的性质求解.(2)在(1)②的 基础上构造等腰直角三角形,利用解直角三角形进行求解.
35.(2016北京石景山二模,28)如图,正方形ABCD,G为BC延长线上一点,E为射线BC上一点,连接 AE.(1)若E为BC的中点,将线段EA绕着点E顺时针旋转90°,得到线段EF,连接CF.①请补全图形;②求证:∠DCF=∠FCG;(2)若点E在BC的延长线上,过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点M,判断AE与EM的数量 关系并证明你的结论.
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②证法一:过F作FH⊥BG于H, 由题意得AE⊥EF,AE=EF.
∵∠B=∠AEF=∠EHF=90°,∴∠AEB+∠FEC=90°,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠HEF,∴△ABE≌△EHF.∴BE=FH,AB=EH,∵E为BC的中点,∴BE=CE=CH=FH.∴∠DCF=∠FCG=45°.证法二:取线段AB的中点H,连接EH. 由题意得AE⊥EF,AE=EF.∴∠AEB+∠FEC=90°.
在正方形ABCD中,∵∠B=90°,∴∠AEB+∠BAE=90°.∴∠FEC=∠BAE.∵AB=BC,E,H分别为BC,AB的中点,∴AH=EC,∴△ECF≌△AHE.∴∠ECF=∠AHE=135°,∴∠DCF=∠ECF-∠ECD=45°.∴∠FCG=45°.∴∠DCF=∠FCG.(2)AE=EM.证明:在BA的延长线上取一点N,使BN=BE,连接EN.
在正方形ABCD中,AB=BC,∴NA=CE.∵∠B=90°,∴∠N=45°.∵CM平分∠DCG,∠DCG=∠BCD=90°,∴∠MCE=∠N=45°.∵AD∥BG,∴∠DAE=∠AEC.∵∠AEM=∠NAD=90°,∴∠NAE=∠CEM.∴△NAE≌△CEM.
∴AE=EM.
教师专用题组
1.(2018河北,25,10分)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧 ,使点B在O右下方,且tan∠AOB= .在优弧 上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP.(1)若优弧 上一段 的长为13π,求∠AOP的度数及x的值;(2)求x的最小值,并指出此时直线l与 所在圆的位置关系;(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值. 备用图
解析 (1)设∠AOP=n°,则 =13π,得n=90,即∠AOP=90°.∵l∥OB,∴tan∠PQO=tan∠AOB= = = ,∴x=19.5.(2)要使x变小,则l向左平移.如图,当l平移到与 所在圆相切位置l1时,O与l的距离达到最大值OP1=26,此时Q1所对应的(负)数最小. 在Rt△P1Q1O中,tan∠P1Q1O=tan∠AOB= ,设P1Q1=3k,则OP1=4k=26,于是OQ1=5k,∴x最小=-5× =-32.5.此时直线l与 所在圆相切.
(3)±31.5,-16.5.【注:下面是(3)的一种解法:过点P作PH⊥直线OA于H.在Rt△PHQ中,由tan∠HQP= ,设PH=4k,HQ=3k,则PQ=5k=12.5,∴PH=10,HQ=7.5.在Rt△POH中,OH= =24.①当点P在O右上方时,如图,x=OQ=OH+HQ=31.5. ②当点P在O左上方时,如图,-x=OQ=OH-HQ=16.5,∴x=-16.5.
③当点P在O左下方时,如图,-x=OQ=OH+HQ=31.5,∴x=-31.5. 另外,∵tan∠POH= < =tan∠AOB,∴∠POH<∠AOB,∴优弧 上不存在点P在O右下方的情况】
思路分析 (1)首先利用弧长公式求出圆心角∠AOP,进而利用∠OQP=∠AOB,tan∠AOB= 求得x的值.(2)要使x变小,则直线l向左平移.当直线l与 所在圆相切时,x的值最小.利用∠P1Q1O=∠AOB,tan∠AOB= 求得x的最小值.(3)作PH⊥直线OA于H,先求出OH和HQ的值,再分三种情形:点P在O的右上方、左上方、左下方求出x的值.
难点分析 本题是以平移为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于从动态位置中 寻找不变的关系.点P的位置的确定是解决问题的关键.
易错警示 此题为动态的综合题,需将点P的位置分类讨论,学生往往只画出点P在O的右上方 或左下方而致错.
2.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,点M在边AC上, 点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AG∥BC,延长BM 交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当∠ACB=90°时:①求证:△BCM≌△ACN;②求∠BDE的度数;(2)当∠ACB=α,其他条件不变时,∠BDE的度数是 ;(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形,AB=3 ,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.
备用图1 备用图2
解析 (1)①证明:∵CA=CB,BN=AM,∴CB-BN=CA-AM,即CN=CM,∵BC=AC,∠MCB=∠ACN,CM=CN,∴△BCM≌△ACN.②∵△BCM≌△ACN,∴∠MBC=∠NAC,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵AG∥BC,∴∠GAC=∠ACB=90°,∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠NAC,∵∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=180°-90°=90°,∴∠BDE=90°.
(2)α或180°-α.(3)4 或 .详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:①如图1,E与N在点A异侧,可得∠BDE=180°-α; ②如图2,E与N在点A同侧,可得∠BDE=α. 图1 图2
(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:①如图3,当CN=MC= BC=2 时,由AD∥BC可得△ADM∽△CBM, = ,∴ = = = ,∴AD= .由EA=ED得AN=DF,又由△BCM≌△ACN可得AN=BM.过点A作AH⊥BC于H,由勾股定理可得,AN= .由(2)知∠BDE=120°∴∠BDF=60°,从而可得△BCM∽△BDF,∴ = ,∴ = ,∴BF= ,∴CF=BF-BC= . 图3
图4②如图4,当CN= BC= 时,与①同法可求得CF=4 .
思路分析 (1)①由“边角边”可证三角形全等.②∠BDE=∠EDA+∠ADM,由等边对等角可 得∠EAD=∠EDA.由△BCM≌△ACN,可得∠CBM=∠CAN,由两直线平行,内错角相等,可得∠ADM=∠CBM,∠DAM=∠C=90°.而∠CAN+∠EAD+∠DAM=180°,∴∠CAN+∠EAD=90°,∴∠BDE=90°.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论BN= BC和BN= BC两种情况.
易错警示 本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点, 都需要分类讨论.
3.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且 AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF= CG.
解析 (1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,∴AB=AE=AH+HE=4.∵BG⊥AE,∴∠AHB=90°.∴AB2=AH2+BH2.∴BH= = = .∴S△ABE= AE·BH= ×4× =2 . (4分)(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠FAO=∠ECO.∵点O为AC的中点,∴AO=CO.在△AOF和△COE中,∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE.
∴DF=BE. (6分)如图,过点A作AM⊥BC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GN⊥BC交BC于点N. ∴∠AMB=∠AME=∠GNC=∠GNB=90°.∴∠AHB=∠AMB.∵∠AQH=∠BQM,∴∠QAH=∠GBN.∵AB=AE,AM⊥BE,∴∠BAM=∠QAH,BM=ME.∴∠BAM=∠QAH=∠GBN.∵∠ACB=45°,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45°.∵∠BAG=45°+∠BAM,∠BGA=45°+∠GBN,
∴∠BAG=∠BGA.∴AB=GB.∵AB=AE,∴AE=BG.在△AME和△BNG中,∠AME=∠BNG,∠EAM=∠GBN,AE=BG,∴△AME≌△BNG.∴ME=NG.∴BE=2ME=2NG.在Rt△GNC中,∵∠GCN=45°,∴CG= NG.∴ CG=2NG,即BE=2NG= CG.∴DF=BE= CG. (10分)
思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得△ABE的面积;(2) 根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AM⊥BC,过点G作GN⊥BC,根据等 腰三角形的性质得∠BAM=∠QAH,BM=ME= BE,通过求证∠BAM=∠GBN,可得∠BAG=∠BGA,进而可得AB=AE=BG,利用△AME≌△BNG,得出NG=ME= BE,最后利用CG= NG得出DF=BE= CG.
方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质 找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.
4.(2016广东,25,9分)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2.边BC在其所在的直线上平移,将 通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形;(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
解析 (1)四边形APQD是平行四边形.(2)OA=OP且OA⊥OP.证明如下:①当BC向右平移时,如图, ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.∵PQ=BC,∴AB=PQ.∵QO⊥BD,∴∠BOQ=90°,∴∠BQO=90°-∠CBD=45°,∴∠BQO=∠CBD=∠ABD=45°,
∴OB=OQ.在△ABO和△PQO中, ∴△ABO≌△PQO(SAS).∴OA=OP,∠AOB=∠POQ.∵∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°,∴∠AOB+∠BOP=90°,即∠AOP=90°.∴OA⊥OP,∴OA=OP且OA⊥OP.②当BC向左平移时,如图,
同理可证,△ABO≌△PQO(SAS).∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,∴∠AOP+∠POB=∠POB+∠BOQ,∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP,∴OA=OP且OA⊥OP.(3)过点O作OE⊥BC于E.在Rt△BOQ中,OB=OQ,∴OE= BQ.①当BC向右平移时,如图,
BQ=BP+PQ=x+2,∴OE= (x+2).∵y=S△OPB= BP·OE= x· (x+2),∴y= x2+ x(0≤x≤2).当x=2时,y有最大值2.②当BC向左平移时,如图,BQ=PQ-PB=2-x, ∴OE= (2-x).∵y=S△OPB= BP·OE
= x· (2-x),∴y=- x2+ x(0≤x≤2).当x=1时,y有最大值 .综上所述,线段BC在其所在直线上平移的过程中,△OPB的面积能够取得最大值,最大值为2(参 考下图).
