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高考数学一轮复习第五章 检测五
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这是一份高考数学一轮复习第五章 检测五，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2020·葫芦岛六校协作体月考)若eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．(2,2) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2)
答案 C
解析 由向量的加法、减法运算可得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,2)．
2．(2020·衡阳质检)复数eq \f(2＋i,1－2i)等于( )
A．i B．－i C.eq \f(4,5)＋i D.eq \f(4,5)－i
答案 A
解析 eq \f(2＋i,1－2i)＝eq \f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(2－2＋i＋4i,5)＝i.
3．(2020·益阳、湘潭质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(2，sin α－1)，c＝(－2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 a＋b＝(4，sin α)，
由(a＋b)∥c可得4cs α＝－2sin α，
即tan α＝－2，故选D.
4．已知i为虚数单位，若eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则ab等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．2
答案 C
解析 eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,2)，若eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)，所以ab＝＝eq \f(\r(2),2).
5．(2020·深圳模拟)在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝3，且eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．5 B．6 C．7 D．10
答案 D
解析 如图所示，
以A为原点建立坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∵ eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴DP＝1，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)×4＋eq \f(3\r(3),2)×0＝10.
6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(\r(5),5)
答案 B
解析 由|a＋b|＝|a－b|两边同时平方，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，
则|ta＋(1－t)b|2＝t2a2＋(1－t)2b2＋2t(1－t)a·b＝t2＋(1－t)2×4＝5t2－8t＋4＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(4,5)))2＋eq \f(4,5)，故当t＝eq \f(4,5)时，|ta＋(1－t)b|eq \\al(2,min)＝eq \f(4,5)，即|ta＋(1－t)b|min＝eq \f(2\r(5),5)，故选B.
7．已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8) ，现有如下四个结论：①eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))；②四边形ABCD为平行四边形；③eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(7\r(29),145)；④|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(85).其中正确的结论为( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
答案 B
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(7,1)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))≠0，
故①错；
则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(85)，故④正确；
eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(2，－3)，
故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，且A，B，C，D四点不共线，
则四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
eq \(AC,\s\up6(→))＝(7,1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(3,7)，
则cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(14\r(29),145)，故③错．
8．(2020·湛江联考)已知点A，B，C在以原点O为圆心的单位圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 由题意，AC为直径，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|≤4＋|eq \(PB,\s\up6(→))|≤4＋3＝7，当且仅当点B为(－1，0)时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|取得最大值7.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝eq \r(2)
B.eq \x\t(z)＝1－i
C．z的虚部为i
D．z在复平面内对应的点在第一象限
答案 ABD
解析 复数z＝1＋i，则|z|＝eq \r(2).故A正确；eq \x\t(z)＝1－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．故选ABD.
10．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝eq \f(1,2)，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( )
A．－2 B．3－eq \r(3) C．0 D．－eq \r(2)
答案 ACD
解析 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，
则cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，〈a，b〉＝60°，
所以|b－a|＝eq \r(b2－2a·b＋a2)＝1，
则(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋c·(b－a)＝－1＋cs α，
其中α为c与b－a的夹角，且α∈[0，π]，
因为cs α∈[－1,1]，所以cs α－1∈[－2,0]．
故选ACD.
11．已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，则下列式子正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2eq \r(3)
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
答案 ABD
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋b，则|2a＋b|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，A正确；a·(a＋b)＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，C错误；a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4，则|b|＝2eq \r(3)，B正确．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
答案 ACD
解析 对于A，若a与b共线，则有mq－np＝0，
又a⊙b＝mq－np，所以a⊙b＝0，故A正确；
对于B，因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝pn－qm，
所以有a⊙b≠b⊙a，故B错误；
对于C，(λa)⊙b＝λqm－λpn，
而λ(a⊙b)＝λ(qm－pn)＝λqm－λpn，故C正确；
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝(qm－pn)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，D正确．
故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．复数z＝eq \f(2,1＋i)(i是虚数单位)，则|z|＝________，其共轭复数eq \x\t(z)＝________.(本题第一空3分，第二空2分)
答案 eq \r(2) 1＋i
解析 z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，
则|z|＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，
其共轭复数eq \x\t(z)＝1＋i.
