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2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．2021年是中国共产党成立100周年，江苏省高度重视基层党史专题宣讲工作，截止4月底，已开展宣讲5400余场次，受众近540万人次，将540万用科学记数法表示应为（ ）
A．5.4×105 B．54×105 C．5.4×106 D．0.54×107
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
5．已知两个函数y1＝k1x+b与y2＝的图象如图所示，其中A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式k1x+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
6．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成50°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
8．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB＝AD时相似 D．无法确定
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．的相反数是 ．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 ．
12．如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为 ．
13．若a＝，则2019﹣2a2+4a的值等于 ．
14．某商品的成本为2000元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的价格销售，那么最低可以打 折出售这些商品．
15．已知数轴上两点A、B到原点的距离是和2，则AB＝ ．
16．如图，△ABC中，∠B＝65°，∠C＝85°，AB＝13，AC＝12，则S△ABC＝ ．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数图象的函数表达式为 ．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°．
20．（8分）已知k＝﹣，求代数式2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）的值．
21．（8分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
22．（8分）画图题：
（1）如图甲，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图乙，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
24．（10分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
25．（10分）改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
26．（10分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）完成下列问题：
（1）如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长；
（2）如图乙，在△ABC中，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，画NP⊥NM交AB于点P，再画PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，证明四边形PQMN是正方形；
（3）在（2）中，把线段BN称为“波利亚线”．如图丙，在“波利亚线”BN上取一点O，使NO＝NM，连接OM、ON，若tan∠NBM＝，试求∠MOQ的度数．
28．（12分）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．
【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2021年是中国共产党成立100周年，江苏省高度重视基层党史专题宣讲工作，截止4月底，已开展宣讲5400余场次，受众近540万人次，将540万用科学记数法表示应为（ ）
A．5.4×105 B．54×105 C．5.4×106 D．0.54×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：540万＝5400000＝5.4×106．
故选：C．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
5．已知两个函数y1＝k1x+b与y2＝的图象如图所示，其中A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式k1x+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
【分析】不等式k1x+b＞的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：∵函数y1＝k1x+b与y2＝的图象相交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴函数y1＝k1x+b与y2＝的图象：x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：B．
6．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】连接AE，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
∵EF为⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵点F是BC弧的中点，
∴＝，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAF＝∠CAF＝40°，
∴∠E＝∠B+∠FAC＝80°，
∴∠AFE＝90°﹣80°＝10°，
故选：A．
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成50°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】若以AB为边作等边三角形，以等边三角形另一顶点为圆心，以等边三角形边长为半径作圆，圆心角∠AOB＝60°．圆与l交于两点，根据圆周角定理可知：这两点都符合题意的要求，由此得解．
【解答】解：如图所示，
以AB为边作等边三角形，
设等边三角形的另一顶点为O和O1，
以点O和点O1为圆心，以AB为半径作圆，圆O与直线L交于D、E两点，圆O1与直线L无交点，
则有∠AEB＝∠ADB＝∠O＝30°，
∠AGB＝∠AO1B＝×60°＝30°．
因此满足条件的点有两个：E、D．
故选：B．
8．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB＝AD时相似 D．无法确定
【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，从而得到＝，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．
【解答】解：令x＝0，则y＝1，
∴OP＝1，
设点A的横坐标为m，
则AD＝﹣m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，
在Rt△POD中，PD＝＝＝，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴＝，
即＝，
解得，PE＝m2，
∴PA2＝PD•PE＝m4+m2，
∴＝，
∵∠APE＝∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．的相反数是 ．
【分析】一个数的相反数就是只有符号不同的两个数，根据定义即可求解．
【解答】解：的相反数是．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
