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高考数学一轮复习 第八章 第3节圆与方程
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这是一份高考数学一轮复习 第八章 第3节圆与方程，共15页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程，点与圆的位置关系，已知圆C，已知点M是圆C等内容，欢迎下载使用。
知 识 梳 理
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
解析 (2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq \f(1,4)或m＞1时表示圆.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，eq \r(3)
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，eq \r(13)
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).
答案 D
3.(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案 C
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，1) B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1
解析 因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A.2 B.－2 C.1 D.－1
解析 由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
答案 B
6.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______.
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案 (－2，－4) 5
考点一 圆的方程
【例1】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为________.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得D＝－2，E＝0，F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝eq \f(1,2)|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝eq \f(2|a|,\r(2))＝eq \r(2)|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq \r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2a－3|,\r(2))，
∴d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，即eq \f(（2a－3）2,2)＋eq \f(3,2)＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|a－b－3|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(（a－b－3）2,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2)－3)),\r(2))，
由已知得d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝0，))
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案 (1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
【训练1】 (1)若圆C：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2m)))eq \s\up12(2)＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________.
(2)(2018·枣庄模拟)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为________.
解析 (1)∵圆C的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2m)))，∴eq \r(\f(1,m)－1)＝eq \f(1,2m)，m＝eq \f(1,2).又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即eq \f(|2a－2|,\r(2))＝eq \f(|2a＋2|,\r(2))，解得a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为eq \f(|2a－2|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
答案 (1)x2＋(y＋1)2＝4 (2)x2＋(y－2)2＝2
考点二 与圆有关的最值问题 多维探究
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2－1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆.
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如图2).
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为eq \r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝eq \f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度2 利用对称性求最值
【例2－2】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C.6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq \r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.
答案 A
规律方法 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【训练2】 (1)设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.
(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析 (1)函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq \f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq \f(|1－2×0－6|,\r(12＋（－2）2))＝eq \r(5)>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq \r(5)－2.
(2)因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
答案 (1)eq \r(5)－2 (2)2eq \r(5)
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【训练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
解 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解上式得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)[思维升华]
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
[易错防范]
1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
2.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·宁波调研)已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B.(x－2)2＋(y－1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
解析 根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
答案 C
2.(2019·临沂模拟)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B.(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C.(x－3)2＋(y－4)2＝25 D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析 圆C的圆心的坐标C(6，8)，
则OC的中点坐标为E(3，4)，
则所求圆的半径|OE|＝eq \r(32＋42)＝5，
则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案 C
3.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))
C.(－2，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3)))
解析 方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq \f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq \f(2,3).
答案 D
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A.x2＋(y－3)2＝5 B.x2＋(y＋3)2＝5
C.(x－3)2＋y2＝5 D.(x＋3)2＋y2＝5
解析 由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，
∴△ABC外接圆的半径为
eq \f(BC,2)＝eq \f(\r([－4－（－2）]2＋（－2－2）2),2)＝eq \r(5)，圆心为(－3，0)，
∴△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
答案 D
二、填空题
6.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________.
解析 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，则|OC|＝eq \r(22＋（－m＋4）2)，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.
答案 1
7.(2019·湖州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.
解析 圆C的方程可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq \f(3,4)k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.
答案 (0，－1)
8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝eq \f(1－0,2－1)＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答题
9.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程.
解 (1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得
a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y).
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，
故△POM的面积为eq \f(16,5).
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11.若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2eq \r(7)，则圆Ω的方程为( )
A.x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25
B.x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17
D.(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16
解析 由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，
所以圆心在直线y＝2上，
设圆心坐标为(a，2)，
由题意得eq \f(|a－2|,\r(2))＝eq \r(a2＋（5－2）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(7),2)))\s\up12(2))，
解得a＝0或a＝－4.
当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；
当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，
所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.
答案 A
12.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2.xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案 74
13.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，－a).
由题意得eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AF,\s\up6(→))的夹角为120°，
得cs 120°＝eq \f(－1,1×\r(1＋a2))＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \r(3).
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1.
答案 (x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1
14.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
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15.(多填题)已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则eq \r(x2＋y2)的最大值为__________，|3x＋4y－28|的最小值为__________.
解析 由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而eq \r(x2＋y2)表示圆上的点到坐标原点的距离，∴(eq \r(x2＋y2))max＝eq \r(32＋（－4）2)＋6＝11，由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36可设其圆上点的坐标为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ＋3，,y＝6sin θ－4))(θ为参数)，∴|3x＋4y－28|＝|18cs θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(3,4)))，∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.