14．(2020·唐山联考)已如向量a＝(1,1)，b＝(2，t) ，若|a－b|＝a·b，则t＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 a－b＝(－1,1－t)，a·b＝2＋t，|a－b|＝eq \r(1＋1－t2)，
由|a－b|＝a·b可得eq \r(1＋1－t2)＝2＋t，
解得t＝－eq \f(1,3).
15．(2020·天府名校联考)如图，在▱OACB中E，F分别为AC和BC上的点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OE,\s\up6(→))＋neq \(OF,\s\up6(→))，其中m，n∈R，则m＋n的值为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 因为eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OE,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OF,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OE,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OF,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))，
所以m＝n＝eq \f(2,3)，
故m＋n＝eq \f(4,3).
16．已知向量a，b，c，其中|a－b|＝2，|a－c|＝1，b与c夹角为60°，且(a－b)·(a－c)＝－1.则|a|的最大值为________．
答案 eq \f(2\r(21),3)
解析 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝1，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝－1，
所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))〉＝eq \f(B\(A,\s\up6(→))·\(CA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(CA,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,2)，
即eq \(BA,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))的夹角为120°，
而eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为60°，
所以O，A，B，C四点共圆，
于是|a|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|为圆的直径时最大，
由余弦定理，得BC＝eq \r(22＋12－2×2×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(7)，
由正弦定理，得2r＝eq \f(BC,sin 120°)＝eq \f(2\r(7),\r(3))＝eq \f(2\r(21),3).
则|a|的最大值为eq \f(2\r(21),3).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算：(1)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；
(2)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2).
解 (1)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)
＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)
＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i2－i,5)
＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.
(2)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2)
＝eq \f(1－i,2i)＋eq \f(1＋i,－2i)
＝eq \f(1＋i,－2)＋eq \f(－1＋i,2)＝－1.
18．(12分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．
解 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，
(1)∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3.))
∴点C的坐标为(5，－3)．
19．(12分)若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋eq \f(5,z)是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解 这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋eq \f(5,z)＝a＋bi＋eq \f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq \f(5a－bi,a2＋b2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.
∵z＋eq \f(5,z)是实数，
∴b－eq \f(5b,a2＋b2)＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1.))
故存在虚数z，且z＝－1－2i或z＝－2－i.
20．(12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→)).
(1)若eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))，求x，y的值；
(2)若eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PA,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°时，求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的值．
解 (1)∵eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))，∴eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
即2eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2).
(2)∵eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PA,\s\up6(→))，
∴eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＝3eq \(PO,\s\up6(→))＋3eq \(OA,\s\up6(→))，
即4eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(OB,\s\up6(→))))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)×22－eq \f(3,4)×42＋eq \f(1,2)×4×2×eq \f(1,2)＝－9.
21．(12分)已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2.
(1)求点D的坐标；
(2)当m为何值时，eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))垂直．
解 (1)设C(x，y)，D(a，b)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)．
∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，
∴eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(22＋22)\r(x＋12＋y－22))＝eq \f(\r(2),2)，
即(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①
又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，即x＋y＝2.②
联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
又点C在第二象限，∴C(－1,3)．
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，
解得a＝－3，b＝1.∴D(－3,1)．
(2)由(1)可知eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,1)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))＝(2m,2m＋1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1)．
∵eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))垂直，
∴(eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－4m－(2m＋1)＝0，
解得m＝－eq \f(1,6).
22．(12分)如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线分别交AB，AC所在直线于点E，F，且满足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并说明理由．
解 (1)根据角平分线定理可得eq \f(DB,DC)＝eq \f(AB,AC)＝2，
所以eq \f(BD,BC)＝eq \f(2,3)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \f(4,9)－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(4,9)，
所以AD＝eq \f(2,3).
