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高考数学一轮复习 第八章 第7节
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这是一份高考数学一轮复习 第八章 第7节，共20页。试卷主要包含了抛物线的标准方程与几何性质，已知双曲线C1等内容，欢迎下载使用。
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
[微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝eq \f(1,a)y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a)))，准线方程是y＝－eq \f(1,4a).
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.
答案 y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2eq \r(6).故满足条件的点的个数为2.
答案 2
4.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为( )
A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.
答案 B
5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
答案 B
6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋xeq \\al(2,1)－y2－xeq \\al(2,2)＝( )
A.4 B.6 C.8 D.10
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B.eq \f(13,5) C.eq \f(14,5) D.3
解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋eq \f(1,2)，|BF|＝y2＋eq \f(1,2)，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知xeq \\al(2,1)＝2y1，xeq \\al(2,2)＝2y2，∴xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋xeq \\al(2,1)－y2－xeq \\al(2,2)＝(y1－y2)＋(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＝2＋4＝6.
(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即eq \f(|3＋7|,\r(32＋42))＝2.
答案 (1)B (2)A
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y0|＋eq \f(p,2).
【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝eq \f(1,2)|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案 (1)y2＝4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)时，△AMF的面积为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为( )
A.y2＝eq \f(8,5)x B.y2＝eq \f(16,5)x
C.y2＝eq \f(32,5)x D.y2＝eq \f(64,5)x
解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)＝eq \f(|MA|,|MP|)＝eq \f(1,cs ∠AMP)，
则cs ∠AMP＝eq \f(\r(2),2)，又0°<∠MAP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，eq \r(4m))，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝eq \r(4m)，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为eq \f(1,2)×2×2＝2.
(2)由题意，知直线AB必过原点，
则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，
圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝eq \f(|－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得k＝2，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋（y－2）2＝4))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))代入抛物线方程，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)＝2p·eq \f(8,5)，解得p＝eq \f(16,5)，
所以抛物线C2的方程为y2＝eq \f(32,5)x.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)(2019·济宁调研)已知点A(3，0)，过抛物线y2＝4x上一点P的直线与直线x＝－1垂直相交于点B，若|PB|＝|PA|，则P的横坐标为( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.2 D.eq \f(5,2)
解析 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为eq \r(3)，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故eq \f(p,|AA1|)＝eq \f(|CF|,|AC|)＝eq \f(1,2)，即p＝eq \f(3,2)，从而抛物线的方程为y2＝3x.
(2)由抛物线定义知：|PB|＝|PF|，又|PB|＝|PA|，所以|PA|＝|PF|，所以xP＝eq \f(xA＋xF,2)＝2(△PFA为等腰三角形).
答案 (1)y2＝3x (2)C
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，
则A，B处的切线斜率乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)＝－1，
则有p＝2.
(2)设切线AN为y＝eq \f(x1,p)x＋b，
又切点A在抛物线y＝eq \f(x2,2p)上，
∴y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，∴b＝eq \f(xeq \\al(2,1),2p)－eq \f(xeq \\al(2,1),p)＝－eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，
切线AN的方程为yAN＝eq \f(x1,p)x－eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，
同理切线BN的方程为yBN＝eq \f(x2,p)x－eq \f(xeq \\al(2,2),2p).
又∵N在yAN和yBN上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,p)x－\f(xeq \\al(2,1),2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(xeq \\al(2,2),2p)，))解得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p))).
∴N(pk，－1).
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(p（pk2＋2）3)≥2eq \r(2p)，
∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－eq \f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝k（x－1），))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2).
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq \f(4,k2)≥8＋2eq \r(16)＝16.
当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号.
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
答案 A
[思维升华]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)；|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若F为抛物线焦点，则有eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
[易错防范]
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).
【例1】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B.eq \f(9,2) C.5 D.6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2).
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2).则sin2θ＝8cs2θ，∴sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
法二 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
答案 B
【例2】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
[一般解法]由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
故|yA－yB|＝eq \r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)
得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
答案 D
【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
[一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3，2eq \r(3))，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3).
