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江苏省常州市2021年中考数学一模试卷（word版 含答案）
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这是一份江苏省常州市2021年中考数学一模试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省常州市中考数学一模试卷
一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题号填写在答题卡上）
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2﹣a1＝a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
5．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C． D．a2＜b2
7．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ ．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
11．（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是 ．
12．（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 ．
13．（2分）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2＝ ．
14．（2分）若m+＝3，则m2+＝ ．
15．（2分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，使CB1∥AD，分别延长AB、CA1相交于点D，则线段BD的长为 ．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 ．
三、解答题（共11小题，满分76分）
19．（2分）计算：﹣12018+|﹣2|+tan60°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．
20．（2分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣2，b＝．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
23．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
24．（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
25．（8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
26．（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
27．（8分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
28．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．
29．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年江苏省常州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题号填写在答题卡上）
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝8．
故选：B．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，该日气温的极差是7﹣（﹣2）＝9℃，故此选项错误；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2﹣a1＝a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2⋅a3＝a5，故A选项错误；
B．a2与a1不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C．（a2）3＝a6，故C选项正确；
D．a8÷a2＝a6，故D选项错误，
故选：C．
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；
图④，∠α+∠β＝180°，互补．
故选：A．
5．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故选：B．
6．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C． D．a2＜b2
【分析】通过不等式的基本性质逐项判断求解．
【解答】解：A，∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1正确，A不符合题意．
B，∵a＜b，
∴2a＜2b正确，B不符合题意．
C，∵a＜b，
∴正确，C不符合题意．
D，当a＜b＜0时，a2＞b2，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．
【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（7+AC）2＝132，
整理得，AC2+7AC﹣60＝0，
解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
∴BC＝＝12，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣，
故选：D．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由正方形ABCD与正方形AEFG，得到∠EAG＝∠BAD＝90°，根据等式的基本性质确定出∠EAB＝∠GAD；
②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；
③根据两角相等的两个三角形相似得到三角形HAF与三角形ACF相似，相似得比例，根据AF＝AE，代换即可作出判断；
④由相似三角形对应角相等得到∠ADG＝∠ACF＝45°，可得出DG在正方形ABCD对角线BD上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．
【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
又∵∠EAB＝90°﹣∠BAG，∠GAD＝90°﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴选项①正确；
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝DC，AG＝FG，
∴AC＝AD，AF＝AG，
∴＝，＝，即＝，
又∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD，
∴选项②正确；
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线，
∴∠AFH＝∠ACF＝45°，
又∵∠FAH＝∠CAF，
∴△HAF∽△FAC，
∴＝，即AF2＝AC•AH，
又∵AF＝AE，
∴2AE2＝AH•AC，
∴选项③正确；
④由②知△AFC∽△AGD，
又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠ADG＝∠ACF＝45°，
∴DG在正方形另外一条对角线上，
∴DG⊥AC，
∴④正确，
故选：D．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ 2 ．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
11．（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是 1.86×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：186000000＝1.86×108，
故答案为：1.86×108．
12．（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【解答】解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
13．（2分）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2＝ 3m（m﹣3n）2 ．
【分析】先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3m3﹣18m2n+27mn2，
＝3m（m2﹣6mn+9n2），
＝3m（m﹣3n）2．
故答案为：3m（m﹣3n）2．
14．（2分）若m+＝3，则m2+＝ 7 ．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把m+＝3两边平方得：（m+）2＝m2++2＝9，
则m2+＝7，
故答案为：7
15．（2分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB＝90°，可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA＝OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【解答】解：连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，
∵OA＝OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB＝30°，
∴∠BOE＝120°，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，
＝﹣×，
＝﹣，
＝﹣，
故答案为：﹣．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，使CB1∥AD，分别延长AB、CA1相交于点D，则线段BD的长为 9 ．
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B1A1C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．
【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴AC＝CA1＝6，AB＝B1A1＝3，∠A＝∠CA1B1，
∵CB1∥AB，
∴∠B1CA1＝∠D，
∴△CAD∽△B1A1C，
∴，
∴，
解得AD＝12，
∴BD＝AD﹣AB＝12﹣3＝9．
故答案为：9．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，
∴OE＝2，
∴点C（6，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
三、解答题（共11小题，满分76分）
19．（2分）计算：﹣12018+|﹣2|+tan60°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．
【分析】先计算乘方、去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣+﹣1+4
＝4．
20．（2分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣2，b＝．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，
当a＝﹣2，b＝时，原式＝﹣4．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，
不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x＝4，
则原式＝．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
23．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400人，
故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）＝240，
补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×＝100人．
24．（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，
∴米粒落在阴影部分的概率是＝；
（2）列表如下：
A
B
C
D
E
F
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
（F，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
（F，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