11．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 3 ．
【分析】首先根据平均数的计算公式，可以算出a的值，再根据众数的定义解答．
【解答】解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5＝4，得a＝3，
所以这组数据的众数是3．
故填3．
12．如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为 16 ．
【分析】根据题意可知★＝2个△＝8个〇＝16个□，再代入★÷□即可计算求解．
【解答】解：∵△+△＝★，
∴★＝2个△，
∵△＝〇+〇+〇+〇，
∴★＝8个〇，
∵〇＝□+□，
∴★＝16个□，
∴★÷□＝16．
故答案为：16．
13．若a＝，则2019﹣2a2+4a的值等于 2021 ．
【分析】根据a＝，可得a2﹣2a＝﹣1，再把a2﹣2a的值代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵a＝，
∴2a＝a2+1，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴2019﹣2a2+4a＝2019﹣2（a2﹣2a）＝2019+2＝2021．
故答案为：2021．
14．某商品的成本为2000元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的价格销售，那么最低可以打 7.5 折出售这些商品．
【分析】设打x折出售这些商品，根据利润＝销售价格﹣成本结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设打x折出售这些商品，
依题意，得：2800×﹣2000≥2000×5%，
解得：x≥7.5．
故答案为：7.5．
15．已知数轴上两点A、B到原点的距离是和2，则AB＝ 或 ．
【分析】由于到原点的距离实际表示这个数的绝对值，由此得到数轴上两点间距离的公式便可解答．
【解答】解：∵到原点的距离实际表示这个数的绝对值，
而 A、B到原点的距离是和2，
∴点A表示的数为或﹣，点B表示的数为2或﹣2．
那么AB＝2﹣，或AB＝2﹣（﹣）＝2+，或AB＝﹣（﹣2）＝2+，AB＝﹣﹣（﹣2）＝2﹣．
故答案为：或．
16．如图，△ABC中，∠B＝65°，∠C＝85°，AB＝13，AC＝12，则S△ABC＝ 39 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据三角形内角和可得∠A＝30°，CD＝6，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵∠B＝65°，∠ACB＝85°，
∴∠A＝180°﹣85°﹣65°＝30°，
∵AC＝12，
∴CD＝AC＝6，
∴S△ABC＝＝＝39．
故答案为：39．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数图象的函数表达式为 y＝ ．
【分析】设A（t，），利用线段的中点坐标公式得到D点坐标为（t，），然后利用待定系数法求过点D的反比例函数解析式．
【解答】解：设A（t，），
∵D为斜边OA的中点，
∴D点坐标为（t，），
设过点D的反比例函数图象的函数表达式为y＝，
把D（t，）代入得k＝t•＝2，
∴过点D的反比例函数图象的函数表达式为y＝．
故答案为y＝．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【解答】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°
∴∠ACD＝∠E1CE
∵，
∴△ACD∽△E1CE，
∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，
∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，
∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°
∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，
∴BF＝1，
∵BF＝BE2，
∴BE2＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°．
【分析】按照运算法则依次计算；负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．
【解答】解：原式＝﹣1﹣
＝﹣1
20．（8分）已知k＝﹣，求代数式2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）的值．
【分析】先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把k的值代入即可．
【解答】解：2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）
＝2k2﹣2k﹣2﹣k2+k+1+3k2﹣3k﹣3．
＝4k2﹣4k﹣4．
∵k＝﹣，
∴原式＝
＝﹣1．
21．（8分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
【分析】先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ZBCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（8分）画图题：
（1）如图甲，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图乙，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
【分析】（1）如图甲中，首先任意作弦AB，过点B作AB的垂线交圆于C，连接AC，线段AC即为所求作．
（2）如图乙中，连接AD，BC交于点K，延长CA交DB的延长线于J，作直线KJ交圆与E，F，线段EF即为所求作．
【解答】解：（1）如图甲中，线段AC即为所求作．
（2）如图乙中，线段EF即为所求作．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，将解析式配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则y＝；
（2）当50≤x≤80时，w＝﹣x2+300x﹣10400＝﹣（x﹣150）2+12100，
当x＜150时，w随x增大而增大，
则当x＝80时，w最大＝7200；
当80＜x≤140时，w＝﹣3x2+540x﹣16800＝﹣3（x﹣90）2+7500，
当x＝90时，w最大＝7500，
∴x＝90时，W有最大值7500元，
答：每件商品的售价定为90元时，每个月可获得最大利润是7500元．
24．（10分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 60 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
（2）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（人），
选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
故答案为：60；
（2）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有8种结果．
则抽到一男一女的概率为＝．
25．（10分）改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
【分析】（1）设AE＝x，由题意可知：BE＝，CE＝，根据BE+CE＝BC列出方程即可求出答案．
（2）由于AF⊥AC，所以∠FAG＝∠ACE＝31°，利用锐角三角函数的定义即可求出AG的值．
【解答】解：（1）设AE＝x，
∵tan∠ABE＝，tan∠ACE＝，
∴BE＝，CE＝
∵BE+CE＝BC，
∴+＝20，
∴解得：x≈2.9，
∴AG＝2.9+0.6＝3.5m；
（2）当AF⊥AC时，
∴∠FAG+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠FAG＝∠ACE＝31°，
∴tan31°＝，
∴FG≈2.1．
26．（10分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）完成下列问题：