法二 因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
答案 C
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
解析 由y＝4x2得x2＝eq \f(1,4)y，所以2p＝eq \f(1,4)，p＝eq \f(1,8)，则抛物线的焦点到准线的距离为eq \f(1,8).
答案 D
2.(2019·抚顺模拟)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( )
A.eq \f(3,2) B.2 C.eq \f(5,2) D.3
解析 ∵点F是抛物线y2＝2x的焦点，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,2)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)＝4，
∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为eq \f(3,2).
答案 A
3.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，在Rt△AEF中，cs∠EAF＝eq \f(|AE|,|AF|)＝eq \f(1,2)，又0＜∠EAF＜π，∴∠EAF＝eq \f(π,3)，即直线FA的倾斜角为eq \f(π,3)，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为eq \f(2π,3).
答案 C
4.(2019·德州调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))
消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my2＋\f(p,2)))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
答案 C
5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由题意知eq \f(p,2)＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，
则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
答案 B
二、填空题
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝eq \r(6)，故水面宽为2eq \r(6)米.
答案 2eq \r(6)
7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则线段PF的长为________.
解析 由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，因为直线AF的斜率为－eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
当x＝－eq \f(3,2)时，y＝3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq \r(3)，
可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6.
答案 6
8.已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
解析 因为双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案 x2＝16y
三、解答题
9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值.
解 (1)抛物线y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
所以直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4)，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即eq \f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0，
可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2).
所以A(1，－2eq \r(2))，B(4，4eq \r(2)).
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4，4eq \r(2))＝(1＋4λ，－2eq \r(2)＋4eq \r(2)λ).
因为C为抛物线上一点，所以(－2eq \r(2)＋4eq \r(2)λ)2＝8(1＋4λ)，
整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),4)，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,4)，得y′＝eq \f(x,2).
设M(x3，y3)，由题设知eq \f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2eq \r(m＋1).
从而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝4eq \r(2（m＋1）).
由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq \r(2（m＋1）)＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
解析 设|AF|＝m，|BF|＝n，
∵|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，
∴eq \f(2\r(3),3)|AB|≥2eq \r(mn)，∴mn≤eq \f(1,3)|AB|2，
在△AFB中，由余弦定理得
cs ∠AFB＝eq \f(m2＋n2－|AB|2,2mn)＝eq \f(（m＋n）2－2mn－|AB|2,2mn)＝eq \f(\f(1,3)|AB|2－2mn,2mn)≥－eq \f(1,2)，
∴∠AFB的最大值为eq \f(2π,3).
答案 D
12.(2019·武汉模拟)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y1,x1)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y2,x2)，0))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，0))，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝2（－1＋y1），,2x2＝2（－1＋y2），))
所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，
则eq \f(S△PEF,SOAB)＝eq \f(\f(1,2)×1×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)－\f(x2,2))),\f(1,2)×1×|x1－x2|)＝eq \f(1,2).
答案 C
13.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即eq \f(6,\r(5))＝eq \f(6\r(5),5)，即m＋n的最小值为eq \f(6\r(5),5)－1.
答案 eq \f(6\r(5),5)－1
14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
解 (1)因为点A在C上，|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2)，所以点A的纵坐标为eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)，所以p＝2，
所以C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0S△OPQ＝eq \f(1,2)b|x1－x2|＝eq \f(1,2)beq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \f(1,2)beq \r(16k2＋16b)＝beq \r(2＋2b)＝eq \r(2)·eq \r(b3＋b2)(0设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.
新高考创新预测
15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若eq \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，则p的值等于( )
A.eq \f(1,4) B.2 C.4 D.8
解析 过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为点M′，则易得|MM′|＝|MF|，所以cs∠NMM′＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(|MF|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，则kAM＝－tan∠NMM′＝－eq \r(\f(1－cs2∠NMM′,cs2∠NMM′))＝－2，则直线AM的方程为y－2＝－2x，令y＝0得抛物线的焦点坐标F(1，0)，则p＝2×1＝2，故选B.