（F，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
（F，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
（F，E）
F
（A，F）
（B，F）
（C，F）
（D，F）
（E，F）
由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种，
故新图案是轴对称图形的概率为＝．
25．（8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
26．（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用锐角三角函数即可求出AC的长；
（2）根据题意证明△OBC是等边三角形，可得点O在此过程中运动的路径长即为半径为OB，圆心角为60度的弧长．
【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于H，
∵OC＝OB＝60cm，
∴CH＝BH，
在Rt△OBH中，
∵cos∠OBC＝，
∴BH＝OB•cos50°≈60×0.64＝38.4（cm），
∴AC＝AB﹣2BH≈120﹣2×38.4＝43.2（cm），
∴AC的长约为43.2cm；
（2）∵AC＝60cm，
∴BC＝60cm，
∵OC＝OB＝60cm，
∴OC＝OB＝BC＝60cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为OB，圆心角为60度的弧长＝＝20×3.14＝62.8（cm），
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm．
27．（8分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【分析】（1）由“准互余三角形”定义可求解；
（2）由勾股定理可求AC＝3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，通过证明△CEB∽△BED，可求BE＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，
若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°，
∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，
若∠A﹣∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴AC＝＝＝3，
∵△ABD是“准互余三角形”，
∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，
当∠BAD﹣∠ADB＝90°，
∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，
∴∠CAD＝∠ADB，
∴AC＝CD＝3，
当∠BAD﹣∠B＝90°，
∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠BDA，
∴△ADC∽△BDA，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，
∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠ACE＝180°，
∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，
∴∠ACD+∠ACE＝180°，
∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，
∴∠BCD﹣∠ABC＝90°，
∵△BCD是“准互余三角形”，
∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，
∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，
∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，
又∵∠E＝∠E，
∴△CEB∽△BED，
∴，
即，
∴BE＝6，
∴BD＝＝＝3．
28．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 28 cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得出AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，解方程即可；
（3）证出A、P、D三点在以DP为直径的圆上，由圆周角定理得出∠PQD＝90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（4）求出⊙Q与边AD相切时t的值，再求出⊙Q过点D时t的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，
当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，
∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），
故答案为：28；
（2）不能；理由如下：
根据题意得：△DPQ的面积＝，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根，
∴△DPQ的面积不可能为26cm2；
（3）∵∠A＝90°，
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，
∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，
∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；
解得t1＝6，t2＝，
∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，
过点Q作QE⊥AD，
∵⊙Q与边AD相切，
∴QE＝QP，
由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；
解得t1＝0（舍去），t2＝，
如图2，⊙Q过点D时，
则QD＝QP，
由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；
解得：t1＝6﹣18，t2＝﹣6﹣18（舍去），
∴当＜t＜6﹣18时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．
29．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
2021年江苏省常州市中考数学一模试卷
一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题号填写在答题卡上）
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2﹣a1＝a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
5．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C． D．a2＜b2
7．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ ．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
11．（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是 ．
12．（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 ．
13．（2分）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2＝ ．
14．（2分）若m+＝3，则m2+＝ ．
15．（2分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，使CB1∥AD，分别延长AB、CA1相交于点D，则线段BD的长为 ．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 ．
三、解答题（共11小题，满分76分）
19．（2分）计算：﹣12018+|﹣2|+tan60°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．
20．（2分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣2，b＝．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
23．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
24．（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
25．（8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
26．（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
27．（8分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
28．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．
29．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年江苏省常州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应的题号填写在答题卡上）
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝8．
故选：B．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，该日气温的极差是7﹣（﹣2）＝9℃，故此选项错误；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2﹣a1＝a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2⋅a3＝a5，故A选项错误；
B．a2与a1不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C．（a2）3＝a6，故C选项正确；
D．a8÷a2＝a6，故D选项错误，
故选：C．
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；
图④，∠α+∠β＝180°，互补．
故选：A．
5．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故选：B．
6．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C． D．a2＜b2
【分析】通过不等式的基本性质逐项判断求解．
【解答】解：A，∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1正确，A不符合题意．
B，∵a＜b，
∴2a＜2b正确，B不符合题意．
C，∵a＜b，
∴正确，C不符合题意．
D，当a＜b＜0时，a2＞b2，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．
【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（7+AC）2＝132，
整理得，AC2+7AC﹣60＝0，
解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
∴BC＝＝12，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣，
故选：D．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由正方形ABCD与正方形AEFG，得到∠EAG＝∠BAD＝90°，根据等式的基本性质确定出∠EAB＝∠GAD；
②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；
③根据两角相等的两个三角形相似得到三角形HAF与三角形ACF相似，相似得比例，根据AF＝AE，代换即可作出判断；
④由相似三角形对应角相等得到∠ADG＝∠ACF＝45°，可得出DG在正方形ABCD对角线BD上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．
【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
又∵∠EAB＝90°﹣∠BAG，∠GAD＝90°﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴选项①正确；
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝DC，AG＝FG，
∴AC＝AD，AF＝AG，