（1）如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长；
（2）如图乙，在△ABC中，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，画NP⊥NM交AB于点P，再画PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，证明四边形PQMN是正方形；
（3）在（2）中，把线段BN称为“波利亚线”．如图丙，在“波利亚线”BN上取一点O，使NO＝NM，连接OM、ON，若tan∠NBM＝，试求∠MOQ的度数．
【分析】（1）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（2）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可．
（3）证明△BQO∽△BOM，推出∠BOQ＝∠BMO，由∠BMO+∠OMN＝90°，可得∠BOQ+∠NOM＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形PQMN是正方形，AD⊥BC，
∴PN∥BC，DE＝PQ＝PN，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PN＝．
∴正方形PQMN的边长是；
（2）证明：∵NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，
∴∠QMN＝∠PQM＝∠MNP＝∠BM′N′＝90°，
∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，
∴△BN′M′∽△BNM，
∴＝，
同理可得：＝，
∴＝，
∵M′N′＝P′N′，
∴MN＝PN，
∴四边形PQMN是正方形；
（3）解：∵tan∠NBM＝＝，
设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，
∵NO＝NM＝QM＝3k，
∴BQ＝k，BO＝2k，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠QBO＝∠OBM，
∴△BQO∽△BOM，
∴∠BOQ＝∠BMO，
∵NO＝NM，
∴∠NOM＝∠NMO，
∵∠BMO+∠OMN＝90°，
∴∠BOQ+∠NOM＝90°，
∴∠MOQ＝90°．
28．（12分）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1且抛物线过点A（0，1）求解可得；
（2）根据直线y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG＝2，由S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1得出xN﹣xM＝1，联立直线和抛物线解析式求得x＝，根据xN﹣xM＝1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，
解得：b＝2、c＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG＝2，
∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，
解得：x＝＝，
则xN＝、xM＝，
由xN﹣xM＝1得＝1，
∴k＝±3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，＝，
∴＝，
∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时，＝，
∴＝，
∴t＝（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△＝（1+m）2﹣8＝0，
解得：m＝2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，
方程②有一个实数根t＝，
∴m＝2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）2+2＝0，
解得：m＝2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．2021年是中国共产党成立100周年，江苏省高度重视基层党史专题宣讲工作，截止4月底，已开展宣讲5400余场次，受众近540万人次，将540万用科学记数法表示应为（ ）
A．5.4×105 B．54×105 C．5.4×106 D．0.54×107
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
5．已知两个函数y1＝k1x+b与y2＝的图象如图所示，其中A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式k1x+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
6．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成50°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
8．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB＝AD时相似 D．无法确定
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．的相反数是 ．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 ．
12．如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为 ．
13．若a＝，则2019﹣2a2+4a的值等于 ．
14．某商品的成本为2000元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的价格销售，那么最低可以打 折出售这些商品．
15．已知数轴上两点A、B到原点的距离是和2，则AB＝ ．
16．如图，△ABC中，∠B＝65°，∠C＝85°，AB＝13，AC＝12，则S△ABC＝ ．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数图象的函数表达式为 ．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°．
20．（8分）已知k＝﹣，求代数式2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）的值．
21．（8分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
22．（8分）画图题：
（1）如图甲，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图乙，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
24．（10分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
25．（10分）改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
26．（10分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）完成下列问题：
（1）如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长；
（2）如图乙，在△ABC中，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，画NP⊥NM交AB于点P，再画PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，证明四边形PQMN是正方形；
（3）在（2）中，把线段BN称为“波利亚线”．如图丙，在“波利亚线”BN上取一点O，使NO＝NM，连接OM、ON，若tan∠NBM＝，试求∠MOQ的度数．
28．（12分）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．
【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2021年是中国共产党成立100周年，江苏省高度重视基层党史专题宣讲工作，截止4月底，已开展宣讲5400余场次，受众近540万人次，将540万用科学记数法表示应为（ ）
