高考数学一轮复习第二章 强化训练

这是一份高考数学一轮复习第二章 强化训练，共6页。试卷主要包含了函数f ＝x＋eq \f是，给出下列函数等内容，欢迎下载使用。

强化训练　函数的性质

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　)
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝2x＋2－x D．f (x)＝－cos x
答案　B
解析　函数f (x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
2．函数f (x)＝x＋(x≠0)是(　　)
A．奇函数，且在(0,3)上是增函数
B．奇函数，且在(0,3)上是减函数
C．偶函数，且在(0,3)上是增函数
D．偶函数，且在(0,3)上是减函数
答案　B
解析　因为f (－x)＝－x＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，
所以f (x)在(0,3)上是减函数．
3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案　A
解析　由f (x)是偶函数可得b＝0，
∴g(x)＝2ax3＋9x，
∴g(x)是奇函数．
4．(2019·湖北武汉重点中学联考)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　C
解析　由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x－1)≥f (1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.
5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是(　　)
A．f (2 019) B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021)
C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)
D．f (2 020) 答案　A
解析　因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2 019) 6．(2019·北京大兴区模拟)给出下列函数：
①f (x)＝sin x；②f (x)＝tan x；③f (x)＝④f (x)＝则它们共同具有的性质是(　　)
A．周期性 B．偶函数
C．奇函数 D．无最大值
答案　C
解析　f (x)＝sin x为奇函数，周期为2π且有最大值；
f (x)＝tan x为奇函数且周期为π，但无最大值；
作出f (x)＝的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；
作出f (x)＝的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．
所以这些函数共同具有的性质是奇函数．
7．(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是(　　 )
A．f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b)
B．f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a)
D．f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a)
答案　AC
解析　函数f (x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，
由a＞b＞0，得f (a)＜f (b)＜0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)；
对于A，f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＜0 (因为f (a)＝g(a)在a＞0上成立)，所以A正确；
对于B，f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＞0，这与f (b)＜0矛盾，所以B错误；
对于C，f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＜0，这与f (a)＜f (b)符合，所以C正确；
对于D，f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＞0，这与f (a)＜f (b)矛盾，所以D错误．
8．(多选)(2020·济南模拟)函数f (x)的定义域为R，且f (x＋1)与f (x＋2)都为奇函数，则(　　)
A．f (x)为奇函数 B. f (x)为周期函数
C．f (x＋3)为奇函数 D. f (x＋4)为偶函数
答案　ABC
解析　由f (x＋1)与f (x＋2)都为奇函数知函数f (x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，
所以f (x)＋f (2－x)＝0，f (x)＋f (4－x)＝0，
所以f (2－x)＝f (4－x)，即f (x)＝f (x＋2)，
所以f (x)是以2为周期的函数．
所以函数f (x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0), (0,0)对称．
9．(2019·衡水中学调研)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝－f ，且f (3)＝3，则f (2 022)＝________.
答案　3
解析　∵f (x)＝－f ，
∴f (x＋3)＝f ＝－f ＝f (x)．
∴f (x)是以3为周期的周期函数．
则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.
10．已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f (x)＝|x－3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________.
答案　0
解析　因为f (x)为奇函数，f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x＋1)＝f (－x＋1)中，令x＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.
11．已知函数f (x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；
(2)f (2 021)＋f (－2 022)的值．
解　(1)f (0)＝log21＝0，
f (2)＝－f (0)＝0，
f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log2(1＋1)＝－1.
(2)依题意得，当x≥0时，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
即当x≥0时，f (x)是以4为周期的函数．
因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．
而f (2)＝0，f (1)＝log2(1＋1)＝1，
故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.
12．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值．
解　因为g(x)－h(x)＝2x，①
所以g(－x)－h(－x)＝2－x.
又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，②
联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.
由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤＝＝1－.
因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1,1]时，max＝1－＝，所以m≤，即实数m的最大值为.

13．(2020·福州模拟)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)
A．0 B．m C．2m D．4m
答案　B
解析　因为f (x)＋f (－x)＝2，y＝＝1＋.所以函数y＝f (x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝×2＝m，故选B.
14．已知函数f (x)＝ 则f (2 019)＝________.
答案　1 010
解析　当x>0时，f (x)＝f (x－2)＋1，
则f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝…
＝f (1)＋1 009＝f (－1)＋1 010,
而f (－1)＝0，故f (2 019)＝1 010.

15．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案　－8
解析　因为定义在R上的奇函数满足f (x－4)＝－f (x)，所以f (x－4)＝f (－x)．由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f (0)＝0.由f (x－4)＝－f (x)知f (x－8)＝f (x)，所以函数的周期为8.又因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x)的大致图象如图所示，那么方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1
16．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (x－1)<2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解　(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.
(2)f (x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
所以f (－1)＝f (1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f (－x)＝f (－1)＋f (x)，
所以f (－x)＝f (x)，
又f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)为偶函数．
(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以f (x－1)<2，等价于f (|x－1|) 又f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以0<|x－1|<16，解得－15 所以x的取值范围是{x|－15