答案 B图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
[微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝eq \f(1,a)y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a)))，准线方程是y＝－eq \f(1,4a).
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.
答案 y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2eq \r(6).故满足条件的点的个数为2.
答案 2
4.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为( )
A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.
答案 B
5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
答案 B
6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋xeq \\al(2,1)－y2－xeq \\al(2,2)＝( )
A.4 B.6 C.8 D.10
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B.eq \f(13,5) C.eq \f(14,5) D.3
解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋eq \f(1,2)，|BF|＝y2＋eq \f(1,2)，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知xeq \\al(2,1)＝2y1，xeq \\al(2,2)＝2y2，∴xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋xeq \\al(2,1)－y2－xeq \\al(2,2)＝(y1－y2)＋(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＝2＋4＝6.
(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即eq \f(|3＋7|,\r(32＋42))＝2.
答案 (1)B (2)A
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y0|＋eq \f(p,2).
【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝eq \f(1,2)|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案 (1)y2＝4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)时，△AMF的面积为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为( )
A.y2＝eq \f(8,5)x B.y2＝eq \f(16,5)x
C.y2＝eq \f(32,5)x D.y2＝eq \f(64,5)x
解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)＝eq \f(|MA|,|MP|)＝eq \f(1,cs ∠AMP)，
则cs ∠AMP＝eq \f(\r(2),2)，又0°<∠MAP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，eq \r(4m))，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝eq \r(4m)，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为eq \f(1,2)×2×2＝2.
(2)由题意，知直线AB必过原点，
则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，
圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝eq \f(|－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得k＝2，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋（y－2）2＝4))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))代入抛物线方程，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)＝2p·eq \f(8,5)，解得p＝eq \f(16,5)，
所以抛物线C2的方程为y2＝eq \f(32,5)x.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)(2019·济宁调研)已知点A(3，0)，过抛物线y2＝4x上一点P的直线与直线x＝－1垂直相交于点B，若|PB|＝|PA|，则P的横坐标为( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.2 D.eq \f(5,2)
解析 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为eq \r(3)，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故eq \f(p,|AA1|)＝eq \f(|CF|,|AC|)＝eq \f(1,2)，即p＝eq \f(3,2)，从而抛物线的方程为y2＝3x.
(2)由抛物线定义知：|PB|＝|PF|，又|PB|＝|PA|，所以|PA|＝|PF|，所以xP＝eq \f(xA＋xF,2)＝2(△PFA为等腰三角形).
答案 (1)y2＝3x (2)C
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，
则A，B处的切线斜率乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)＝－1，
则有p＝2.
(2)设切线AN为y＝eq \f(x1,p)x＋b，
又切点A在抛物线y＝eq \f(x2,2p)上，
∴y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，∴b＝eq \f(xeq \\al(2,1),2p)－eq \f(xeq \\al(2,1),p)＝－eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，
切线AN的方程为yAN＝eq \f(x1,p)x－eq \f(xeq \\al(2,1),2p)，
同理切线BN的方程为yBN＝eq \f(x2,p)x－eq \f(xeq \\al(2,2),2p).
又∵N在yAN和yBN上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,p)x－\f(xeq \\al(2,1),2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(xeq \\al(2,2),2p)，))解得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p))).
∴N(pk，－1).
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(p（pk2＋2）3)≥2eq \r(2p)，
∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－eq \f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝k（x－1），))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2).
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq \f(4,k2)≥8＋2eq \r(16)＝16.
当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号.
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
答案 A
[思维升华]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)；|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若F为抛物线焦点，则有eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
[易错防范]
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).
【例1】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B.eq \f(9,2) C.5 D.6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2).
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2).则sin2θ＝8cs2θ，∴sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
法二 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
答案 B
【例2】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
[一般解法]由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
故|yA－yB|＝eq \r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)
得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
答案 D
【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
[一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3，2eq \r(3))，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3).