A．5.4×105 B．54×105 C．5.4×106 D．0.54×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：540万＝5400000＝5.4×106．
故选：C．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
5．已知两个函数y1＝k1x+b与y2＝的图象如图所示，其中A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式k1x+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
【分析】不等式k1x+b＞的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：∵函数y1＝k1x+b与y2＝的图象相交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴函数y1＝k1x+b与y2＝的图象：x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：B．
6．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】连接AE，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
∵EF为⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵点F是BC弧的中点，
∴＝，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAF＝∠CAF＝40°，
∴∠E＝∠B+∠FAC＝80°，
∴∠AFE＝90°﹣80°＝10°，
故选：A．
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成50°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】若以AB为边作等边三角形，以等边三角形另一顶点为圆心，以等边三角形边长为半径作圆，圆心角∠AOB＝60°．圆与l交于两点，根据圆周角定理可知：这两点都符合题意的要求，由此得解．
【解答】解：如图所示，
以AB为边作等边三角形，
设等边三角形的另一顶点为O和O1，
以点O和点O1为圆心，以AB为半径作圆，圆O与直线L交于D、E两点，圆O1与直线L无交点，
则有∠AEB＝∠ADB＝∠O＝30°，
∠AGB＝∠AO1B＝×60°＝30°．
因此满足条件的点有两个：E、D．
故选：B．
8．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB＝AD时相似 D．无法确定
【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，从而得到＝，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．
【解答】解：令x＝0，则y＝1，
∴OP＝1，
设点A的横坐标为m，
则AD＝﹣m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，
在Rt△POD中，PD＝＝＝，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴＝，
即＝，
解得，PE＝m2，
∴PA2＝PD•PE＝m4+m2，
∴＝，
∵∠APE＝∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．的相反数是 ．
【分析】一个数的相反数就是只有符号不同的两个数，根据定义即可求解．
【解答】解：的相反数是．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
11．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 3 ．
【分析】首先根据平均数的计算公式，可以算出a的值，再根据众数的定义解答．
【解答】解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5＝4，得a＝3，
所以这组数据的众数是3．
故填3．
12．如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为 16 ．
【分析】根据题意可知★＝2个△＝8个〇＝16个□，再代入★÷□即可计算求解．
【解答】解：∵△+△＝★，
∴★＝2个△，
∵△＝〇+〇+〇+〇，
∴★＝8个〇，
∵〇＝□+□，
∴★＝16个□，
∴★÷□＝16．
故答案为：16．
13．若a＝，则2019﹣2a2+4a的值等于 2021 ．
【分析】根据a＝，可得a2﹣2a＝﹣1，再把a2﹣2a的值代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵a＝，
∴2a＝a2+1，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴2019﹣2a2+4a＝2019﹣2（a2﹣2a）＝2019+2＝2021．
故答案为：2021．
14．某商品的成本为2000元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的价格销售，那么最低可以打 7.5 折出售这些商品．
【分析】设打x折出售这些商品，根据利润＝销售价格﹣成本结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设打x折出售这些商品，
依题意，得：2800×﹣2000≥2000×5%，
解得：x≥7.5．
故答案为：7.5．
15．已知数轴上两点A、B到原点的距离是和2，则AB＝ 或 ．
【分析】由于到原点的距离实际表示这个数的绝对值，由此得到数轴上两点间距离的公式便可解答．
【解答】解：∵到原点的距离实际表示这个数的绝对值，
而 A、B到原点的距离是和2，
∴点A表示的数为或﹣，点B表示的数为2或﹣2．
那么AB＝2﹣，或AB＝2﹣（﹣）＝2+，或AB＝﹣（﹣2）＝2+，AB＝﹣﹣（﹣2）＝2﹣．
故答案为：或．
16．如图，△ABC中，∠B＝65°，∠C＝85°，AB＝13，AC＝12，则S△ABC＝ 39 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据三角形内角和可得∠A＝30°，CD＝6，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵∠B＝65°，∠ACB＝85°，
∴∠A＝180°﹣85°﹣65°＝30°，
∵AC＝12，
∴CD＝AC＝6，
∴S△ABC＝＝＝39．
故答案为：39．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数图象的函数表达式为 y＝ ．
【分析】设A（t，），利用线段的中点坐标公式得到D点坐标为（t，），然后利用待定系数法求过点D的反比例函数解析式．
【解答】解：设A（t，），
∵D为斜边OA的中点，
∴D点坐标为（t，），
设过点D的反比例函数图象的函数表达式为y＝，
把D（t，）代入得k＝t•＝2，
∴过点D的反比例函数图象的函数表达式为y＝．
故答案为y＝．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【解答】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°
∴∠ACD＝∠E1CE
∵，
∴△ACD∽△E1CE，
∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，
∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，
∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°
∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，
∴BF＝1，
∵BF＝BE2，
∴BE2＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°．
【分析】按照运算法则依次计算；负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．
【解答】解：原式＝﹣1﹣
＝﹣1
