2021年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷 word版，解析版

这是一份2021年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷 word版，解析版，共26页。试卷主要包含了现有50个苹果重量如表等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷
一.选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）计算24＝（　　）
A．8 B． C．16 D．
2．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若DE＝4，则BC＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
4．（3分）现有50个苹果重量如表：
质量（g）
100
120
140
160
数量（个）
10
15
17
8
则这些苹果重量的众数和中位数分别是（　　）
A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，130
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＝b，则＝
C．若a＞b，则a﹣1＞b+1 D．若＞1，则x＞y
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，AM＝2，BM＝8，则CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．16
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．45°
9．（3分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，AD：ED＝3：1，则△BDE与△ADC的面积比为（　　）

A．16：45 B．2：9 C．1：9 D．1：3
10．（3分）直角坐标系xOy中，一次函数y＝bx+b（kb≠0）的图象过点（2，kb），且b≥4，与x轴，y轴分别交于A，B两点．设△ABO的面积为S，则S的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二.填空题（共6小题）
11．（3分）用科学记数法表示：0.00015＝　 　．
12．（3分）已知坐标系中点A（﹣2，a）和点B（b，3）关于原点中心对称，则a+b＝　 　．
13．（3分）箱子里有4个红球和a个白球，这些球除颜色外均差别，小李从中摸到一个白球的概率是，则a＝　 　．
14．（3分）如图，AB为△ABC内接⊙O的直径，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ADC＝30°，劣弧BC的长为　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为　 　．

三.解答题（共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：（﹣2）2+4；
（2）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
18．（9分）为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有多少人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）在某一天的购物中，小红和小高都想从“微信”、“支付宝”两种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

19．（9分）一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，汽车每行驶1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系．
（1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．

20．（10分）（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝80°，∠C＝25°，请在图1中作一条直线，使得△ABC被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝70°，直线a和直线b将△ABC和△DEF分别分为两个三角形，并使△ABC的两部分能分别与△DEF的两部分相似．请在图中作出直线a和直线b，并标注出相应的角度．

21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．

22．（12分）已知二次函数y＝（ax+1）（x+1），其中a≠0．
（1）当a＝﹣1时，求二次函数顶点坐标；
（2）当a＞0时，记二次函数的最小值为ymin，求证：ymin≤0；
（3）当a＞0时，且x满足﹣1≤x≤1时，函数有最大值为3，求a的值．
23．（12分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AC＝AD．求证：△DCB是“准直角三角形”；
（2）如图2，△ABC中，tanB＝，BC＝5，∠BAC为钝角，若△ABC为“准直角三角形”，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AC为⊙O的直径，△ABD为“准直角三角形”，若AB＝5，BC＝12，求BD的长．


2021年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）计算24＝（　　）
A．8 B． C．16 D．
【分析】根据乘方的定义求解即可．
【解答】解：24＝2×2×2×2＝16，
故选：C．
2．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．
故选：C．
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若DE＝4，则BC＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】因为DE∥BC，可△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求出BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵，
∴＝，
∴，
∴BC＝10．
故选：D．
4．（3分）现有50个苹果重量如表：
质量（g）
100
120
140
160
数量（个）
10
15
17
8
则这些苹果重量的众数和中位数分别是（　　）
A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，130
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．
【解答】解：∵总数为50，
∴中位数为第25和26个数的平均值，
∴中位数为（120+140）÷2＝130，
∵140g的有17个，最多，
∴众数为140，
故选：B．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＝b，则＝
C．若a＞b，则a﹣1＞b+1 D．若＞1，则x＞y
【分析】根据不等式的性质求解判断即可．
【解答】解：A．若a＝b，则ac＝bc，故A说法符合题意；
B．若a＝b，则＝（c≠0），故B说法不符合题意；
C．若a＞b，a﹣1不一定大于b+1，故C说法不符合题意；
D．若＞1，当y＜0时，则x＜y，故D说法不符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，AM＝2，BM＝8，则CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．16
【分析】根据垂径定理得出CM＝DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM＝＝4，
∴CD＝8．
故选：C．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB＝，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB＝，故B可以表示；
在Rt△ADCz中，tanB＝tan∠DAC＝，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
8．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．45°
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB＝2∠E＝120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和可求得∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．
【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB＝2∠E＝120°，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．
故选：B．

9．（3分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，AD：ED＝3：1，则△BDE与△ADC的面积比为（　　）