5.(2014江苏扬州,28,12分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在 CD边上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不 重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点 M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长 度.
图1
图2
解析 (1)①证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠APD+∠DAP=90°,∵△APO是由△ABO沿AO折叠而得,∴∠APO=∠B=90°,∴∠APD+∠CPO=90°,∴∠DAP=∠CPO,∴△ADP∽△PCO.②∵△ADP∽△PCO,∴ = = ,∴ = ,∵AD=8,∴CP=4,设AB=x,则DP=x-4,由∠D=90°得AP2=AD2+DP2,∴x2=82+(x-4)2,∴x=10,即AB=10.(2)∵折叠后△AOB与△AOP重合,∴AP=AB,∠OAB=∠OAP,
∵AB=CD,∴AP=CD,∵P是CD的中点,∴DP= AP,∵∠D=90°,∴∠PAD=30°,又∠OAB=∠OAP,∴∠OAB=30°.(3)不变.作MH∥BN交PB于点H,∴∠MHP=∠ABP,∠MHF=∠NBF,∵AP=AB,∴∠APB=∠ABP,∴∠MHP=∠APB,∴MP=MH,∵MP=BN,∴BN=MH,∵∠NFB=∠MFH,∴△NBF≌△MHF,∴FB=FH,
∵MP=MH,ME⊥PB,∴PE=EH,∵EF=EH+FH,∴EF=EP+FB= PB,由(1)得AB=10,AD=8,∴DP=6,∴PC=4,∴PB=4 ,∴EF= PB=2 .
6.(2015北京怀柔一模,28)在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD, CD,其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并 证明. 图1 图2
解析 (1)补全图形,如图所示. (2)连接AD,如图.∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,∠DAP=∠BAP=30°.∵AB=AC,∠BAC=60°,∴AD=AC,∠DAC=120°.∴∠ACE=30°.
(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.证明:连接AD,EB,EB与AC交于点F,如图.
∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,DE=BE,可证得∠EDA=∠EBA.∵AB=AC,AB=AD,∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.∴∠ABE=∠ACE.又∵∠AFB=∠CFE,∴∠BAC=∠BEC=60°.∵ED=BE,AB=BC,
∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.
7.(2015北京海淀一模,28)在菱形ABCD中,∠ADC=120°,点E是对角线AC上一点,连接DE,∠ DEC=50°,将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF,交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形;(2)求证:EG=BC;(3)用等式表示线段AE,EG,BG之间的数量关系. 备用图
解析 (1)补全图形如图所示. (2)证明:证法一:连接BE,如图. ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.
∵∠ADC=120°,∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的一条对角线,∴∠DCA= ∠DCB=30°.∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∴∠GEB=∠DEC+∠BEC=100°.∴∠GEB=∠CBE.∵∠FBC=50°,∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°.∴∠EBG=∠BEC.在△GEB与△CBE中,
∴△GEB≌△CBE.∴EG=BC.证法二:连接BE,设BG与EC交于点H,如图. ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∵∠ADC=120°,
∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的一条对角线,∴∠DCA= ∠DCB=30°.∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∵∠FBC=50°,∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°=∠BEC.∴BH=EH.在△GEH与△CBH中, ∴△GEH≌△CBH.∴EG=BC.
(3)AE+BG= EG.
8.(2015北京东城一模,26)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥ BE于点G,交BD于点F.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在△AOF和△BOE中,可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE 的数量关系;请回答:AF与BE的数量关系是 ;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求 的值.
解析 (1)AF=BE.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠BOC=90°,AO=BO,∵AG⊥BE,∠AFO=∠BFG,∴∠FAO=∠OBE,在△AFO与△BEO中, ∴△AFO≌△BEO,∴AF=BE.(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AC⊥BD,∠ABO=60°,∴∠FAO+∠AFO=90°,∵AG⊥BE,∴∠EAG+∠BEA=90°,
∴∠AFO=∠BEA,又∵∠AOF=∠BOE=90°,∴△AOF∽△BOE,∴ = ,∵∠ABO=60°,AC⊥BD,∴ =tan 60°= ,∴ = .
思路分析 (1)证明△AFO≌△BEO.(2)证明三角形相似,从而求出线段的比.
解题关键 解决本题的关键是要从第(1)问全等三角形的证明过程中获得启发,从而发现第(2) 问中的相似三角形,并运用相似三角形的性质及三角函数来解决.
§7.6 几何压轴综合题
中考数学
1.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点 A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长 线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
解析 (1)证明:如图,连接DF. ∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.又∵点A关于直线DE的对称点为F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,∴∠DFG=90°.在Rt△DFG和Rt△DCG中, ∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH= AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME. ∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ADC=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴2∠2+2∠3=90°,∴∠2+∠3=45°,
∴∠EDH=45°.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90°,∠A=90°,∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.在△DME和△EBH中, ∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90°,AM=AE,∴ME= AE,∴BH= AE.
思路分析 本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构 造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.
解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角 形全等,从而将BH和AE转化到△AME中证明数量关系.
2.(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连 接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1.①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思 路.(可以不写出计算结果) 图1 备用图
解析 (1)①补全图形,如图1所示. 图1②AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AH⊥PH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=45°.∴AD=PQ.∵QH⊥BD,∴∠HQD=∠HDQ=45°.∴HD=HQ,∠ADB=∠DQH.∴△ADH≌△PQH.
∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP=∠PHQ+∠DHP.即∠AHP=∠DHQ=90°.∴AH⊥PH.(2)求解思路如下:a.由∠AHQ=152°画出图形,如图2所示;b.与②同理,可证△AHD≌△PHQ,可得AH=PH;c.由∠AHP=∠AHD-∠PHD=∠PHQ-∠PHD=90°,可得△AHP是等腰直角三角形;d.由∠AHQ=152°,∠BHQ=90°,可求∠BHA,∠DAH,∠PAD的度数;e.在Rt△ADP中,由∠PAD的度数和AD的长,可求DP的长.
图2
解题关键 准确画出图形,用平移的性质得PQ=CD,才能得到后续结论,同时对于考查思路的 题目,还需要按照“由……,可得(可求)……”这样的句式一步一步进行操作.
3.(2014北京,24,7分)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE, 其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.
解析 (1)补全图形,如图所示. (2)连接AE,如图.
∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,∠EAP=∠BAP=20°.∵AB=AD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADF.又∠BAD=90°,∴2∠ADF+40°+90°=180°.∴∠ADF=25°.(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2.证明:连接AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.
∵点E与点B关于直线AP对称,∴AE=AB,FE=FB.可证得∠FEA=∠FBA.∵AB=AD,∴AE=AD.∴∠ADE=∠AED.∴∠ADE=∠ABF.又∵∠DGF=∠AGB,
∴∠DFB=∠BAD=90°.∴FB2+FD2=BD2.∵BD2=2AB2,∴FE2+FD2=2AB2.
4.(2012北京,24,7分)在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段 PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含 α的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出α的范围.
解析 (1)补全图形,如图1.∠CDB=30°. 图1(2)猜想:∠CDB=90°-α.证明:如图2,连接AD,PC.∵BA=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC.
图2∵点D,P在直线BM上,∴PA=PC,DA=DC.又∵DP为公共边,∴△ADP≌△CDP.∴∠DAP=∠DCP,∠ADP=∠CDP.又∵PA=PQ,∴PQ=PC.
∴∠DCP=∠PQC.∴∠DAP=∠PQC.∵∠PQC+∠DQP=180°,∴∠DAP+∠DQP=180°.∴在四边形APQD中,∠ADQ+∠APQ=180°.∵∠APQ=2α,∴∠ADQ=180°-2α.∴∠CDB= ∠ADQ=90°-α.(3)α的范围是45°<α<60°.
5.(2018北京东城一模,27)已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂 线,交 AD的延长线于点H.(1)如图1,若∠BAC=60°,①直接写出∠B和∠ACB的度数;②若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.
解析 (1)①∠B=75°,∠ACB=45°.②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中,由∠DAC=30°,AD=AB=2可得DE=1,AE= .Rt△CDE中,由∠ACD=45°,DE=1,可得EC=1.∴AC= +1.Rt△ACH中,由∠DAC=30°,可得AH= . (2)线段AH与AB+AC之间的数量关系为2AH=AB+AC.证明: 延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH.易证△ACH ≌△AFH.
∴AC=AF,HC=HF.∴GH∥BC.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠AGH=∠AHG,∴AG=AH.∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.
解题关键 解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关 系.
6.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转α,所得射线与线 段BD交于点M,作CE⊥AM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.(1)如图1,当0°<α<45°时,①依题意补全图形; ②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系: ;(2)当45°<α<90°时,探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系,并加以证明;(3)当0°<α<90°时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.
