2024年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷（含解析），共29页。

A．﹣6+3＝9B．﹣6﹣3＝﹣3C．﹣6+3＝﹣3D．﹣6+3＝3
2．（3分）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有110000000人同时在线上参与活动．将数字110000000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×1011B．1.1×1011C．1.1×106D．1.1×108
3．（3分）
如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．130°
4．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
5．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+1B．2x+2＜2y+2
C．D．﹣2x+5＜﹣2y+5
6．（3分）已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（3分）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点（1，﹣4）
②图象与y轴的交点在x轴下方
③y随x的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+2B．y＝﹣3x﹣1C．y＝3x+1D．y＝﹣5x﹣1
8．（3分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．（3分）如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或C．2或3D．6或
二.填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣10+12＝ ；|+8|＝ ．
12．（4分）从拼音“yucai”的五个字母中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为 ．
13．（4分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝ ．
15．（4分）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为 ．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ．
三.解答题（本题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步内容关注：学数有邻
17．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
18．（6分）在学校组织的“学习强国”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分和70分．八年级的李老师将801班和802班的成绩进行整理并绘制成如图的统计图．
（1）在本次竞赛中，802班C级的人数有多少？
（2）结合如表的统计量：
请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（写出两条）．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值．
20．（8分）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
21．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）
（2）求线段AB所在的直线的函数表达式；
（3）在整个过程中，请通过计算，t为何值时两人相距400米？
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，求证：；
（3）连接AC，若正方形的边长为10，求△ACC′的面积最大值．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG•ED的值．
2024年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）
1．（3分）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A．﹣6+3＝9B．﹣6﹣3＝﹣3C．﹣6+3＝﹣3D．﹣6+3＝3
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3，
故选：C．
2．（3分）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有110000000人同时在线上参与活动．将数字110000000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×1011B．1.1×1011C．1.1×106D．1.1×108
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：110000000＝1.1×108，
故选：D．
3．（3分）
如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．130°
【分析】由平行线的性质得到∠A+∠2＝180°，求出∠2＝120°，由对顶角的性质得到∠1＝∠2＝120°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠1、∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2＝120°．
故选：C．
4．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
5．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+1B．2x+2＜2y+2
C．D．﹣2x+5＜﹣2y+5
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x+5＜y+5，原变形错误，不符合题意；
B、∵x＜y，
∴2x＜2y，
∴2x+2＜2y+2，正确，符合题意；
C、∵x＜y，
∴＜，原变形错误，不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴﹣2x+5＞﹣2y+5，原变形错误，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：2x+2y+2z＝4+6+8，
解得：x+y+z＝9，
故选：A．
7．（3分）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点（1，﹣4）
②图象与y轴的交点在x轴下方
③y随x的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+2B．y＝﹣3x﹣1C．y＝3x+1D．y＝﹣5x﹣1
【分析】根据一次函数图象与性质分别判断选项的正误即可．
【解答】解：A、不符合条件②图象与y轴的交点在x轴下方，不符合题意；
B、符合①②③，符合题意；
C、不符合条件①②③，不符合题意；
D、不规范条件①，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可．
【解答】解：联立，
解得，，
①如果x≤﹣1，min{﹣x2+3，﹣2x}＝﹣x2+3，最大值是2；
②如果﹣1＜x≤3，min{﹣x2+2，﹣x}＝﹣2x，最大值小于3；
③如果x＞3，min{﹣x2+2，﹣x}＝﹣x2+3，最大值小于﹣6．
所以min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是1．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB•R+BC•R+AC•R＝R（AB+AC+BC），
∵AB+AC＝BC，
∴S△ABC＝R（BC+BC）＝R•BC，
∵AD的长为h，
∴S△ABC＝BC•h，
∴R•BC＝BC•h，
∴h＝R，
∴＝＝，
故选：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或C．2或3D．6或
【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝10，证明△PDF∽△BDA，得出利用相似三角形的性质求出PF＝，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，利用相似三角形的性质求出NF＝2PF＝3，即可得出答案；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF＝，MF＝3，设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝，BD＝＝10，
∵点P是AD的中点，
∴PD＝AD＝，
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴，即，
解得：PF＝，
∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴，
∴MF＝NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示：
由①得：PF＝，MF＝3，
设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，
在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即MN＝；
综上所述，MN的长为6或．
故选：D．
二.填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣10+12＝ 2 ；|+8|＝ 8 ．
【分析】利用有理数的加法运算法则即可得出答案；
利用绝对值的性质解答即可．
【解答】解：﹣10+12＝2，
|+8|＝8．
故答案为：2；8．
12．（4分）从拼音“yucai”的五个字母中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：从拼音“yucai”的五个字母中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为，
故答案为：．
13．（4分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 x＜﹣ ．
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案．
【解答】解：∵函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），
∴4＝﹣3m，
解得：m＝﹣，
故A点坐标为：（﹣，4），
∵kx+b＜﹣3x时，
∴（k+3）x+b＜0，
则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为：x＜﹣．
故答案为：x＜﹣．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝ 1 ．
【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1
∵EC＞0
∴EC＝1．
另解1：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴＝，
即CE＝1．
另解2：取AB中点F，连接DF、FE，
∴DF＝AB＝1，
∵E是AD中点，
∴FE＝BD，FE∥BD，
∵BD＝2DC，
∴FE∥DC，FE＝DC，
∴四边形FECD是平行四边形，
∴EC＝FD＝1，
故答案为：1．
15．（4分）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为 60 ．