答案 11 5定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
知 识 梳 理
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
解析 (2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq \f(1,4)或m＞1时表示圆.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，eq \r(3)
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，eq \r(13)
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).
答案 D
3.(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案 C
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，1) B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1
解析 因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A.2 B.－2 C.1 D.－1
解析 由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
答案 B
6.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______.
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案 (－2，－4) 5
考点一 圆的方程
【例1】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为________.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得D＝－2，E＝0，F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝eq \f(1,2)|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝eq \f(2|a|,\r(2))＝eq \r(2)|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq \r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2a－3|,\r(2))，
∴d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，即eq \f(（2a－3）2,2)＋eq \f(3,2)＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|a－b－3|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(（a－b－3）2,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2)－3)),\r(2))，
由已知得d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝0，))
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案 (1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
【训练1】 (1)若圆C：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2m)))eq \s\up12(2)＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________.
(2)(2018·枣庄模拟)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为________.
解析 (1)∵圆C的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2m)))，∴eq \r(\f(1,m)－1)＝eq \f(1,2m)，m＝eq \f(1,2).又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即eq \f(|2a－2|,\r(2))＝eq \f(|2a＋2|,\r(2))，解得a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为eq \f(|2a－2|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
答案 (1)x2＋(y＋1)2＝4 (2)x2＋(y－2)2＝2
考点二 与圆有关的最值问题 多维探究
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2－1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆.
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如图2).
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为eq \r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝eq \f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度2 利用对称性求最值
【例2－2】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C.6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq \r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.
答案 A
规律方法 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【训练2】 (1)设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.
(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析 (1)函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq \f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq \f(|1－2×0－6|,\r(12＋（－2）2))＝eq \r(5)>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq \r(5)－2.
(2)因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
答案 (1)eq \r(5)－2 (2)2eq \r(5)
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【训练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
解 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解上式得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3)
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
[易错防范]
1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
2.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·宁波调研)已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B.(x－2)2＋(y－1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
解析 根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
答案 C
2.(2019·临沂模拟)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B.(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C.(x－3)2＋(y－4)2＝25 D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析 圆C的圆心的坐标C(6，8)，
则OC的中点坐标为E(3，4)，
则所求圆的半径|OE|＝eq \r(32＋42)＝5，
则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案 C
3.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))
C.(－2，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3)))
解析 方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq \f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq \f(2,3).
答案 D
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A.x2＋(y－3)2＝5 B.x2＋(y＋3)2＝5
C.(x－3)2＋y2＝5 D.(x＋3)2＋y2＝5
解析 由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，
∴△ABC外接圆的半径为
eq \f(BC,2)＝eq \f(\r([－4－（－2）]2＋（－2－2）2),2)＝eq \r(5)，圆心为(－3，0)，
∴△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
答案 D
二、填空题
6.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________.
解析 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，则|OC|＝eq \r(22＋（－m＋4）2)，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.
答案 1
7.(2019·湖州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.
解析 圆C的方程可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq \f(3,4)k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.
答案 (0，－1)
8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝eq \f(1－0,2－1)＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答题
9.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程.
解 (1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得
a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y).
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，
故△POM的面积为eq \f(16,5).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2eq \r(7)，则圆Ω的方程为( )
A.x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25
B.x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17
D.(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16
解析 由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，
所以圆心在直线y＝2上，
设圆心坐标为(a，2)，
由题意得eq \f(|a－2|,\r(2))＝eq \r(a2＋（5－2）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(7),2)))\s\up12(2))，
解得a＝0或a＝－4.
当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；
当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，
所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.
答案 A
12.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2.xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案 74
13.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，－a).
由题意得eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AF,\s\up6(→))的夹角为120°，
得cs 120°＝eq \f(－1,1×\r(1＋a2))＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \r(3).
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1.
答案 (x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1
14.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
新高考创新预测
15.(多填题)已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则eq \r(x2＋y2)的最大值为__________，|3x＋4y－28|的最小值为__________.
解析 由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而eq \r(x2＋y2)表示圆上的点到坐标原点的距离，∴(eq \r(x2＋y2))max＝eq \r(32＋（－4）2)＋6＝11，由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36可设其圆上点的坐标为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ＋3，,y＝6sin θ－4))(θ为参数)，∴|3x＋4y－28|＝|18cs θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(3,4)))，∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.
答案 11 5定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
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