解析 (1)①补全的图形如图1所示. 图1②∠NCE=2∠BAM.(2)当45°<α<90°时,∠NCE=180°-2∠BAM.证明:如图2,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.
图2∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对 称.∵射线AM与线段BD交于点M,∴∠BAM=∠BCM=α,∴∠1=∠2=90°-α.∵CE⊥AM,
∴∠CEH=90°,∠3+∠5=90°.又∵∠1+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2=90°-α.∵点N与点M关于直线CE对称,∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=180°-2∠BAM.(3) +1.提示:∵∠CEA=90°,∴点E在以AC为直径的圆上,∴线段EF的最大值为1+ .
7.(2018北京海淀一模,27)如图,已知∠AOB=60°,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PE⊥OB, 交OB于点E,点D在∠AOB内,且满足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.(1)当DP=PE时,求DE的长;(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得 的值不变,并证明你的判断.
解析 (1)作PF⊥DE交DE于F.∵PE⊥BO,∠AOB=60°, ∴∠OPE=30°,∴∠DPA=∠OPE=30°,∴∠EPD=120°.∵DP=PE,DP+PE=6,∴∠PDE=30°,DP=PE=3.∴DF=PD·cos 30°= ,
∴DE=2DF=3 .(2)存在.当点M在射线OA上且满足MO=2 时, 的值不变,始终为1.理由如下:当点P与点M不重合时,延长EP到K,使得PK=PD,连接MK. ∵∠DPA=∠OPE,∠OPE=∠KPA,∴∠KPA=∠DPA.∴∠KPM=∠DPM.∵PK=PD,PM是公共边,
∴△KPM≌△DPM.∴MK=MD.作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.∵MO=2 ,∠MOL=60°,∴ML=MO·sin 60°=3,∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK,∴四边形MNEL为矩形,∴EN=ML=3.∵EK=PE+PK=PE+PD=6,∴EN=NK.∵MN⊥EK,∴MK=ME.∴ME=MK=MD,即 =1.当点P与点M重合时,OP=OM=2 ,易求得PD=PE=3,
∴ = =1.综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2 时, 的值不变,始终为1.
解题关键 解决本题第二问的关键是要能够借助对称性和解直角三角形的相关知识发现线 段之间的数量关系.
8.(2018北京朝阳一模,27)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB边上的动点(与点A,B不重 合),连接CE,将∠ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心顺时针旋转120°,分别交射线AD于 点F,G.(1)依题意补全图形;(2)若∠ACE=α,求∠AFC 的大小(用含α的式子表示);(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.
解析 (1)补全的图形如图所示. (2)由题意可知,∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°.∴∠AGC=30°.∴∠AFC=α+30°.(3)线段AE、AF与CG之间的数量关系为AE+AF= CG.
证明:作CH⊥AG于点H.由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°,∴CA=CG.∴HG= AG.∵∠ACE=∠GCF,∠CAE=∠CGF,∴△ACE≌△GCF,∴AE=FG.在Rt△HCG中,HG=CG·cos∠CGH= CG,∴AG= CG.即AF+AE= CG.
解题关键 解决本题的关键是要根据120°角构造含30°角的直角三角形,进而通过全等三角 形、解直角三角形相关知识来解决.
9.(2018北京丰台一模,28)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,过点C在△ABC外作射线CE,且 ∠BCE=α,点B关于CE的对称点为点D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CE于点M,N.(1)依题意补全图形;(2)当α=30°时,直接写出∠CMA的度数;(3)当0°<α<45°时,用等式表示线段AM,CN之间的数量关系,并证明.
解析 (1)如图. (2)45°.(3)结论:AM= CN.证明:作AG⊥NC交NC的延长线于点G.∵点B与点D关于CE对称,∴CE是BD的垂直平分线,∴CB=CD.
∴∠1=∠2=α.∵CA=CB,∴CA=CD,∴∠3=∠CAD.∵∠4=90°,∴∠3= (180°-∠ACD)= (180°-90°-α-α)=45°-α.∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°.∵∠4=90°,CE是BD的垂直平分线,∴∠1+∠7=90°,∠1+∠6=90°,∴∠6=∠7.∵AG⊥EC,∴∠G=90°=∠8.∴在△BCN和△CAG中, ∴△BCN≌△CAG.
∴CN=AG.∵Rt△AMG中,∠G=90°,∠5=45°,∴AM= AG.∴AM= CN.
思路分析 本题最后一问需要构造全等三角形来解决.
解题关键 求线段之间的关系时经常会利用全等、旋转、轴对称等变换将不在同一个三角 形的线段转化到同一个三角形中,然后找出关系.
10.(2018北京通州一模,27)如图,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的 直线l上取一点P,连接PN,以线段PN为边,在PN的上方作正方形NPAB.射线MA交直线l于点C,连 接BC.(1)设∠ONP=α,求∠AMN的度数;(2)写出线段AM与BC之间的等量关系,并证明.
解析 (1)连接PM,如图1所示. 图1∵l是线段MN的垂直平分线,∴PM=PN,∴∠ONP=∠OMP=α.∵四边形APNB是正方形,∴PA=PN,∠APN=90°.∴PM=PA,∴∠AMP=∠MAP.
∵∠APC+∠CPN=90°,∠CPN+∠ONP=90°,∴∠APC=∠ONP=α.∴∠MPA=90°-α-α=90°-2α.∴∠AMP=∠PAM= (180°-∠MPA)=45°+α.∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°.(2)AM= BC.证明如下:作AE⊥MN,交直线MN于点E,作AG⊥l,交直线l于点G,连接EP,如图2所示. 图2
在△AGP与△PON中, ∴△AGP≌△PON(AAS),∴PO=AG.又易知AG=EO,∴EP= OE= AG=AC.又∵∠APG=∠BAG,∴45°-∠APG=45°-∠BAG,即∠EPA=∠CAB.在△ACB与△EPA中, ∴△ACB≌△PEA(AAS),∴BC=AE.又AM= AE,
∴AM= BC.
11.(2018北京大兴一模,27)如图,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,F是AB边上一点,作射线CF, 过点B作BG⊥CF于点G,连接AG.(1)求证:∠ABG=∠ACF;(2)用等式表示线段CG,AG,BG之间的数量关系,并证明.
解析 (1)证明:∵∠CAB=90°,BG⊥CF于点G,∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA.∴∠ABG=∠ACF.(2)CG= AG+BG.证明:在CG上截取CH=BG,连接AH, ∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=90°,AB=AC.又∠ABG=∠ACH,
∴△ABG≌△ACH.∴AG=AH,∠GAB=∠HAC,∴∠GAH=90°,∴AG2+AH2=GH2,∴GH= AG,∴CG=GH+CH= AG+BG.
12.(2018北京顺义一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使 BF=BE,过点F作FH⊥AE于点H,射线FH分别交AB、CD于点M、N,交对角线AC于点P,连接AF.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠FAC=∠APF;(3)用等式表示线段FM与PN之间的数量关系,并加以证明.
解析 (1)补全图如图所示. (2)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,∴∠PAH=45°-∠BAE.∵FH⊥AE,∴∠APF=45°+∠BAE.∵BF=BE,
∴AF=AE,∠BAF=∠BAE.∴∠FAC=45°+∠BAF=45°+∠BAE.∴∠FAC=∠APF. (3)FM=PN.证明:过B作BQ∥MN交CD于点Q,∴MN=BQ,BQ⊥AE.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠BAE=∠CBQ,∴△ABE≌△BCQ,∴AE=BQ,∴AE=MN.∵∠FAC=∠APF,∴AF=FP.∵AF=AE,∴AE=FP,∴FP=MN,∴FM=PN.
13.(2018北京房山一模,27)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,点D为边BC上的点,连接 AD,∠BAD=α,点D关于AB的对称点为E,点E关于AC的对称点为G,线段EG交AB于点F,连接AE, DE,DG,AG.(1)依题意补全图形;(2)求∠AGE的度数(用含α的式子表示);(3)用等式表示线段EG与EF,AF之间的数量关系,并说明理由.
解析 (1)如图. (2)由对称性可知,AB为线段ED的垂直平分线,AC为线段EG的垂直平分线.∴AE=AG=AD.∴∠AEG=∠AGE,∠BAE=∠BAD=α,∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,
∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,∴∠AGE= (180°-∠EAG)=60°-α.(3)EG=2EF+AF.设AC交EG于点H. ∵∠BAC=30°,∠AHF=90°,
∴FH= AF,∴EH=EF+FH=EF+ AF,又∵点E,G关于AC对称,∴EG=2EH,∴EG=2 =2EF+AF.
14.(2018北京怀柔一模,27)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是BC上任意一点,将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接EC.(1)依题意补全图形;(2)求∠ECD的度数;(3)若∠CAE=7.5°,AD=1,将射线DA绕点D顺时针旋转60°,交EC的延长线于点F,请写出求AF长 的思路.
解析 (1)如图. (2)∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE.∴∠DAE=90°,AD=AE.∴∠DAC+∠CAE=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°.∴∠BAD=∠CAE .又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE.∵△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.(3)①连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形,所以可求出DE的长.②由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°,可求∠EDC的度数和∠CDF的度数,从而可知DF的长.③过点A作AH⊥DF于点H,在Rt△ADH中,由∠ADF=60°,AD=1可求AH、DH的长.④由DF、DH的长可求HF的长.⑤在Rt△AHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长.