【分析】分析表可知，乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确；又因为甲得分30分，即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙、丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：×√√×√，对比丁的答案，可知其2，8两题错误，故得分m＝6×10＝60．
【解答】解：∵乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，
∴第2，5两题答案正确；
又∵甲得分30分，即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙、丙不同，
∴其余6题答案均正确，
∴这8道判断的答案分别是：×√√×√，
对比丁的答案，可知其2，8两题错误，
∴m＝6×10＝60．
故答案为：60．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ±1 ．
【分析】如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最小，即此时BC最小，再由BC最小＝2，求出MD＝，可得1+b2＝2，解得b＝±1．
【解答】解：如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，
∵MA＝MB，
∴BC＝2BE，
在Rt△MBE中，由勾股定理得BE＝＝，
∴当ME最小时，BE最大，即此时BC最小，
∵ME≤MD，
∴当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，
∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，即BC最小＝2，
∴BD＝BC＝，
∴MD＝＝，
∵D（0，b），
∴1+b2＝2，
解得b＝±1．
故答案为：±1．
三.解答题（本题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步内容关注：学数有邻
17．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；小霞：×．理由如下：
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
18．（6分）在学校组织的“学习强国”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分和70分．八年级的李老师将801班和802班的成绩进行整理并绘制成如图的统计图．
（1）在本次竞赛中，802班C级的人数有多少？
（2）结合如表的统计量：
请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（写出两条）．
【分析】（1）先求出801班总人数，再求802班成绩在C级以上（包括C级）的人数；
（2）只要答案符合题意即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）被调查的总人数为6+12+2+5＝25（人），
则本次竞赛中，802班C级的人数有25×36%＝9（人）；
（2）①从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看801班比802班的成绩好；所以801班成绩好．
②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看802班比801班的成绩好，所以802班成绩好．（答案不唯一）．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可；
（2）求出x1•x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，
解得k＝9；
（2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1•x2＝k，x1+x2＝6，
∵++3x1•x2＝25，
∴++3x1•x2
＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2
＝（x1+x2）2+x1x2
＝62+k，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11．
20．（8分）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
【分析】（1）由BA＝BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC；
（2）由DC∥AB，BA＝BC，根据等边对等角，证得∠ECA＝∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；
（3）由全等三角形的性质得CD＝CE，AD＝AE，得到AC垂直平分线DE，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出DG，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点，
∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵BA＝BC，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠ECA，
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（AAS）；
（3）解：设DE，AC交于G，
由（2）知△ADC≌△AEC，
∴CD＝CE，AD＝AE，
∴AC垂直平分线DE，
∴DG＝EG，
在Rt△ACD中，
AC＝＝＝13，
∵S△ACD＝AD•CD＝DG•AC，
∴DG＝＝＝，
∴DE＝．
21．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）
（2）求线段AB所在的直线的函数表达式；
（3）在整个过程中，请通过计算，t为何值时两人相距400米？
【分析】（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度＝路程÷时间可得甲的速度；
（2）首先求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，再运用待定系数法求解即可；
（3）分相遇前后两种情况解答即可．
【解答】（1）解：根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，
∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．
答：甲的速度为40米/分钟；乙的速度为60米/分钟；
（2）乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40（分钟），
40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，
解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t；
（3）两种情况：①迎面：（2400﹣400）÷100＝20（分钟），
②走过：（2400+400）÷100＝28（分钟），
∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，求证：；
（3）连接AC，若正方形的边长为10，求△ACC′的面积最大值．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值10，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
【解答】（1）解：由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）证明：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠PAP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°＝∠PAP′，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°，
∵∠DFP＝90°，
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝DP+DP′＝PP'，
在Rt△APP′中，AP＝AP'，
∴PP′＝AP，
∴BP+DP＝AP；
（3）解：如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝10，
∴AC＝＝10，即AC为定值，
当C'G最大时，△AC'C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C'D＝10，OD＝AC＝5，
∴C'G＝10﹣5，
∴S△AC'C＝AC•C'G＝×10×（10﹣5）＝50﹣50，
即△ACC′的面积最大值为50﹣50．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且5m+5n＜﹣13，
∴＜﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG•ED的值．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB＝AC；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD＝180°﹣∠E，进而得出∠BDF＝∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据csB＝，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝54°，
又∵∠E＝∠C＝54°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝108°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，csB＝，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG•ED＝AE2＝18．
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1
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得分
甲
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60
乙
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50
丙
√
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×
×
√
√
√
×
50
丁
×
√
×
√
√
×
√
√
m
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
成绩
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
B级及以上人数
801班
87.6
90
90
18
802班
87.6
80
100
12
题号学生
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小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
成绩
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
B级及以上人数
801班
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