第九章 9.3圆的方程-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　 　)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　 　)

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　 　)

(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　 　)

(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　 　)

无

题型一　求圆的方程

例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．

(2)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

　已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________．

题型二　与圆有关的最值问题

例2　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．

引申探究

1．在例2的条件下，求的最大值和最小值．

2．在例2的条件下，求的最大值和最小值．

　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

题型三　与圆有关的轨迹问题

例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

1．圆的定义与方程

【知识拓展】

1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

典例　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)

A．x＋y－1＝0  B．x＋y＋3＝0  C．x－y＋1＝0  D．x－y＋3＝0

2．方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．

4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)

A．x2＋y2＝2   B．x2＋y＝

C．x2＋y2＝1   D．x2＋y2＝4

2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0   B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0

3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 (　　)

A．原点在圆上   B．原点在圆外

C．原点在圆内   D．不确定

4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

5．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝1   B．x2＋(y－)2＝3

C．x2＋(y＋1)2＝1   D．x2＋(y＋)2＝3

6．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是(　　)

A.  B．2  C.  D．2

7．设直线l1：mx－(m－1)y－1＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点_______；若直线l1为圆x2＋y2＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数m＝_______.

8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．

9．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为___________________．

10．直线mx＋y－4＝0与直线x－my－4＝0相交于点P，则P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是__________．

11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

*13.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．