15.(2018北京延庆一模,27)如图,正方形ABCD中,点E是BC延长线上一点,连接DE,过点B作BF⊥ DE于点F,连接FC.(1)求证:∠FBC=∠CDF.(2)作点C关于直线DE的对称点G,连接CG,FG.①依据题意补全图形;②用等式表示线段DF,BF,CG之间的数量关系,并加以证明.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°.∴∠CDF+∠E=90°.∵BF⊥DE,∴∠FBC+∠E=90°.∴∠FBC=∠CDF.(2)①如图1.
图1
②线段DF,BF,CG之间的数量关系为BF=DF+CG.证明:在BF上取点M,使得BM=DF,连接CM,如图2所示.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC.∵∠FBC=∠CDF,BM=DF,∴△BMC≌△DFC,∴CM=CF,∠BCM=∠DCF,∴△MCF是等腰直角三角形.∴∠BFC=45°.∵点C与点G关于直线DE对称,∴CF=GF,∠CFE=∠GFE.∵BF⊥DE,∠BFC=45°,∴∠CFE=45°,
∴∠CFG=90°,∴∠CFG=∠MCF,∴CM∥GF.∵CM=CF,CF=GF,∴CM=GF,∴四边形CGFM是平行四边形,∴CG=MF,∴BF=BM+FM=DF+CG.
图2
16.(2018北京东城二模,27)如图所示,点P位于等边△ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.(1)∠BPC的度数为 °;(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD,①依题意补全图形;②证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.
解析 (1)120.(2)①如图1所示. 图1②在等边△ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.∵∠ACP=∠CBP,∴∠CBP+∠BCP=60°,∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=120°,∴∠CPD=180°-∠BPC=60°,∵PD=PC,
∴△CPD为等边三角形.∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,∴∠ACD=∠BCP.在△ACD和△BCP中, ∴△ACD≌△BCP(SAS).∴AD=BP,∴AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图2,作BM⊥AD于点M,BN⊥DC延长线于点N.
图2
∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,∴∠ADB=∠CDB=60°,∴BM=BN= BD= .又由(2)得,AD+CD=BD=2,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= AD·BM+ CD·BN= (AD+CD)= ×2= .
17.(2018北京海淀二模,27)如图,在等边△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,且CD=CE,∠DBC <30°,点C与点F关于直线BD对称,连接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G.(1)DE,DF之间的数量关系是 ;(2)若∠DBC=α,求∠FEC的大小;(用α的式子表示)(3)用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系,并证明.
解析 (1)DE=DF.(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°.∵∠DBC=α,∴∠BDC=120°-α.∵点C与点F关于直线BD对称,∴∠BDF=∠BDC=120°-α,DF=DC.∴∠FDC=120°+2α.由(1)知DE=DF,∴F,E,C在以D为圆心,DC为半径的圆上.∴∠FEC= ∠FDC=60°+α.(3)BG=GF+FA.证明:连接BF,延长AF,BD,交于点H,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC=CA.∵点C与点F关于直线BD对称,∴BF=BC,∠FBD=∠CBD.∴BF=BA,∴∠BAF=∠BFA. 设∠CBD=α,则∠ABF=60°-2α,∴∠BAF=60°+α,
∴∠FAD=α,∴∠FAD=∠DBC.由(2)知∠FEC=60°+α.∴∠BGE=∠FEC-∠DBC=60°.∴∠FGB=120°,∠FGD=60°.四边形AFGB中,∠AFE=360°-∠FAB-∠ABG-∠FGB=120°,∴∠HFG=60°,∴△FGH是等边三角形,∴FH=FG,∠H=60°.∵CD=CE,∴DA=EB.在△AHD与△BGE中, ∴△AHD≌△BGE.
∴BG=AH.∵AH=HF+FA=GF+FA,∴BG=GF+FA.
18.(2018北京西城二模,27)如图,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段 QA绕点Q顺时针旋转,使得点A对应的点E落在射线BC上,连接BQ,设∠DAQ=α(0°<α<60°且α≠ 30°).(1)当0°<α<30°时,①在图中依题意画出图形,并求∠BQE(用含α的式子表示);②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;(2)当30°<α<60°时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.
解析 (1)①画出的图形如图1所示. 图1∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°.∵CD为等边三角形的中线,Q为线段CD上的点,∴由等边三角形的对称性得QA=QB.∵∠DAQ=α,∴∠ABQ=∠DAQ=α,∠QBE=60°-α.∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,
∴QE=QA,∴QB=QE,可得∠BQE=∠180°-2∠QBE=180°-2(60°-α)=60°+2α.②CE+AC= CQ.证明:如图2,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QH⊥AC于点H. 图2∵∠BQE=60°+2α,点E在BC上,∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=(60°+2α)+(60°-α)=120°+α.∵点F在CA的延长线上,∠DAQ=α,∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α.
∴∠QAF=∠QEC.又∵AF=EC,QA=QE,∴△QAF≌△QEC,∴QF=QC.∵QH⊥AC于点H,∴FH=CH,CF=2CH.∵在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在CD上,∴∠ACQ= ∠ACB=30°,即△QCF为底角为30°的等腰三角形.∴CH=CQ·cos∠HCQ=CQ·cos 30°= CQ.∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH= CQ,即CE+AC= CQ.(2)当30°<α<60°时,AC-CE= CQ.
19.(2017北京朝阳二模,28)在△ABC中,∠ACB=90°,以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,且点D 与点C在直线AB的两侧,连接CD.(1)如图1,若∠ABC=30°,则∠CAD的度数为 .(2)已知AC=1,BC=3.①依题意将图2补全;②求CD的长;小聪通过观察、实验、提出猜想,与同学们进行交流,通过讨论,形成了求CD长的几种想法:想法1:延长CB,在CB延长线上截取BE=AC,连接DE.要求CD的长,需证明△ACD≌△BED,△CDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DH⊥BC于点H,DG⊥CA,交CA的延长线于点G,要求CD的长,需证明△BDH≌ △ADG,△CHD为等腰直角三角形.……请参考上面的想法,帮助小聪求出CD的长(一种方法即可).(3)用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系(直接写出即可).
图1 图2
解析 (1)105°.(2)①补全图形,如图1所示. 图1②证法一:如图2.∵∠ACB=∠ADB=90°,∴∠CAD+∠CBD=180°.∵∠DBE+∠CBD=180°,∴∠CAD=∠DBE.∵DA=DB,AC=BE,∴△ACD≌△BED.∴DC=DE,∠ADC=∠BDE.
∴∠CDE=90°.∴△CDE为等腰直角三角形.∵AC=1,BC=3,∴CE=4.∴CD=2 . 图2证法二:如图3.∵∠ACB=∠ADB=90°,
∴∠CAD+∠CBD=180°.∵∠DAG+∠CAD=180°,∴∠CBD=∠DAG.∵DA=DB,∠DGA=∠DHB=90°,∴△BDH≌△ADG.∴DH=DG,BH=AG.易证四边形DGCH为正方形,∴△CHD为等腰直角三角形.∵AC=1,BC=3,∴CH=2.∴CD=2 .
图3(3)AC+BC= CD.(提示:由全等三角形的性质和等腰直角三角形三边关系即可证明AC、BC、CD的数量关系)
20.(2017北京海淀二模,28)在锐角△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AC的中点.(1)如图1,过点C作CF⊥AB于F点,连接EF,若∠BAD=20°,求∠AFE的度数;(2)若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合),过点C作CN⊥AM于N点,射线EN,AB交于P点.①依题意将图2补全;②小宇通过观察、实验,提出猜想:在点M运动的过程中,始终有∠APE=2∠MAD.小宇把这个猜想与同学们进行讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:连接DE,要证∠APE=2∠MAD,只需证∠PED=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α,∠DAC=β,只需用α,β表示出∠PEC,通过角度计算得∠APE=2α.想法3:在NE上取点Q,使∠NAQ=2∠MAD,要证∠APE=2∠MAD,只需证△NAQ∽△APQ.……请你参考上面的想法,帮助小宇证明∠APE=2∠MAD.(一种方法即可)
解析 (1)证明:∵AB=AC,AD为BC边上的高,∠BAD=20°,∴∠BAC=2∠BAD=40°.∵CF⊥AB,∴∠AFC=90°.∵E为AC的中点,∴EF=EA= AC.∴∠AFE=∠BAC=40°.(2)①补全图形如图(画出一种即可).
画出一种即可.②证明:想法1:连接DE. ∵AB=AC,AD为BC边上的高,∴D为BC的中点.∵E为AC的中点,∴ED∥AB,∴∠1=∠APE.∵∠ADC=90°,E为AC的中点,∴AE=DE=CE= AC.同理,AE=NE=CE= AC.
∴AE=NE=CE=DE.∴A,N,D,C在以点E为圆心,AC为直径的圆上.∴∠1=2∠MAD.∴∠APE=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α,∠DAC=β,∵CN⊥AM,∴∠ANC=90°.∵E为AC的中点,∴AE=NE= AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠PEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.
