高考数学一轮复习　第八章 第5节 第1课时

这是一份高考数学一轮复习　第八章 第5节 第1课时，共17页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，已知椭圆C，设F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。


知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
[微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)>1.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以e越大，则eq \f(b,a)越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
3.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，
又x＞0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
∴P点坐标为(eq \f(\r(15),2)，1)或(eq \f(\r(15),2)，－1).
答案 (eq \f(\r(15),2)，1)或(eq \f(\r(15),2)，－1)
4.(2018·张家口调研)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
解析 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案 C
6.(2018·武汉模拟)曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为eq \f(4,5).曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)).对照选项，知D正确.
答案 D
第1课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2018·德阳模拟)设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2eq \r(3) B.6 C.4eq \r(3) D.2
(2)(2018·衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
解析 (1)由椭圆的方程得a＝eq \r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq \r(3).
(2)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝eq \r(（6－3）2＋（4－0）2)＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案 (1)C (2)－5
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(82－42)＝eq \r(48)＝4eq \r(3)，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，))
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝1，,n＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
答案 (1)D (2)eq \f(x2,4)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
(2)(2018·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 (1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝eq \f(1,3)×2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
(2)由题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，由此求得yeq \\al(2,1)＝eq \f(b4,a2)，所以|AB|＝3＝eq \f(2b2,a)，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案 (1)B (2)C
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝eq \r(3)c，即点P(2c，eq \r(3)c).∵点P在过点A，且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，
∴eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，∴e＝eq \f(1,4).
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0∴0②当焦点在y轴上，依题意m>3，且eq \f(\r(m),\r(3))≥taneq \f(∠AMB,2)＝eq \r(3)，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(10),5)
解析 (1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以eq \f(1,2)×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)(当且仅当b＝c＝1时取等号).即长轴长2a的最小值为2eq \r(2).
(2)不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)，
与直线l的方程联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
解得a≥eq \r(5)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，
所以e的最大值为eq \f(\r(5),5).
答案 (1)D (2)A
[思维升华]
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
[易错防范]
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
答案 C
2.(2019·聊城模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
解析 由题意可得eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
答案 D
3.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(2) C.2 D.eq \f(\r(2),2)
解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（c－1）2＋1＝2，,1＋（b－1）2＝2，))解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|＝3，所以由S＝eq \f(1,2)Cr得内切圆半径r＝eq \f(2S,C)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).
答案 D
5.已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.eq \r(3)
解析 由椭圆的方程可知a＝2，c＝eq \r(2)，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2||PF2|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2).
答案 A
二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2eq \r(3))且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
解析 ∵c＝2eq \r(3)，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，
∴标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.
答案 eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
7.设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4eq \r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.
解析 ∵△F2AB是面积为4eq \r(3)的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝eq \f(b2,a).
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),3)×2c.①
又S△F2AB＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝4eq \r(3)，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1.
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
8.(2019·昆明诊断)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立，即m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A，∴eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F2A,\s\up6(→))＝0，
而eq \(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c，3)，eq \(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝eq \r(（－4＋5）2＋32)＋eq \r(（－4－5）2＋32)
＝eq \r(10)＋eq \r(90)＝4eq \r(10).
∴a＝2eq \r(10)，∴b2＝a2－c2＝(2eq \r(10))2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1.
10.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程.
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq \r(a2－b2)，设B(x，y).
由eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
将B点坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即a2＝3c2.①
又由eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
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11.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2)－1,2) C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2)
解析 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b).∵eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍).∴椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2).
答案 D
12.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(eq \f(\r(3)－1,2)，1) B.(eq \f(\r(3)－1,2)，eq \f(1,2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cs ∠PF1F2
＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cs ∠PF1F2，即|PF2|＝2eq \r(2)c·eq \r(1－cs∠PF1F2)，
所以a＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝c＋eq \r(2)c·eq \r(1－cs ∠PF1F2)，又60°<∠PF1F2<120°，
∴－eq \f(1,2)答案 B
13.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x1＝2x2，,1－y1＝2（y2－1），))即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4xeq \\al(2,2),4)＋（3－2y2）2＝m，,\f(xeq \\al(2,2),4)＋yeq \\al(2,2)＝m，))得y2＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4)，所以xeq \\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)＝－eq \f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
答案 5
14.(2019·石家庄月考)已知点M(eq \r(6)，eq \r(2))在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
解 (1)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝12，,b2＝4.))
故椭圆C的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(3,2)m，x1x2＝eq \f(3m2－12,4)，
由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0得m2<16，
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(3,4)m，y0＝x0＋m＝eq \f(1,4)m，
即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m，\f(1,4)m)).
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝eq \f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1，解得m＝2，满足m2<16.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝eq \r(2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝3eq \r(2)，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝eq \f(3,\r(2))，
所以△PAB的面积为S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,2).
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15.(多填题)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.
解析 设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1，0)关于直线y＝bx对称得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y,x－1)＝－\f(1,b)，,\f(y,2)＝b·\f(x＋1,2)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－b2,1＋b2)，,y＝\f(2b,1＋b2)，))代入椭圆C的方程得eq \f(（1－b2）2,a2（1＋b2）2)＋eq \f(4b2,b2（1＋b2）2)＝1，结合a2＝b2＋1解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝1，))则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，S△FOQ＝eq \f(1,2)|OF|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2b,1＋b2)))＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,1＋12)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2)标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2