高考数学一轮复习　第一章 第1节　集合

这是一份高考数学一轮复习　第一章 第1节　集合，共13页。试卷主要包含了集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析 (1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
(4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq \r(2 019)}，a＝2eq \r(2)，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析 因为a＝2eq \r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq \r(2 019)的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.
答案 D
3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.
解析 由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个).
答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A.{x|－1C.{x|x<－1}∪{x|x>2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析 法一 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.
法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.
答案 B
5.(2019·菏泽模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B.
解析 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以AB.
答案 
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A.M＝N B.M⊆N
C.M∩N＝ D.N⊆M
(2)若x∈A，则eq \f(1,x)∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是( )
A.1 B.3 C.7 D.31
解析 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.
(2)具有伙伴关系的元素组是－1，eq \f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2)).
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.
解析 (1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1所以1答案 (1)A (2)(1，2]
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A.AB B.BA
C.A⊆B D.B＝A
(2)(2019·杭州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1解析 (1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.
因此BA.
(2)A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.
当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠时，若B⊆A，如图.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))
解得2综上，m的取值范围为(－∞，4].
答案 (1)B (2)(－∞，4]
规律方法 1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【训练2】 (1)(2019·青岛质检)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)<1))))，则( )
A.MN B.NM
C.M＝N D.M∪N＝R
(2)若将本例(2)的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.
解析 (1)集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.
(2)A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.
当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠时，若B⊆A，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1<2m－1，,m＋1≥7))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1<2m－1，,2m－1≤－2.))
解之得m≥6.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).
答案 (1)C (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)
考点三 集合的运算 多维探究
角度1 集合的基本运算
【例3－1】 (1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A.A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2))))) B.A∩B＝
C.A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2))))) D.A∪B＝R
(2)(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0A.{x|0C.{x|1≤x<2} D.{x|0解析 (1)因为B＝{x|3－2x>0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))，A∪B＝{x|x<2}.
(2)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|0答案 (1)A (2)B
角度2 抽象集合的运算
【例3－2】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝”；反过来，若“A∩B＝”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.
答案 C
角度3 集合的新定义问题
【例3－3】 若集合A具有以下性质：
(ⅰ)0∈A，1∈A；
(ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq \f(1,x)∈A.
则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
其中，正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾；②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，eq \f(1,x)∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
答案 C
规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
【训练3】 (1)(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
(2)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤xA.0 B.1 C.2 D.1或2
解析 (1)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}.
(2)易知A＝[0，1]，因为A∩B只有一个元素，所以a－1＝1，解得a＝2.
答案 (1)D (2)C
[思维升华]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}
解析 由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.
答案 C
2.(2019·滨州模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 因为A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，
又M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，
∴M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素.
答案 B
3.(2019·日照质检)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )
A. B.{1} C.{0，2} D.{1，4}
解析 因为全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，所以∁UA＝{1，4}，∁UB＝{0，1}，因此(∁UA)∩(∁UB)＝{1}.
答案 B
4.设集合A＝{x|－1A.(∁RA)∩B＝{x|x<－1}
B.A∩B＝{x|－1C.A∪(∁RB)＝{x|x≥0}
D.A∪B＝{x|x<0}
解析 易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2}，∁RB＝{x|x≥0}，
∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.
A∩B＝{x|－1答案 B
5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为4.
答案 D
6.已知集合M＝{x|y＝eq \r(x－1)}，N＝{x|y＝lg2(2－x)}，则∁R (M∩N)＝( )
A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞)
C.[0，1] D.(－∞，0)∪[2，＋∞)
解析 由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴∁R (M∩N)＝{x|x<1或x≥2}.
答案 B
7.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M⊆(A∩B)，知M＝或M＝{(2，－1)}.
答案 C
8.(一题多解)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为( )
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析 法一 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0法二 A＝{x|y＝lg(x－x2)＝{x|x－x2>0}＝{x|0答案 B
二、填空题
9.设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T＝________.
解析 易知S＝{x|x≤2或x≥3}，
∴∁R S＝{x|2因此(∁R S)∩T＝{x|2答案 {x|210.(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.
解析 由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.
答案 1
11.(2019·济南质检)已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.
解析 ∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，
∴B＝{3，7，9，15}，∴A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，
∴集合A∪B中元素的个数为6.
答案 6
12.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.
解析 由题意知，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}＝{x|x(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.
答案 {x|－1≤x＜0}
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝1＋\f(4,x＋1)，))x∈A ))，则A∩(∁R B)等于( )
A.(0，2] B.(2，3) C.(3，5) D.(－2，－1)
解析 由3x－x2>0，得0∴B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝1＋\f(4,x＋1)，x∈A))))＝(2，5)，
则∁R B＝(－∞，2]∪[5，＋∞)，故A∩(∁R B)＝(0，2].
答案 A
14.已知集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]
C.[－2，1] D.[2，＋∞)
解析 集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，又B≠，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.
答案 C
15.已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝x))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))即A∩B＝{(0，0)，(4，4)}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.
答案 3
16.
集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.
解析 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}.
答案 [1，2)
新高考创新预测
17.(多填题，答案不唯一型)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________.
解析 显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,c＝1，,d＝4，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝1，,d＝4.))若③正确，此时eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝2，,d＝4，))若④正确此时有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝4，,d＝3，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝4，,d＝2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，,c＝3，,d＝2.))所以符合条件的数组共6个.
答案 (3，2，1，4)(填一个正确的即可) 6集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}