想法3:在NE上取点Q,连接AQ,使∠NAQ=2∠MAD. ∴∠1=∠2.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠BAD-∠1=∠CAD-∠2,即∠3=∠4.∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ,即∠PAQ=∠EAN.∵CN⊥AM,
∴∠ANC=90°.∵E为AC的中点,∴AE=NE= AC.∴∠ANE=∠EAN.∴∠PAQ=∠ANE.∵∠AQP=∠AQP,∴△PAQ∽△ANQ.∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD.
21.(2017北京东城二模,28)取一张正方形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:第一步:如图1,先把正方形ABCD对折,折痕为MN;第二步:点G在线段MD上,将△GCD沿GC翻折,点D恰好落在MN上,记为点P,连接BP. 图1(1)判断△PBC的形状,并说明理由;(2)作点C关于直线AP的对称点C',连接PC',DC'.①在图2中补全图形,并求出∠APC'的度数;②猜想∠PC'D的度数,并加以证明.(温馨提示:当你遇到困难时,不妨连接AC',CC',研究图形中特殊的三角形)
图2
解析 (1)△PBC是等边三角形.理由如下:在正方形ABCD中,BC=CD,又CD=CP,∴BC=CP,∵P在MN上,∴PB=PC.∴PB=BC=PC.∴△PBC是等边三角形.(2)①补全图形,如图所示.
由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠APB=75°,由∠BPC=60°,可得∠APC=135°.根据对称性,得∠APC=∠APC'=135°.②∠PC'D=15°.证法一:连接AC',CC'.由①可得∠CPC'=90°.由对称性可知PC=PC',从而可求得AC=AC'=CC'= AB.从而△ACC'为等边三角形.由AC'=CC',DA=DC,C'D=C'D,可证△AC'D≌△CC'D,可得∠AC'D=∠CC'D=30°.根据对称性得∠AC'C=∠ACC',∠PC'C=∠PCC',所以∠AC'P=∠ACP,由△ABC为等腰直角三角形,可得∠ACB=45°,
由△PBC为等边三角形,可得∠BCP=60°,从而∠ACP=∠AC'P=15°.所以∠PC'D=∠AC'D-∠AC'P=15°.证法二:连接AC',CC'.由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠BAP=∠APB=75°,又∠BAC=45°,∴∠CAP=30°.根据对称性,得∠CAP=∠C'AP=30°,从而∠CAC'=60°.由对称性可知AC=AC',从而△ACC'为等边三角形.以下同证法一.
22.(2017北京西城一模,28)在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.(1)如图1,当∠ABC=90°时,若CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F,①求证:△BEF是等腰三角形;②求证:BD= (BC+BF);(2)点E在AB边上,连接CE.若BD= (BC+BF),在图2中补全图形,判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系,写出你的结论,并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路. 图1 图2
解析 在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.∴∠ABD=∠CBD,AD=CD.(1)①证明:∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°.∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.∴BE=BF.∴△BEF是等腰三角形.②证明:延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∴BD∥CM,BD= CM,∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,∠BFE=∠MCE.∴BC=BM.由①可得,∠BEF=∠BFE,BE=BF.∴∠BFE=∠MCE=∠BEF.∴EM=MC,∴BD= EM= (BC+BF).
(2)∠ACE= ∠ABC. a.与(1)②同理可证BD∥PC,BD= PC,BP=BC;b.由BD= (BC+BF)可知△PEC和△BEF分别是等腰三角形;c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,可知∠ACE= ∠ABC.
解题关键 解决本题的关键是借助辅助线(建议使用“延长”)构造等腰三角形,寻找边角关 系.
23.(2017北京朝阳一模,28)在△ABC中,∠ACB=90°,AC
24.(2017北京丰台一模,28)在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点 (不与点B,C,D重合),且AE⊥EF.(1)如图1,当BE=2时,求FC的长;(2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P.①依题意将图2补全;②小京通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学 们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法:想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证△AGE≌△ECP.想法2:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH,要证AE=PE,需证△EHP为等腰三角 形.想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM,要证AE=PE,需证四边形 MCPE为平行四边形.请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可)
解析 (1)∵正方形ABCD的边长为5,BE=2,∴EC=3.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°,∵AE⊥EF,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2.∴△ABE∽△ECF,
∴ = ,即 = ,∴FC= .(2)①依题意补全图形. ②证法一:在AB上截取AG=EC,连接EG. ∵AB=BC,∴GB=EB.∵∠B=90°,∴∠BGE=45°,∴∠AGE=135°.
∵∠DCB=90°,CP是正方形ABCD的外角平分线,∴∠ECP=135°.∴∠AGE=∠ECP.又∵∠1=∠2,∴△AGE≌△ECP.∴AE=PE.证法二:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH. ∴AB=BH=BC,∠ABE=∠HBE=90°.∴∠1=∠4,∠BHC=∠BCH=45°,∴AE=EH,∠4+∠5=45°.∵∠1=∠2,∴∠2+∠5=45°.
∵∠ECP=135°,∴∠HCP=180°,∴点H,C,P在同一条直线上.∵∠6=∠2+∠P=45°,∴∠5=∠P.∴EH=PE,∴AE=PE.证法三:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM. ∴MB=EB,∴∠MEB=45°,∴∠MEC=135°.由证法一知∠ECP=135°,∴∠MEC=∠ECP.∴ME∥PC.又∵AB=BC,∠ABC=∠MBC=90°,
∴△ABE≌△CBM.∴∠1=∠BCM,MC=AE.由(1)知∠1=∠2,∴∠2=∠BCM,∴MC∥EP.∴四边形MCPE为平行四边形.∴MC=PE.∴AE=PE.
解题关键 本题提供了三种方法,都是正确的,但有简有繁.构造全等在有角等的情况下,选择 截取边.解决本题的关键是要根据已知添加辅助线,同时要掌握全等三角形的判定方法.
25.(2017北京顺义一模,28)在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是 BF的中点.(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;(2)如图2,连接AH,GH. 小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成 了证明该猜想的几种想法:想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形;
想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.……请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH.(一种方法即可)
解析 (1)在正方形ABCD和正方形DEFG中,△ABD,△GDF为等腰直角三角形.∵AB=1,DG=2,∴由勾股定理求得BD= ,DF=2 .∵B、D、F三点共线,∴BF=3 .∵H是BF的中点,∴BH= BF= .(2)证法一:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,
在正方形ABCD和正方形DEFG中,∠ABD=∠DFE=45°,又B、D、F共线,∴∠ABH=∠MFH.又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,∴△ABH≌△MFH.∴AH=MH,AB=MF.∵AB=AD,∴AD=MF.∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,∴△ADG≌△MFG.∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.又∵∠DGM+∠MGF=90°,∴∠AGD+∠DGM=90°.∴△AGM为等腰直角三角形.∵AH=MH,∴AH=GH,AH⊥GH.
证法二:连接AC,GE分别交BF于点M,N, 在正方形ABCD和正方形DEFG中,∴AC⊥BD,GE⊥DF,DM= BD,DN= DF.∴∠AMD=∠GNH=90°,∵B、D、F三点共线,∴MN= BF.∵H是BF的中点,∴BH= BF.∴BH=MN.
∴BH-MH=MN-MH.∴BM=HN.∵AM=BM=DM,∴AM=HN=DM.∴MD+DH=NH+DH.∴MH=DN.∵DN=GN,∴MH=GN.∴△AMH≌△HNG.∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.∵∠HGN+∠GHN=90°,∴∠AHM+∠GHN=90°.∴∠AHG=90°.∴AH⊥GH.
26.(2017北京海淀一模,28)在▱ABCD中,点B关于直线AD的对称点为B',连接AB',CB',CB'交AD 于F点.(1)如图1,∠ABC=90°,求证:F为CB'的中点.(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB'的中点. 小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:过点B'作B'G∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;想法2:连接BB'交AD于H点,只需证H为BB'的中点;想法3:连接BB',BF,只需证∠B'BC=90°.……请你参考上面的想法,证明F为CB'的中点.(一种方法即可)(3)如图3,当∠ABC=135°时,AB',CD的延长线相交于点E,求 的值.
图3
解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形,AB=CD.∴∠D=∠BAD=90°.∵B,B'关于直线AD对称,∴∠B'AD=∠BAD=90°,AB=AB'.∴∠B'AD=∠D,AB'=CD.∵∠AFB'=∠CFD,∴△AFB'≌△DFC(AAS).∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.(2)证法一:过点B'作B'G∥CD交AD于G点.
∵B,B'关于直线AD对称,∴∠1=∠2,AB=AB'.∵B'G∥CD,AB∥CD,∴B'G∥AB.∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴B'A=B'G.∵AB=CD,AB=AB',∴B'G=CD.∵B'G∥CD,∴∠4=∠D.∵∠B'FG=∠CFD,∴△B'FG≌△CFD(AAS).∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.
证法二:连接BB'交AD于H点. ∵B,B'关于直线AD对称,∴直线AD是线段B'B的垂直平分线.∴B'H=HB.∵AD∥BC,∴ = =1.∴FB'=FC.∴F是CB'的中点.证法三:连接BB',BF.