A．16：45 B．2：9 C．1：9 D．1：3
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD＝S△ABE＝S△BED即可求得．
【解答】解：∵AD：ED＝3：1，
∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD＝4：9，
∴S△ACD＝S△ABE，
∵AE：ED＝2：1，
∴S△ABE：S△BED＝2：1，
∴S△ABE＝2S△BED，
∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，
∴△BDE与△ADC的面积比为2：9，
故选：B．
10．（3分）直角坐标系xOy中，一次函数y＝bx+b（kb≠0）的图象过点（2，kb），且b≥4，与x轴，y轴分别交于A，B两点．设△ABO的面积为S，则S的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y＝kx+b（kb≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（kb≠0）的图象过点（2，kb），代入一次函数解析式得：
∴kb＝2k+b，
∴kb﹣2k＝b，
∴k（b﹣2）＝b，
∴k＝，
∵一次函数y＝kx+b（kb≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点坐标为：（﹣，0），B点的坐标为：（0，b），
∵△ABO的面积为S，
∴S＝|b•|＝||＝||＝||；
若b≥4，∴b2﹣2b＞0，
∴S＝，
∴S的最小值为：＝4．
故选：A．
二.填空题（共6小题）
11．（3分）用科学记数法表示：0.00015＝　1.5×10﹣4．　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00015＝1.5×10﹣4．
故答案为：1.5×10﹣4．
12．（3分）已知坐标系中点A（﹣2，a）和点B（b，3）关于原点中心对称，则a+b＝　﹣1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵坐标系中点A（﹣2，a）和点B（b，3）关于原点中心对称，
∴b＝2，a＝﹣3，
则a+b＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）箱子里有4个红球和a个白球，这些球除颜色外均差别，小李从中摸到一个白球的概率是，则a＝　6　．
【分析】根据白球的概率结合概率公式列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵摸到一个白球的概率是，
∴＝，
解得a＝6．
经检验，a＝6是原方程的根．
故答案为：6．
14．（3分）如图，AB为△ABC内接⊙O的直径，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ADC＝30°，劣弧BC的长为　2π　．

【分析】如图，连接OC．求出圆心角∠BOC，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，连接OC．

∵AB是直径，AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长＝＝2π，
故答案为：2π．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝　　．

【分析】过点O作OM⊥AB于点M，利用正方向的性质以及角平分线的性质可以判定△DAE为等腰直角三角形，求出AE、BE，再根据AD＝6，AB＝8，求出AC，从而求出OA、OB，再在直角三角形OAM中求出OM即可．
【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∴AE＝DA，
∵AD＝6，AB＝8，
∴AE＝6，BE＝2，
在Rt△DAB中，
AC＝＝＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵OM⊥AB，
∴AM＝MB＝4，
∴OM＝＝＝3，
又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2，
在Rt△OME中，
OE＝＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为　2或8﹣4　．

【分析】分两种情形：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．

∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，由折叠知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′，
∴∠NDM＝∠DC′M，
∴MC′＝MD，
∴CM＝DM＝CD＝2．
如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．

∵CB＝CD，BN＝DM，
∴CN＝CM＝MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，
∴∠CBM＝∠C′CD，
∴∠C′CD＝∠DCC′，
∴C′D＝C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT＝TC＝2，
∵C′T∥CN，
∴DC′＝C′N，
∴C′T＝CN，
设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝2x，TM＝x，
∴2x+x＝2，
∴x＝4﹣2，
∴CM＝8﹣4，
综上所述，CM的值为2或8﹣4．
三.解答题（共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：（﹣2）2+4；
（2）解方程：（x﹣5）（3x﹣2）＝10．
【分析】（1）先计算乘方，再计算加法即可；
（2）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝4+4＝8；

（2）整理为一般式，得：3x2﹣17x﹣20＝0，
∴（x+1）（3x﹣20）＝0，
则x+1＝0或3x﹣20＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
18．（9分）为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有多少人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）在某一天的购物中，小红和小高都想从“微信”、“支付宝”两种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求出本次调查参与的人数，即可解决问题；
（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有4种等可能的结果，小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查参与的人数为：60÷25%＝240（人），
则用“银行卡”支付的人数为：240﹣60﹣40﹣60＝80（人），
将条形统计图补充完整如下：

（2）1800×＝300（人），
即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）把“微信”、“支付宝”两种支付方式分别记为A、B，
画树状图如图：

共有4种等可能的结果，小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的结果有2种，
∴小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
19．（9分）一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，汽车每行驶1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系．
（1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出前100千米与后250千米的耗油量，再根据减法的意义列式计算即可．
【解答】解：（1）设当0≤x≤100时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，
得：，
解得，
∴y＝﹣x+50；
（2）由题意可知，前100千米耗油量为10升，
后250千米的耗油量为：250×（0.1+0.02）＝30（升），
油箱中的剩余油量为：50﹣10﹣30＝10（升）．
20．（10分）（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝80°，∠C＝25°，请在图1中作一条直线，使得△ABC被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝70°，直线a和直线b将△ABC和△DEF分别分为两个三角形，并使△ABC的两部分能分别与△DEF的两部分相似．请在图中作出直线a和直线b，并标注出相应的角度．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定解决问题即可．
（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线AE即为所求作．