∴＝，＝，即＝，
又∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD，
∴选项②正确；
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线，
∴∠AFH＝∠ACF＝45°，
又∵∠FAH＝∠CAF，
∴△HAF∽△FAC，
∴＝，即AF2＝AC•AH，
又∵AF＝AE，
∴2AE2＝AH•AC，
∴选项③正确；
④由②知△AFC∽△AGD，
又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠ADG＝∠ACF＝45°，
∴DG在正方形另外一条对角线上，
∴DG⊥AC，
∴④正确，
故选：D．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ 2 ．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
11．（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是 1.86×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：186000000＝1.86×108，
故答案为：1.86×108．
12．（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【解答】解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
13．（2分）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2＝ 3m（m﹣3n）2 ．
【分析】先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3m3﹣18m2n+27mn2，
＝3m（m2﹣6mn+9n2），
＝3m（m﹣3n）2．
故答案为：3m（m﹣3n）2．
14．（2分）若m+＝3，则m2+＝ 7 ．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把m+＝3两边平方得：（m+）2＝m2++2＝9，
则m2+＝7，
故答案为：7
15．（2分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
16．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB＝90°，可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA＝OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【解答】解：连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，
∵OA＝OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB＝30°，
∴∠BOE＝120°，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，
＝﹣×，
＝﹣，
＝﹣，
故答案为：﹣．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，使CB1∥AD，分别延长AB、CA1相交于点D，则线段BD的长为 9 ．
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B1A1C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．
【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴AC＝CA1＝6，AB＝B1A1＝3，∠A＝∠CA1B1，
∵CB1∥AB，
∴∠B1CA1＝∠D，
∴△CAD∽△B1A1C，
∴，
∴，
解得AD＝12，
∴BD＝AD﹣AB＝12﹣3＝9．
故答案为：9．
18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，
∴OE＝2，
∴点C（6，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
三、解答题（共11小题，满分76分）
19．（2分）计算：﹣12018+|﹣2|+tan60°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．
【分析】先计算乘方、去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣+﹣1+4
＝4．
20．（2分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣2，b＝．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，
当a＝﹣2，b＝时，原式＝﹣4．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，
不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x＝4，
则原式＝．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
23．（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%＝400人，
故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）＝240，
补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×＝100人．
24．（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，
∴米粒落在阴影部分的概率是＝；
（2）列表如下：
A
B
C
D
E
F
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
（F，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
（F，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
（F，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
（F，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
（F，E）
F
（A，F）
（B，F）
（C，F）
（D，F）
（E，F）
由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种，
故新图案是轴对称图形的概率为＝．
25．（8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
26．（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用锐角三角函数即可求出AC的长；
（2）根据题意证明△OBC是等边三角形，可得点O在此过程中运动的路径长即为半径为OB，圆心角为60度的弧长．
【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于H，
∵OC＝OB＝60cm，
∴CH＝BH，
在Rt△OBH中，
∵cos∠OBC＝，
∴BH＝OB•cos50°≈60×0.64＝38.4（cm），
∴AC＝AB﹣2BH≈120﹣2×38.4＝43.2（cm），
∴AC的长约为43.2cm；
（2）∵AC＝60cm，
∴BC＝60cm，
∵OC＝OB＝60cm，
∴OC＝OB＝BC＝60cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为OB，圆心角为60度的弧长＝＝20×3.14＝62.8（cm），
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm．
27．（8分）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【分析】（1）由“准互余三角形”定义可求解；
（2）由勾股定理可求AC＝3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，通过证明△CEB∽△BED，可求BE＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，
若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°，
∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，
若∠A﹣∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴AC＝＝＝3，
∵△ABD是“准互余三角形”，
∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，
当∠BAD﹣∠ADB＝90°，
∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，
∴∠CAD＝∠ADB，
∴AC＝CD＝3，
当∠BAD﹣∠B＝90°，
∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠BDA，
∴△ADC∽△BDA，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，
∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠ACE＝180°，
∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，
∴∠ACD+∠ACE＝180°，
∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，
∴∠BCD﹣∠ABC＝90°，
∵△BCD是“准互余三角形”，
∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，
∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，
∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，
又∵∠E＝∠E，
∴△CEB∽△BED，
∴，
即，
∴BE＝6，
∴BD＝＝＝3．
28．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 28 cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得出AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，解方程即可；
（3）证出A、P、D三点在以DP为直径的圆上，由圆周角定理得出∠PQD＝90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（4）求出⊙Q与边AD相切时t的值，再求出⊙Q过点D时t的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，
当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，
∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），
故答案为：28；
（2）不能；理由如下：
根据题意得：△DPQ的面积＝，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根，
∴△DPQ的面积不可能为26cm2；
（3）∵∠A＝90°，
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，
∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，
∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；
解得t1＝6，t2＝，
∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，
过点Q作QE⊥AD，
∵⊙Q与边AD相切，
∴QE＝QP，
由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；
解得t1＝0（舍去），t2＝，
如图2，⊙Q过点D时，
则QD＝QP，
由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；
解得：t1＝6﹣18，t2＝﹣6﹣18（舍去），
∴当＜t＜6﹣18时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．
29．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
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