法二 因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
答案 C
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
解析 由y＝4x2得x2＝eq \f(1,4)y，所以2p＝eq \f(1,4)，p＝eq \f(1,8)，则抛物线的焦点到准线的距离为eq \f(1,8).
答案 D
2.(2019·抚顺模拟)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( )
A.eq \f(3,2) B.2 C.eq \f(5,2) D.3
解析 ∵点F是抛物线y2＝2x的焦点，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,2)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)＝4，
∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为eq \f(3,2).
答案 A
3.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，在Rt△AEF中，cs∠EAF＝eq \f(|AE|,|AF|)＝eq \f(1,2)，又0＜∠EAF＜π，∴∠EAF＝eq \f(π,3)，即直线FA的倾斜角为eq \f(π,3)，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为eq \f(2π,3).
答案 C
4.(2019·德州调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))
消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my2＋\f(p,2)))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
答案 C
5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由题意知eq \f(p,2)＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，
则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
答案 B
二、填空题
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝eq \r(6)，故水面宽为2eq \r(6)米.
答案 2eq \r(6)
7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则线段PF的长为________.
解析 由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，因为直线AF的斜率为－eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
当x＝－eq \f(3,2)时，y＝3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq \r(3)，
可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6.
答案 6
8.已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
解析 因为双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案 x2＝16y
三、解答题
9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值.
解 (1)抛物线y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
所以直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4)，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即eq \f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0，
可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2).
所以A(1，－2eq \r(2))，B(4，4eq \r(2)).
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4，4eq \r(2))＝(1＋4λ，－2eq \r(2)＋4eq \r(2)λ).
因为C为抛物线上一点，所以(－2eq \r(2)＋4eq \r(2)λ)2＝8(1＋4λ)，
整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),4)，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,4)，得y′＝eq \f(x,2).
设M(x3，y3)，由题设知eq \f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2eq \r(m＋1).
从而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝4eq \r(2（m＋1）).
由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq \r(2（m＋1）)＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
解析 设|AF|＝m，|BF|＝n，
∵|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，
∴eq \f(2\r(3),3)|AB|≥2eq \r(mn)，∴mn≤eq \f(1,3)|AB|2，
在△AFB中，由余弦定理得
cs ∠AFB＝eq \f(m2＋n2－|AB|2,2mn)＝eq \f(（m＋n）2－2mn－|AB|2,2mn)＝eq \f(\f(1,3)|AB|2－2mn,2mn)≥－eq \f(1,2)，
∴∠AFB的最大值为eq \f(2π,3).
答案 D
12.(2019·武汉模拟)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y1,x1)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y2,x2)，0))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，0))，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝2（－1＋y1），,2x2＝2（－1＋y2），))
所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，
则eq \f(S△PEF,SOAB)＝eq \f(\f(1,2)×1×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)－\f(x2,2))),\f(1,2)×1×|x1－x2|)＝eq \f(1,2).
答案 C
13.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即eq \f(6,\r(5))＝eq \f(6\r(5),5)，即m＋n的最小值为eq \f(6\r(5),5)－1.
答案 eq \f(6\r(5),5)－1
14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
解 (1)因为点A在C上，|AO|＝|AF|＝eq \f(3,2)，所以点A的纵坐标为eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)，所以p＝2，
所以C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0
＝eq \f(1,2)beq \r(16k2＋16b)＝beq \r(2＋2b)＝eq \r(2)·eq \r(b3＋b2)(0
新高考创新预测
15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若eq \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，则p的值等于( )
A.eq \f(1,4) B.2 C.4 D.8
解析 过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为点M′，则易得|MM′|＝|MF|，所以cs∠NMM′＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(|MF|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，则kAM＝－tan∠NMM′＝－eq \r(\f(1－cs2∠NMM′,cs2∠NMM′))＝－2，则直线AM的方程为y－2＝－2x，令y＝0得抛物线的焦点坐标F(1，0)，则p＝2×1＝2，故选B.
答案 B图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
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