（2）如图，直线a，直线b即为所求作．

21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．

【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
设∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．
22．（12分）已知二次函数y＝（ax+1）（x+1），其中a≠0．
（1）当a＝﹣1时，求二次函数顶点坐标；
（2）当a＞0时，记二次函数的最小值为ymin，求证：ymin≤0；
（3）当a＞0时，且x满足﹣1≤x≤1时，函数有最大值为3，求a的值．
【分析】（1）将a＝﹣1代入解析式，然后将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）将二次函数化为一般式，然后分析其顶点纵坐标的非正性；
（3）结合二次函数的增减性及顶点坐标求解
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y＝（﹣x+1）（x+1）＝﹣x2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（0，1），
（2）y＝（ax+1）（x+1）＝ax2+（a+1）x+1，
∵a＞0，
∴二次函数有最小值ymin＝，
（3）由（2）可知，当a＞0时，抛物线开口向上且y的最小值≤0，
又∵对称轴为直线x＝﹣，
当对称轴位于y轴左侧时，当x＝1时，函数有最大值为3，
当对称轴位于y轴右侧时，当x＝﹣1时，函数有最大值为3，
即或，
解得：a＝．
23．（12分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AC＝AD．求证：△DCB是“准直角三角形”；
（2）如图2，△ABC中，tanB＝，BC＝5，∠BAC为钝角，若△ABC为“准直角三角形”，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AC为⊙O的直径，△ABD为“准直角三角形”，若AB＝5，BC＝12，求BD的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可推得∠CDB﹣∠DCB＝90°，符合“准直角三角形”定义，判定△DCB是“准直角三角形”；
（2）在BC边上取一点F，使∠BAF＝∠B或∠CAF＝∠C，作AE⊥BC于点E，设AE＝3m，由相似三角形的性质和勾股定理，将BF、EF、CE都用含m的式子表示，先求出m的值，再求AC的值；
（3）作AE⊥BD于点E，可得△AED∽△ABC，得到AE：ED：AD＝AB：BC：AC＝5：12：13，再用（2）中的方法即可求出BD的值．
【解答】（1）证明：如图1，∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣∠ACD；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB，
∴∠CDB＝180°﹣（90°﹣∠DCB）＝90°+∠DCB，
∴∠CDB﹣∠DCB＝90°，
∴△DCB是“准直角三角形”.
（2）如图2，∠BAC﹣∠B＝90°，作AF⊥AC，交边BC于点F，作AE⊥BC于点E，则∠FAC＝∠AEB＝∠AEC＝90°．
由∠BAC﹣∠B＝∠BAC﹣∠BAF＝90°，得∠B＝∠BAF，
∴AF＝BF．
设AE＝3m（m＞0），AF＝BF＝x．
∵，
∴BE＝AE＝4m，
∴x2＝（3m）2+（4m﹣x）2，
解得x＝，则AF＝BF＝，
∴EF＝4m﹣＝m；
∵∠EAF＝90°﹣∠EAC＝∠C，
∴＝tan∠EAF＝＝，
∴CE＝AE＝×3m＝m；
由4m+m＝5，得m＝；
∵＝sin∠EAF＝＝，
∴AC＝AE＝3m＝＝；
如图3，，∠BAC﹣∠C＝90°，作AG⊥AB，交边BC于点G，作AE⊥BC于点E，则∠BAG＝∠AEB＝∠AEC＝90°．
由∠BAC﹣∠C＝∠BAC﹣∠CAG＝90°，得∠C＝∠CAG，
∴AG＝CG．
设AE＝3m（m＞0），则BE＝4m．
∵∠GAE＝90°﹣∠BAE＝∠B，
∴＝tan∠B＝，
∴EG＝AE＝3m＝m，
∴AG＝CG＝＝m，
∴4m+m+m＝5，
解得m＝，
∴AE＝3×＝，CE＝m+m＝6m＝6×＝3，
∴AC＝＝．
综上所述，AC的长为或.
（3）如图4，∠BAD﹣∠ABD＝90°．作AF⊥AD交BD于点F，作AE⊥BD于点E，
则∠FAD＝∠AEB＝∠AED＝90°，
由（2）得AF＝BF．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∴AB：BC：AC＝5：12：13；
∵∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴AE：ED：AD＝5：12：13．
设AE＝5n（n＞0），则DE＝12n
∵∠EAF＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，∠AEF＝∠DEA＝90°，
∴△FEA∽△AED，
∴EF＝AE＝5n＝n，
∴AF＝BF＝AE＝×5n＝n，
∴BE＝n+n＝n，
∴（5n）2+（n）2＝52，
解得n＝或（不符合题意，舍去），
∴BD＝n+12n＝n＝＝3；
如图5，∠BAD﹣∠ADB＝90°．作AG⊥AB交BD于点G，作AE⊥BD于点E，
则∠GAB＝∠AEB＝∠AED＝90°，
由（2）得AG＝DG．
同理可得AE：ED：AD＝5：12：13．
设AE＝5n（n＞0），则DE＝12n；
设AG＝DG＝y，则EG＝12n﹣y，
∴y2＝（5n）2+（12n﹣y）2，
解得y＝n，则AG＝DG＝n，
∴EG＝12n﹣n＝n．
∵∠BAE＝90°﹣∠EAG＝∠AGE，
∴＝tan∠AGE＝＝，
∴BE＝AE＝×5n＝n，
∵＝sin∠AGE，
∴AB•AE＝BE•AG，
∴5×5n＝n×n，
解得n＝，
∴BD＝n+12n＝×+12×＝12．
综上所述，BD的长为或12．