(2)因为eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3x)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3y)eq \(AF,\s\up6(→))，
因为E，D，F三点共线，
所以eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3y)＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2020·葫芦岛六校协作体月考)若eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．(2,2) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2)
答案 C
解析 由向量的加法、减法运算可得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,2)．
2．(2020·衡阳质检)复数eq \f(2＋i,1－2i)等于( )
A．i B．－i C.eq \f(4,5)＋i D.eq \f(4,5)－i
答案 A
解析 eq \f(2＋i,1－2i)＝eq \f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(2－2＋i＋4i,5)＝i.
3．(2020·益阳、湘潭质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(2，sin α－1)，c＝(－2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 a＋b＝(4，sin α)，
由(a＋b)∥c可得4cs α＝－2sin α，
即tan α＝－2，故选D.
4．已知i为虚数单位，若eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则ab等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．2
答案 C
解析 eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,2)，若eq \f(1,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)，所以ab＝＝eq \f(\r(2),2).
5．(2020·深圳模拟)在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝3，且eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．5 B．6 C．7 D．10
答案 D
解析 如图所示，
以A为原点建立坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∵ eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴DP＝1，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)×4＋eq \f(3\r(3),2)×0＝10.
6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(\r(5),5)
答案 B
解析 由|a＋b|＝|a－b|两边同时平方，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，
则|ta＋(1－t)b|2＝t2a2＋(1－t)2b2＋2t(1－t)a·b＝t2＋(1－t)2×4＝5t2－8t＋4＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(4,5)))2＋eq \f(4,5)，故当t＝eq \f(4,5)时，|ta＋(1－t)b|eq \\al(2,min)＝eq \f(4,5)，即|ta＋(1－t)b|min＝eq \f(2\r(5),5)，故选B.
7．已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8) ，现有如下四个结论：①eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))；②四边形ABCD为平行四边形；③eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(7\r(29),145)；④|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(85).其中正确的结论为( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
答案 B
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(7,1)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))≠0，
故①错；
则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(85)，故④正确；
eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(2，－3)，
故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，且A，B，C，D四点不共线，
则四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
eq \(AC,\s\up6(→))＝(7,1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(3,7)，
则cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(14\r(29),145)，故③错．
8．(2020·湛江联考)已知点A，B，C在以原点O为圆心的单位圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 由题意，AC为直径，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|≤4＋|eq \(PB,\s\up6(→))|≤4＋3＝7，当且仅当点B为(－1，0)时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|取得最大值7.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝eq \r(2)
B.eq \x\t(z)＝1－i
C．z的虚部为i
D．z在复平面内对应的点在第一象限
答案 ABD
解析 复数z＝1＋i，则|z|＝eq \r(2).故A正确；eq \x\t(z)＝1－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．故选ABD.
10．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝eq \f(1,2)，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( )
A．－2 B．3－eq \r(3) C．0 D．－eq \r(2)
答案 ACD
解析 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，
则cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，〈a，b〉＝60°，
所以|b－a|＝eq \r(b2－2a·b＋a2)＝1，
则(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋c·(b－a)＝－1＋cs α，
其中α为c与b－a的夹角，且α∈[0，π]，
因为cs α∈[－1,1]，所以cs α－1∈[－2,0]．
故选ACD.
11．已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，则下列式子正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2eq \r(3)
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
答案 ABD
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋b，则|2a＋b|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，A正确；a·(a＋b)＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，C错误；a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4，则|b|＝2eq \r(3)，B正确．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
答案 ACD
解析 对于A，若a与b共线，则有mq－np＝0，
又a⊙b＝mq－np，所以a⊙b＝0，故A正确；
对于B，因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝pn－qm，
所以有a⊙b≠b⊙a，故B错误；
对于C，(λa)⊙b＝λqm－λpn，
而λ(a⊙b)＝λ(qm－pn)＝λqm－λpn，故C正确；
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝(qm－pn)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，D正确．
故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．复数z＝eq \f(2,1＋i)(i是虚数单位)，则|z|＝________，其共轭复数eq \x\t(z)＝________.(本题第一空3分，第二空2分)
答案 eq \r(2) 1＋i
解析 z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，
则|z|＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，
其共轭复数eq \x\t(z)＝1＋i.