20．（8分）已知k＝﹣，求代数式2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）的值．
【分析】先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把k的值代入即可．
【解答】解：2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）
＝2k2﹣2k﹣2﹣k2+k+1+3k2﹣3k﹣3．
＝4k2﹣4k﹣4．
∵k＝﹣，
∴原式＝
＝﹣1．
21．（8分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
【分析】先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ZBCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（8分）画图题：
（1）如图甲，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图乙，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
【分析】（1）如图甲中，首先任意作弦AB，过点B作AB的垂线交圆于C，连接AC，线段AC即为所求作．
（2）如图乙中，连接AD，BC交于点K，延长CA交DB的延长线于J，作直线KJ交圆与E，F，线段EF即为所求作．
【解答】解：（1）如图甲中，线段AC即为所求作．
（2）如图乙中，线段EF即为所求作．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，将解析式配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则y＝；
（2）当50≤x≤80时，w＝﹣x2+300x﹣10400＝﹣（x﹣150）2+12100，
当x＜150时，w随x增大而增大，
则当x＝80时，w最大＝7200；
当80＜x≤140时，w＝﹣3x2+540x﹣16800＝﹣3（x﹣90）2+7500，
当x＝90时，w最大＝7500，
∴x＝90时，W有最大值7500元，
答：每件商品的售价定为90元时，每个月可获得最大利润是7500元．
24．（10分）在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有 60 人，补全条形统计图．
（2）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
（3）在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
（2）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（人），
选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
故答案为：60；
（2）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有8种结果．
则抽到一男一女的概率为＝．
25．（10分）改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
【分析】（1）设AE＝x，由题意可知：BE＝，CE＝，根据BE+CE＝BC列出方程即可求出答案．
（2）由于AF⊥AC，所以∠FAG＝∠ACE＝31°，利用锐角三角函数的定义即可求出AG的值．
【解答】解：（1）设AE＝x，
∵tan∠ABE＝，tan∠ACE＝，
∴BE＝，CE＝
∵BE+CE＝BC，
∴+＝20，
∴解得：x≈2.9，
∴AG＝2.9+0.6＝3.5m；
（2）当AF⊥AC时，
∴∠FAG+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠FAG＝∠ACE＝31°，
∴tan31°＝，
∴FG≈2.1．
26．（10分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）完成下列问题：
（1）如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长；
（2）如图乙，在△ABC中，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，画NP⊥NM交AB于点P，再画PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，证明四边形PQMN是正方形；
（3）在（2）中，把线段BN称为“波利亚线”．如图丙，在“波利亚线”BN上取一点O，使NO＝NM，连接OM、ON，若tan∠NBM＝，试求∠MOQ的度数．
【分析】（1）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（2）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可．
（3）证明△BQO∽△BOM，推出∠BOQ＝∠BMO，由∠BMO+∠OMN＝90°，可得∠BOQ+∠NOM＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形PQMN是正方形，AD⊥BC，
∴PN∥BC，DE＝PQ＝PN，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PN＝．
∴正方形PQMN的边长是；
（2）证明：∵NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，
∴∠QMN＝∠PQM＝∠MNP＝∠BM′N′＝90°，
∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，
∴△BN′M′∽△BNM，
∴＝，
同理可得：＝，
∴＝，
∵M′N′＝P′N′，
∴MN＝PN，
∴四边形PQMN是正方形；
（3）解：∵tan∠NBM＝＝，
设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，
∵NO＝NM＝QM＝3k，
∴BQ＝k，BO＝2k，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠QBO＝∠OBM，
∴△BQO∽△BOM，
∴∠BOQ＝∠BMO，
∵NO＝NM，
∴∠NOM＝∠NMO，
∵∠BMO+∠OMN＝90°，
∴∠BOQ+∠NOM＝90°，
∴∠MOQ＝90°．
28．（12分）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1且抛物线过点A（0，1）求解可得；
（2）根据直线y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG＝2，由S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1得出xN﹣xM＝1，联立直线和抛物线解析式求得x＝，根据xN﹣xM＝1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，
解得：b＝2、c＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG＝2，
∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，
解得：x＝＝，
则xN＝、xM＝，
由xN﹣xM＝1得＝1，
∴k＝±3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，＝，
∴＝，
∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时，＝，
∴＝，
∴t＝（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△＝（1+m）2﹣8＝0，
解得：m＝2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，
方程②有一个实数根t＝，
∴m＝2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）2+2＝0，
解得：m＝2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
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