∵B,B'关于直线AD对称,∴直线AD是线段B'B的垂直平分线.∴B'F=FB.∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴B'B⊥BC.∴∠B'BC=90°.∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.∴∠3=∠4.∴FB=FC.∴B'F=FB=FC.∴F是CB'的中点.
(3)取B'E的中点G,连接GF. ∵由(2)得,F为CB'的中点,∴FG∥CE,FG= CE.①∵∠ABC=135°,AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=45°.由对称性,知∠EAD=∠BAD=45°.∵FG∥CE,AB∥CD,∴FG∥AB.∴∠GFA=∠FAB=45°.
∴∠FGA=90°,GA=GF.∴FG=sin∠EAD·AF= AF.②由①②可得 = .
解题思路 (1)利用三角形全等证线段相等.(2)根据题目中的想法证明.(3)连接GF,证明△AFG是等腰直角三角形,以FG为中间量求解.
解题关键 解决本题第(3)问的关键是要通过构造中点寻找45°角,并借助FG寻找等量关系.
27.(2017北京东城一模,28)在等腰△ABC中,(1)如图1,若△ABC为等边三角形,D为线段BC中点,线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE, 连接DE,则∠BDE的度数为 ;(2)若△ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将线段AD绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE,连接BE.①根据题意在图2中补全图形;②小玉通过观察、验证,提出猜测:在点D运动的过程中,恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨 论,形成了几种证明的思路:思路1:要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明△ADC≌△AEB;思路2:要证明CD=BE,只需要过点D作DF∥AB,交AC于F,证明△ADF≌△DEB;思路3:要证明CD=BE,只需要延长CB至点G,使得BG=CD,证明△ADC≌△DEG.……请参考以上思路,帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证明即可)(3)小玉的发现启发了小明:如图3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且∠ADE=∠C,此时小明发现BE,
BD,AC三者之间满足一定的数量关系,这个数量关系是 .(直接给出结论无需证 明)
解析 (1)30°.(2)①补全图形如图所示. ②思路1:如图,连接AE. ∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE为等边三角形,∴AE=AD.又∵△ABC为等边三角形,
∴∠EAD=∠BAC=60°,AB=AC.∵∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC.∴△EAB≌△DAC.∴CD=BE.思路2:过点D作DF∥AB,交AC于F. ∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=60°.∴△CDF为等边三角形.∴AF=BD.∵∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠DAF=∠EDB.又∵AD=DE,∴△ADF≌△DEB.∴DF=BE=CD.思路3:延长CB至G,使BG=CD. ∵BG+BD=CD+BD,∴DG=BC.∵△ABC为等边三角形,∴BC=AC,∠C=60°.∴DG=AC.
由证法二知∠EDB=∠DAC,又AD=DE,∴△ADC≌△DEG,∴DC=EG,∠C=∠G=60°,∴△GBE是等边三角形,∴EG=BE,∴CD=BE.(3)k(BE+BD)=AC.
28.(2017北京丰台二模,28)已知正方形ABCD,点E,F分别在射线AB,射线BC上,AE=BF,DE与AF 交于点O.(1)如图1,当点E,F分别在线段AB,BC上时,则线段DE与AF的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,当点E在线段AB的延长线上时,将线段AE沿AF平移至FG,连接DG.①依题意将图2补全;②小亮通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DG2=2AD2+2AE2.小亮把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:连接EG,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直 角三角形.想法2:延长AD,GF交于点H,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证△DGH是直角三角形.
请你参考上面的想法,帮助小亮证明DG2=2AD2+2AE2.(一种方法即可)
解析 (1)相等;垂直.(2)①依题意补全图形. ②证法一:连接GE.
由平移可得AE=FG,AE∥FG,∴四边形AEGF是平行四边形.∴AF=EG,AF∥EG,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAE=∠ABC=90°.∵在△AED和△BFA中, ∴△AED≌△BFA.
∴∠3=∠4,AF=DE.∴EG=DE.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠DEG=90°.∴DG2=DE2+EG2=2DE2.又∵DE2=AD2+AE2,∴DG2=2AD2+2AE2.证法二:延长AD,GF交于点H,
由平移可得AE=FG,AE∥FG,∴∠H+∠DAB=180°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,AD=DC.∴∠H=90°.∴DG2=GH2+DH2.∵∠HDC=∠DCF=90°,∴四边形HDCF是矩形.∴HF=DC.∴HF=AD.∵HG=FG+HF,∴HG=AE+HF=AE+AD.易证BF=AH且BF=AE,∴HD=AE-AD.
∴DG2=(AE+AD)2+(AE-AD)2=2AD2+2AE2.
29.(2016北京西城一模,28)在正方形ABCD中,点P是射线CB上一个动点.连接PA,PD,点M,N分 别为BC,AP的中点,连接MN交PD于点Q.(1)如图1,当点P与点B重合时,△QPM的形状是 ;(2)当点P在线段CB的延长线上时,如图2.①依题意补全图2;②判断△QPM的形状并加以证明;(3)点P'与点P关于直线AB对称,且点P'在线段BC上.连接AP',若点Q恰好在直线AP'上,正方形 ABCD的边长为2,请写出求此时BP长的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)等腰直角三角形.(2)①补全图形,如图所示. ②△QPM是等腰三角形.证明:延长BC至E,使CE=BP,连接AE,如图.
∵PB=CE,∴PB+BC=CE+BC,即CP=BE.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.在△DCP和△ABE中, ∴△DCP≌△ABE.∴∠1=∠E.∵M为BC的中点,∴MB=MC.∴MB+BP=MC+CE,即MP=ME.∴M为PE的中点.∵N为AP的中点,∴NM∥AE.∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.∴QP=QM.∴△QPM是等腰三角形.
(3)求解思路如下:a.由题意画出图形,并延长BC至E,使CE=BP,连接AE,如图. b.由(2)可得QM∥AE,可得 = ;c.由PP'∥AD,可得△P'PQ∽△ADQ,从而 = ;d.可得 = ;e.由点P'与点P关于直线AB对称,得BP'=BP=CE,设BP'=BP=CE=x,由AD=BC=2,M为BC的中点, 可分别表示出P'M,ME,P'P,可求BP的长.
思路分析 (1)易知△BMN为等腰直角三角形,结合正方形的对称性,可知△QPM为等腰直角 三角形.(2)依题意画图,由M、N为中点,构造以MN为中位线的三角形,从而证明△QPM为等腰三角形.(3)借助(2)的思想进行解题.
解题技巧 这类由特殊到一般的动点问题要寻求共同点,同时注意上一问对下一问的影响.
30.(2016北京海淀一模,28)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(与B、C两点不重 合),以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧,射线BA与射线CF相交于点G.(1)若点D在线段BC上,如图1,①依题意补全图1;②判断BC与CG的数量关系与位置关系,并加以证明;(2)若点D在线段BC的延长线上,且G为CF的中点,连接GE,AB= ,则GE的长为 ,并简述求GE长的思路.
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②BC与CG的数量关系为BC=CG,位置关系为BC⊥CG.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∠1+∠2=90°.∵射线BA、CF相交于点G,∴∠CAG=∠BAC=90°.∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=∠2+∠3=90°,AD=AF.∴∠1=∠3.在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF.∴∠B=∠ACF=45°.∴∠B=∠G=45°,∠BCG=90°.∴BC=CG,BC⊥CG. (2)GE= .思路如下:a.画出图形,如图所示. b.与②同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG;c.由AB= ,G为CF中点,可得BC=CG=FG=CD=2;d.过点A作AM⊥BD于M,过点E作EN⊥FG于N,可证△AMD≌△FNE,可得AM=FN=1,NE所在直
线为FG的垂直平分线,FE=EG;e.在Rt△AMD中,AM=1,MD=3,可得AD= ,故GE=FE=AD= .
思路分析 (1)补全图形.易证△ABD≌△ACF(SAS),则△BCG为等腰直角三角形;(2)由于点D 在BC的延长线上,所以要考虑借助(1)②的证明过程,同时寻找它们之间的差异,另外,题目中有 很多相等的线段,所以要考虑借助全等三角形来解决.
解题关键 解决本题的关键是要发现全等三角形,能够根据相等的线段构造全等的三角形.
31.(2016北京朝阳二模,28)在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,BE、CD相交于点O,且∠DCB=∠EBC= ∠A.(1)如图1,若AB=AC,则BD与CE的数量关系是 ;(2)如图2,若AB≠AC,请你补全图2,思考BD与CE是否仍然具有(1)中的数量关系,并说明理由;(3)如图3,∠BDC=105°,BD=3,且BE平分∠ABC,请写出求BE长的思路.(不用写出计算结果)
解析 (1)BD=CE.(2)补全图形如图.证明:在BE上截取BF=CD,连接CF. ∵∠DCB=∠EBC= ∠A,在△DCB和△FBC中, ∴△DCB≌△FBC.∴BD=CF,∠FCB=∠DBC.∴∠CFE=∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠DBC=2∠FBC+∠ABE.∵∠CEF=∠A+∠ABE.∴∠CFE=∠CEF.
∴CF=CE.∴BD=CE.(3)求解思路如下:a.如图,过点E作EM⊥BC于M; b.由BE平分∠ABC,可得∠ABC=∠A;c.由∠BDC=105°,可得∠EBC=25°,∠A=50°,∠ACB=80°;d.由(2)知CE=BD=3,在Rt△CEM中,可求EM的长度;e.在Rt△BEM中,由∠EBM的度数和EM的长度,可求BE的长度.