14．(2020·唐山联考)已如向量a＝(1,1)，b＝(2，t) ，若|a－b|＝a·b，则t＝________.
答案 －eq \f(1,3)
解析 a－b＝(－1,1－t)，a·b＝2＋t，|a－b|＝eq \r(1＋1－t2)，
由|a－b|＝a·b可得eq \r(1＋1－t2)＝2＋t，
解得t＝－eq \f(1,3).
15．(2020·天府名校联考)如图，在▱OACB中E，F分别为AC和BC上的点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OE,\s\up6(→))＋neq \(OF,\s\up6(→))，其中m，n∈R，则m＋n的值为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 因为eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OE,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OF,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OE,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OF,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))，
所以m＝n＝eq \f(2,3)，
故m＋n＝eq \f(4,3).
16．已知向量a，b，c，其中|a－b|＝2，|a－c|＝1，b与c夹角为60°，且(a－b)·(a－c)＝－1.则|a|的最大值为________．
答案 eq \f(2\r(21),3)
解析 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则|eq \(BA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝1，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝－1，
所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))〉＝eq \f(B\(A,\s\up6(→))·\(CA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(CA,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,2)，
即eq \(BA,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))的夹角为120°，
而eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为60°，
所以O，A，B，C四点共圆，
于是|a|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|为圆的直径时最大，
由余弦定理，得BC＝eq \r(22＋12－2×2×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(7)，
由正弦定理，得2r＝eq \f(BC,sin 120°)＝eq \f(2\r(7),\r(3))＝eq \f(2\r(21),3).
则|a|的最大值为eq \f(2\r(21),3).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算：(1)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；
(2)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2).
解 (1)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)
＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)
＝eq \f(i,2＋i)＝eq \f(i2－i,5)
＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.
(2)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2)
＝eq \f(1－i,2i)＋eq \f(1＋i,－2i)
＝eq \f(1＋i,－2)＋eq \f(－1＋i,2)＝－1.
18．(12分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．
解 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，
(1)∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3.))
∴点C的坐标为(5，－3)．
19．(12分)若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋eq \f(5,z)是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解 这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋eq \f(5,z)＝a＋bi＋eq \f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq \f(5a－bi,a2＋b2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.
∵z＋eq \f(5,z)是实数，
∴b－eq \f(5b,a2＋b2)＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1.))
故存在虚数z，且z＝－1－2i或z＝－2－i.
20．(12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→)).
(1)若eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))，求x，y的值；
(2)若eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PA,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°时，求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的值．
解 (1)∵eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))，∴eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
即2eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2).
(2)∵eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PA,\s\up6(→))，
∴eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＝3eq \(PO,\s\up6(→))＋3eq \(OA,\s\up6(→))，
即4eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(OB,\s\up6(→))))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)×22－eq \f(3,4)×42＋eq \f(1,2)×4×2×eq \f(1,2)＝－9.
21．(12分)已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2.
(1)求点D的坐标；
(2)当m为何值时，eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))垂直．
解 (1)设C(x，y)，D(a，b)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)．
∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，
∴eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(22＋22)\r(x＋12＋y－22))＝eq \f(\r(2),2)，
即(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①
又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，即x＋y＝2.②
联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
又点C在第二象限，∴C(－1,3)．
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，
解得a＝－3，b＝1.∴D(－3,1)．
(2)由(1)可知eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,1)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))＝(2m,2m＋1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1)．
∵eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))垂直，
∴(eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－4m－(2m＋1)＝0，
解得m＝－eq \f(1,6).
22．(12分)如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线分别交AB，AC所在直线于点E，F，且满足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并说明理由．
解 (1)根据角平分线定理可得eq \f(DB,DC)＝eq \f(AB,AC)＝2，
所以eq \f(BD,BC)＝eq \f(2,3)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \f(4,9)－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(4,9)，
所以AD＝eq \f(2,3).
(2)因为eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3x)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3y)eq \(AF,\s\up6(→))，
因为E，D，F三点共线，
所以eq \f(1,3x)＋eq \f(2,3y)＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3.
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