高考数学一轮复习第二章 2.4

这是一份高考数学一轮复习第二章 2.4，共16页。试卷主要包含了幂函数，函数y＝2x2是幂函数吗？等内容，欢迎下载使用。


1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2.二次函数的图象和性质
概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．
提示 a>0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示 不是．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( × )
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.( √ )
题组二 教材改编
2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α.))
∴k＝1，α＝eq \f(1,2).∴k＋α＝eq \f(3,2).
3．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案 D
解析 函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f (x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________．
答案 6 2
解析 f (x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，
∴x＝1时，f (x)min＝2，x＝3时，f (x)max＝6.
题组三 易错自纠
5．幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f (x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6．设二次函数f (x)＝x2－x＋a(a>0)，若f (m)<0，则f (m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案 >
解析 f (x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f (m－1)>0.
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.
答案 > < <
解析 ∵a<0，－eq \f(b,2a)>0，c>0，∴b>0，ac<0.
设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c，
则a－b＋c＝f (－1)<0.
幂函数的图象和性质
1．(2019·武汉模拟)若幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案 D
解析 设f (x)＝xα，则2α＝eq \f(1,4)，α＝－2，即f (x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2.幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为( )
A．3 B．0
C．1 D．2
答案 C
解析 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f (x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f (x)＝x－4为偶函数．∴m＝1.
3．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f (x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．若，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
解析 不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________．
答案 f (x)＝x2－2x＋3
解析 由f (0)＝3，得c＝3，
又f (1＋x)＝f (1－x)，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴eq \f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3.
(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1.
思维升华 求二次函数解析式的方法
跟踪训练1 (1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f (x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f (x)＝ax2＋2ax，由eq \f(4a×0－4a2,4a)＝－1，
得a＝1，所以f (x)＝x2＋2x.
(2)二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 方法一 (利用一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2).
又根据题意函数有最大值8，
所以f (x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8.
因为f (2)＝－1，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.
二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例2 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－eq \f(b,2a)＝－1，即2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.
命题点2 二次函数的单调性
例3 (1)函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f (x)必为二次函数且a<0，
又eq \f(3－a,2a)＝－1，∴a＝－3.
(2)二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f (1)，则f (eq \r(2))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f (eq \r(3))的大小关系是( )
A．f (eq \r(2))B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))C．f (eq \r(3))D．f (eq \r(2))答案 D
解析 由已知可得二次函数f (x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－1))>|eq \r(3)－1|>|eq \r(2)－1|，
∴f (eq \r(2))命题点3 二次函数的值域、最值
例4 (2019·福州模拟)已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f (x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f (x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；
(3)当a<0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或－3.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f (x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f (0)＝c<0，所以排除B，故选D.
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
答案 A
解析 二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为x＝eq \f(2,k)，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需eq \f(2,k)≤1，解得k≥2，当k<0时，eq \f(2,k)<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
(3)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值．
解 f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1；
当t<1当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当t≤0时，f (x)min＝t2＋1，当0例 (1)已知a是实数，函数f (x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值eq \f(1,2)，所以a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
(2)函数f (x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f (x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以eq \f(1,a)≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，
显然g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上单调递增，
所以f (x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1所以a的最大值为2.
(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f (x)满足：当x≥0时，f (x)＝x3，若不等式f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－eq \r(2))
解析 由题意知f (x)在R上是增函数，结合f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－eq \r(2))．
素养提升 逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯．
1．(2019·济南质检)若f (x)是幂函数，且满足eq \f(f 4,f 2)＝3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 C
解析 设f (x)＝xα，则eq \f(4α,2α)＝2α＝3，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(1,3).
2．函数的图象是( )
答案 B
解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,2)))，可排除C，故选B.
3．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,20))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,20)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,20)，0))
答案 C
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1－20a<0，))得a>eq \f(1,20).
6．(2020·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))恒有y≥0成立，则a的最小值是( )
A．0 B．2 C．－eq \f(5,2) D．－3
答案 C
解析 设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，则g(x)≥0在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立，即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立．又h(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为单调递增函数，当x＝eq \f(1,2)时，h(x)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，所以a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))即可，解得a≥－eq \f(5,2).
7．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
答案 ABD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，
所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.
8．(多选)已知函数f (x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)，现有如下说法，其中正确的是( )
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0
C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n
D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n
答案 AD
解析 任取x1≠x2，则m＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq \f(2x1－2x2,x1－x2)＝2＞0，A正确；
由二次函数的单调性可得g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(g0－ga,0－a)＝eq \f(0－0,0－a)＝0，B错误；
m＝2，n＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝eq \f(x\\al(2,1)－ax1－x\\al(2,2)＋ax2,x1－x2)
＝eq \f(x1－x2x1＋x2－a,x1－x2)
＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；
m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，
只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．
9．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.
答案 9或25
解析 y＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m－1,16)))2＋m－7－8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,16)))2，
∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,16)))2＝0，
∴m＝9或25.
10．已知函数f (x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f m＝m2＋m2－1<0，,f m＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))
解得－eq \f(\r(2),2)11．(2019·广州质检)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过点(－2,1)，且方程f (x)＝0有且只有一个根，求f (x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[3,5]时，g(x)＝f (x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解 (1)因为f (－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，
所以b＝2a.
因为方程f (x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f (x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f (x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(k－2,2)))2＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k－2,2)))2.
由g(x)的图象知，要满足题意，
则eq \f(k－2,2)≥5或eq \f(k－2,2)≤3，即k≥12或k≤8，
所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)．
12．已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f (x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f (x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f (x)max＝f (3)＝15，
∴f (x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，f (x)max＝f (3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)，满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，即a<－eq \f(1,2)时，
f (x)max＝f (－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或－1.
13．(多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最大值为eq \f(1,4)
B．f (x)在(－1,0)上是增函数
C．f (x)＞0的解集为(－1,1)
D．f (x)＋2x≥0的解集为[0,3]
答案 AD
解析 ∵x≥0时，f (x)＝x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
∴f (x)的最大值为eq \f(1,4)，A正确；
f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，B错误；
f (x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；
x≥0时，f (x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，
x＜0时，f (x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．
14．如果函数f (x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝________.
答案 1
解析 因为函数f (x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a，f (2)＝4－3a，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a>4－3a，,－a＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≤4－3a，,4－3a＝1，))解得a＝1.
15．(2020·石家庄模拟)若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
答案 [－2,0]
解析 当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则eq \f(m,2)≤0，即m≤0；
当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－eq \f(m,2)≤1，即m≥－2.
综上，实数m的取值范围是[－2,0]．
16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f (x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解 f (x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a<－1时，f (x)在[－1,1]上为增函数，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f －1＝－2，,f 1＝2，))得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f a＝－2，,f 1＝2，))得a＝－1；
当0综上可得，存在实数a满足条件，且a＝－1.函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)对称