思路分析 第(1)问利用ASA证△DCB≌△EBC;要解决第(2)问,首先要把第(1)问的结论进行 证明并思考两问之间的联系;要解决第(3)问,需要将BE放置在有已知角的直角三角形中,这样 才能借助三角函数来求边长.
答题技巧 写“思路”的题目,可以“节省”的是题目的计算过程,可以应用的句式是“由… …,可得(可求)……”等.
32.(2016北京朝阳一模,28)在等腰三角形ABC中,AC=BC,点P为BC边上一点(不与B、C重合),连 接PA,以P为旋转中心,将线段PA顺时针旋转,旋转角与∠C相等,得到线段PD,连接DB.(1)当∠C=90°时,请你在图1中补全图形,并直接写出∠DBA的度数;(2)如图2,若∠C=α,求∠DBA的度数(用含α的代数式表示);(3)连接AD,若∠C=30°,AC=2,∠APC=135°,请写出求AD长的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)补全图形如图. ∠DBA=90°.(2)过点P作PE∥AC交AB于点E.
∴∠PEB=∠CAB.∵AC=BC,∴∠CBA=∠CAB.∴∠PEB=∠PBE.∴PB=PE.又∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α,∴∠BPD=∠EPA.∵PA=PD,∴△PDB≌△PAE.
∵∠PBA=∠PEB= (180°-α)=90°- α,∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=90°+ α.∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=α.(3)求解思路如下:a.作AH⊥BC于H; b.由∠C=30°,AC=2,可得AH=1,CH= ,BH=2- ,利用勾股定理可求出AB的长;c.由∠APC=135°,可得∠APH=45°,可得AP= ;d.由∠APD=∠C=30°,AC=BC,AP=DP,可得△PAD∽△CAB,由相似比可求AD的长.
思路分析 (1)准确画出图形,用好旋转的性质.(2)添加辅助线,构造全等三角形.(3)已知中有两 个特殊角,所以应考虑构造直角三角形.
解题关键 解决本题的关键是要用好旋转的相关性质,同时本题中有大量相等的线段,要考虑 借助全等三角形来解题.
33.(2016北京石景山一模,28)在正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接BE.(1)请你在图1中画出△BEM,使得△BEM与△BEC关于直线BE对称;(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF,请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证 明;(3)在(2)的条件下,若点E为边CD的三等分点,且CE
∴BF=BG,∠ABF=∠CBG.∵AF+CE=EF,∴EF=GE.∴△BEF≌△BEG.∴∠FBE=∠GBE,∵∠GBE=∠GBC+∠CBE=∠ABF+∠CBE,∴∠FBE=∠ABF+∠CBE.∴∠ABF+∠CBE=45°.(3)求解思路如下:a.设正方形的边长为3a,AF=x,则EF=x+a,DF=3a-x,DE=2a;b.在Rt△EFD中,由EF2=DF2+DE2,可得(x+a)2=(3a-x)2+(2a)2, 从而得到x与a的关系2x=3a;c.根据cos∠FED= = ,可求得结果.
34.(2016北京海淀二模,28)已知:AB=BC,∠ABC=90°.将线段AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<90 °)得到线段AD.点C关于直线BD的对称点为E,连接AE,CE.(1)如图,①补全图形;②求∠AEC的度数; (2)若AE= ,CE= -1,请写出求角α度数的思路.(可以不写出计算结果)
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②连接BE. ∵AB=BC,E,C关于直线BD对称,∴AB=BC=BE.
∴∠C=∠BEC,∠BAE=∠BEA.∴∠AEC=∠C+∠BAE.∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEC+∠C=270°,即2∠AEC=270°,∴∠AEC=135°.(2)求解思路如下:a.连接AC,过点A作AF⊥CE,交CE的延长线于点F,如图所示; b.由②知∠AEC=135°,由AE= 可求得AF=EF=1;c.由CE= -1,可求得FC= ,AC=2,AB=BC= ,可证△ABE为等边三角形;
d.由C,E两点关于直线BD对称,AB=AD,可求∠EBD=15°,∠ABD=75°,α=30°.
思路分析 (1)①补全图形.②由四边形内角和为360°及等腰三角形的性质求解.(2)在(1)②的 基础上构造等腰直角三角形,利用解直角三角形进行求解.
35.(2016北京石景山二模,28)如图,正方形ABCD,G为BC延长线上一点,E为射线BC上一点,连接 AE.(1)若E为BC的中点,将线段EA绕着点E顺时针旋转90°,得到线段EF,连接CF.①请补全图形;②求证:∠DCF=∠FCG;(2)若点E在BC的延长线上,过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点M,判断AE与EM的数量 关系并证明你的结论.
解析 (1)①补全图形,如图所示. ②证法一:过F作FH⊥BG于H, 由题意得AE⊥EF,AE=EF.
∵∠B=∠AEF=∠EHF=90°,∴∠AEB+∠FEC=90°,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠HEF,∴△ABE≌△EHF.∴BE=FH,AB=EH,∵E为BC的中点,∴BE=CE=CH=FH.∴∠DCF=∠FCG=45°.证法二:取线段AB的中点H,连接EH. 由题意得AE⊥EF,AE=EF.∴∠AEB+∠FEC=90°.
在正方形ABCD中,∵∠B=90°,∴∠AEB+∠BAE=90°.∴∠FEC=∠BAE.∵AB=BC,E,H分别为BC,AB的中点,∴AH=EC,∴△ECF≌△AHE.∴∠ECF=∠AHE=135°,∴∠DCF=∠ECF-∠ECD=45°.∴∠FCG=45°.∴∠DCF=∠FCG.(2)AE=EM.证明:在BA的延长线上取一点N,使BN=BE,连接EN.
在正方形ABCD中,AB=BC,∴NA=CE.∵∠B=90°,∴∠N=45°.∵CM平分∠DCG,∠DCG=∠BCD=90°,∴∠MCE=∠N=45°.∵AD∥BG,∴∠DAE=∠AEC.∵∠AEM=∠NAD=90°,∴∠NAE=∠CEM.∴△NAE≌△CEM.
∴AE=EM.
教师专用题组
1.(2018河北,25,10分)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧 ,使点B在O右下方,且tan∠AOB= .在优弧 上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP.(1)若优弧 上一段 的长为13π,求∠AOP的度数及x的值;(2)求x的最小值,并指出此时直线l与 所在圆的位置关系;(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值. 备用图
解析 (1)设∠AOP=n°,则 =13π,得n=90,即∠AOP=90°.∵l∥OB,∴tan∠PQO=tan∠AOB= = = ,∴x=19.5.(2)要使x变小,则l向左平移.如图,当l平移到与 所在圆相切位置l1时,O与l的距离达到最大值OP1=26,此时Q1所对应的(负)数最小. 在Rt△P1Q1O中,tan∠P1Q1O=tan∠AOB= ,设P1Q1=3k,则OP1=4k=26,于是OQ1=5k,∴x最小=-5× =-32.5.此时直线l与 所在圆相切.
(3)±31.5,-16.5.【注:下面是(3)的一种解法:过点P作PH⊥直线OA于H.在Rt△PHQ中,由tan∠HQP= ,设PH=4k,HQ=3k,则PQ=5k=12.5,∴PH=10,HQ=7.5.在Rt△POH中,OH= =24.①当点P在O右上方时,如图,x=OQ=OH+HQ=31.5. ②当点P在O左上方时,如图,-x=OQ=OH-HQ=16.5,∴x=-16.5.
③当点P在O左下方时,如图,-x=OQ=OH+HQ=31.5,∴x=-31.5. 另外,∵tan∠POH= < =tan∠AOB,∴∠POH<∠AOB,∴优弧 上不存在点P在O右下方的情况】
思路分析 (1)首先利用弧长公式求出圆心角∠AOP,进而利用∠OQP=∠AOB,tan∠AOB= 求得x的值.(2)要使x变小,则直线l向左平移.当直线l与 所在圆相切时,x的值最小.利用∠P1Q1O=∠AOB,tan∠AOB= 求得x的最小值.(3)作PH⊥直线OA于H,先求出OH和HQ的值,再分三种情形:点P在O的右上方、左上方、左下方求出x的值.
难点分析 本题是以平移为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于从动态位置中 寻找不变的关系.点P的位置的确定是解决问题的关键.
易错警示 此题为动态的综合题,需将点P的位置分类讨论,学生往往只画出点P在O的右上方 或左下方而致错.
2.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,点M在边AC上, 点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AG∥BC,延长BM 交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当∠ACB=90°时:①求证:△BCM≌△ACN;②求∠BDE的度数;(2)当∠ACB=α,其他条件不变时,∠BDE的度数是 ;(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形,AB=3 ,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.
备用图1 备用图2
解析 (1)①证明:∵CA=CB,BN=AM,∴CB-BN=CA-AM,即CN=CM,∵BC=AC,∠MCB=∠ACN,CM=CN,∴△BCM≌△ACN.②∵△BCM≌△ACN,∴∠MBC=∠NAC,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵AG∥BC,∴∠GAC=∠ACB=90°,∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠NAC,∵∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=180°-90°=90°,∴∠BDE=90°.
(2)α或180°-α.(3)4 或 .详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:①如图1,E与N在点A异侧,可得∠BDE=180°-α; ②如图2,E与N在点A同侧,可得∠BDE=α. 图1 图2
(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:①如图3,当CN=MC= BC=2 时,由AD∥BC可得△ADM∽△CBM, = ,∴ = = = ,∴AD= .由EA=ED得AN=DF,又由△BCM≌△ACN可得AN=BM.过点A作AH⊥BC于H,由勾股定理可得,AN= .由(2)知∠BDE=120°∴∠BDF=60°,从而可得△BCM∽△BDF,∴ = ,∴ = ,∴BF= ,∴CF=BF-BC= . 图3
图4②如图4,当CN= BC= 时,与①同法可求得CF=4 .
思路分析 (1)①由“边角边”可证三角形全等.②∠BDE=∠EDA+∠ADM,由等边对等角可 得∠EAD=∠EDA.由△BCM≌△ACN,可得∠CBM=∠CAN,由两直线平行,内错角相等,可得∠ADM=∠CBM,∠DAM=∠C=90°.而∠CAN+∠EAD+∠DAM=180°,∴∠CAN+∠EAD=90°,∴∠BDE=90°.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论BN= BC和BN= BC两种情况.
易错警示 本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点, 都需要分类讨论.
3.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且 AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF= CG.
解析 (1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,∴AB=AE=AH+HE=4.∵BG⊥AE,∴∠AHB=90°.∴AB2=AH2+BH2.∴BH= = = .∴S△ABE= AE·BH= ×4× =2 . (4分)(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠FAO=∠ECO.∵点O为AC的中点,∴AO=CO.在△AOF和△COE中,∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE.
∴DF=BE. (6分)如图,过点A作AM⊥BC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GN⊥BC交BC于点N. ∴∠AMB=∠AME=∠GNC=∠GNB=90°.∴∠AHB=∠AMB.∵∠AQH=∠BQM,∴∠QAH=∠GBN.∵AB=AE,AM⊥BE,∴∠BAM=∠QAH,BM=ME.∴∠BAM=∠QAH=∠GBN.∵∠ACB=45°,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45°.∵∠BAG=45°+∠BAM,∠BGA=45°+∠GBN,
∴∠BAG=∠BGA.∴AB=GB.∵AB=AE,∴AE=BG.在△AME和△BNG中,∠AME=∠BNG,∠EAM=∠GBN,AE=BG,∴△AME≌△BNG.∴ME=NG.∴BE=2ME=2NG.在Rt△GNC中,∵∠GCN=45°,∴CG= NG.∴ CG=2NG,即BE=2NG= CG.∴DF=BE= CG. (10分)
思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得△ABE的面积;(2) 根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AM⊥BC,过点G作GN⊥BC,根据等 腰三角形的性质得∠BAM=∠QAH,BM=ME= BE,通过求证∠BAM=∠GBN,可得∠BAG=∠BGA,进而可得AB=AE=BG,利用△AME≌△BNG,得出NG=ME= BE,最后利用CG= NG得出DF=BE= CG.
方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质 找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.
4.(2016广东,25,9分)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2.边BC在其所在的直线上平移,将 通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形;(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
解析 (1)四边形APQD是平行四边形.(2)OA=OP且OA⊥OP.证明如下:①当BC向右平移时,如图, ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.∵PQ=BC,∴AB=PQ.∵QO⊥BD,∴∠BOQ=90°,∴∠BQO=90°-∠CBD=45°,∴∠BQO=∠CBD=∠ABD=45°,
∴OB=OQ.在△ABO和△PQO中, ∴△ABO≌△PQO(SAS).∴OA=OP,∠AOB=∠POQ.∵∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°,∴∠AOB+∠BOP=90°,即∠AOP=90°.∴OA⊥OP,∴OA=OP且OA⊥OP.②当BC向左平移时,如图,
同理可证,△ABO≌△PQO(SAS).∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,∴∠AOP+∠POB=∠POB+∠BOQ,∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP,∴OA=OP且OA⊥OP.(3)过点O作OE⊥BC于E.在Rt△BOQ中,OB=OQ,∴OE= BQ.①当BC向右平移时,如图,
BQ=BP+PQ=x+2,∴OE= (x+2).∵y=S△OPB= BP·OE= x· (x+2),∴y= x2+ x(0≤x≤2).当x=2时,y有最大值2.②当BC向左平移时,如图,BQ=PQ-PB=2-x, ∴OE= (2-x).∵y=S△OPB= BP·OE
= x· (2-x),∴y=- x2+ x(0≤x≤2).当x=1时,y有最大值 .综上所述,线段BC在其所在直线上平移的过程中,△OPB的面积能够取得最大值,最大值为2(参 考下图).
5.(2014江苏扬州,28,12分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在 CD边上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不 重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点 M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长 度.
图1
图2
解析 (1)①证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠APD+∠DAP=90°,∵△APO是由△ABO沿AO折叠而得,∴∠APO=∠B=90°,∴∠APD+∠CPO=90°,∴∠DAP=∠CPO,∴△ADP∽△PCO.②∵△ADP∽△PCO,∴ = = ,∴ = ,∵AD=8,∴CP=4,设AB=x,则DP=x-4,由∠D=90°得AP2=AD2+DP2,∴x2=82+(x-4)2,∴x=10,即AB=10.(2)∵折叠后△AOB与△AOP重合,∴AP=AB,∠OAB=∠OAP,
∵AB=CD,∴AP=CD,∵P是CD的中点,∴DP= AP,∵∠D=90°,∴∠PAD=30°,又∠OAB=∠OAP,∴∠OAB=30°.(3)不变.作MH∥BN交PB于点H,∴∠MHP=∠ABP,∠MHF=∠NBF,∵AP=AB,∴∠APB=∠ABP,∴∠MHP=∠APB,∴MP=MH,∵MP=BN,∴BN=MH,∵∠NFB=∠MFH,∴△NBF≌△MHF,∴FB=FH,
∵MP=MH,ME⊥PB,∴PE=EH,∵EF=EH+FH,∴EF=EP+FB= PB,由(1)得AB=10,AD=8,∴DP=6,∴PC=4,∴PB=4 ,∴EF= PB=2 .
6.(2015北京怀柔一模,28)在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD, CD,其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并 证明. 图1 图2
解析 (1)补全图形,如图所示. (2)连接AD,如图.∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,∠DAP=∠BAP=30°.∵AB=AC,∠BAC=60°,∴AD=AC,∠DAC=120°.∴∠ACE=30°.
(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.证明:连接AD,EB,EB与AC交于点F,如图.
∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,DE=BE,可证得∠EDA=∠EBA.∵AB=AC,AB=AD,∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.∴∠ABE=∠ACE.又∵∠AFB=∠CFE,∴∠BAC=∠BEC=60°.∵ED=BE,AB=BC,
∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.
7.(2015北京海淀一模,28)在菱形ABCD中,∠ADC=120°,点E是对角线AC上一点,连接DE,∠ DEC=50°,将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF,交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形;(2)求证:EG=BC;(3)用等式表示线段AE,EG,BG之间的数量关系. 备用图
解析 (1)补全图形如图所示. (2)证明:证法一:连接BE,如图. ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.
∵∠ADC=120°,∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的一条对角线,∴∠DCA= ∠DCB=30°.∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∴∠GEB=∠DEC+∠BEC=100°.∴∠GEB=∠CBE.∵∠FBC=50°,∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°.∴∠EBG=∠BEC.在△GEB与△CBE中,
∴△GEB≌△CBE.∴EG=BC.证法二:连接BE,设BG与EC交于点H,如图. ∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∵∠ADC=120°,
∴∠DCB=60°.∵AC是菱形ABCD的一条对角线,∴∠DCA= ∠DCB=30°.∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°.∵∠FBC=50°,∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°=∠BEC.∴BH=EH.在△GEH与△CBH中, ∴△GEH≌△CBH.∴EG=BC.
(3)AE+BG= EG.
8.(2015北京东城一模,26)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥ BE于点G,交BD于点F.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在△AOF和△BOE中,可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE 的数量关系;请回答:AF与BE的数量关系是 ;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求 的值.
解析 (1)AF=BE.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠BOC=90°,AO=BO,∵AG⊥BE,∠AFO=∠BFG,∴∠FAO=∠OBE,在△AFO与△BEO中, ∴△AFO≌△BEO,∴AF=BE.(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AC⊥BD,∠ABO=60°,∴∠FAO+∠AFO=90°,∵AG⊥BE,∴∠EAG+∠BEA=90°,
∴∠AFO=∠BEA,又∵∠AOF=∠BOE=90°,∴△AOF∽△BOE,∴ = ,∵∠ABO=60°,AC⊥BD,∴ =tan 60°= ,∴ = .
思路分析 (1)证明△AFO≌△BEO.(2)证明三角形相似,从而求出线段的比.
解题关键 解决本题的关键是要从第(1)问全等三角形的证明过程中获得启发,从而发现第(2) 问中的相似三角形,并运用相似三角形的性质及三角函数来解决.
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