高考数学一轮复习第六章 6.1

这是一份高考数学一轮复习第六章 6.1，共15页。试卷主要包含了1　数列的概念与简单表示法，数列的表示方法，an与Sn的关系，故选C等内容，欢迎下载使用。


1．数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
4．数列的分类
概念方法微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
提示 数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( × )
题组二 教材改编
2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.
答案 21
解析 由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
答案 5n＋1
题组三 易错自纠
4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
5．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
答案 30
解析 an＝－n2＋11n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(11,2)))2＋eq \f(121,4)，
∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
a1＝2不满足上式．
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))
7．已知整数数列{an}满足：an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)an，当an为偶数时，,5an＋1，当an为奇数时.))
(1)若a1＝8，则a5＝________.
(2)若a4＝6，则a3＝________.
答案 (1)6 (2)1或12
解析 (1)a1＝8，a2＝eq \f(1,2)×8＝4，a3＝eq \f(1,2)×4＝2，a4＝eq \f(1,2)×2＝1，a5＝5＋1＝6.
(2)a3为偶数时，a4＝eq \f(1,2)a3＝6，得a3＝12.
a3为奇数时，a4＝5a3＋1＝6，得a3＝1，故a3＝1或12.
由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于( )
A．27 B．81 C．93 D．243
答案 B
解析 根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选B.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
答案 4n－5
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2))
解析 当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝eq \f(2n－1,n)(n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2.))
本例(2)中，若Sn＝2n2－3n＋1，则an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n＝1，,4n－5，n≥2))
思维升华 已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))一定要检验a1的情况．
跟踪训练1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2×3n－1，n≥2))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝
2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2×3n－1，n≥2.))
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，则an＝________.
答案 eq \f(1,3n)
解析 因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，①
则当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq \f(n－1,3)，②
由①－②，得3n－1an＝eq \f(1,3)，所以an＝eq \f(1,3n)(n≥2)．
由题意，知a1＝eq \f(1,3)符合上式，所以an＝eq \f(1,3n).
(3)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(－1×1－2n,1－2)＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.
答案 eq \f(n2＋n＋2,2)
解析 由条件知an＋1－an＝n＋1，
则当n≥2时，an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝eq \f(n2＋n＋2,2)，
又a1＝2也符合上式，所以an＝eq \f(n2＋n＋2,2).
命题点2 累乘法
例3 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则an＝________.
答案 eq \f(2,n)
解析 ∵an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，a1＝2，∴an≠0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1).
∴当n≥2时，an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1
＝eq \f(n－1,n)·eq \f(n－2,n－1)·eq \f(n－3,n－2)·…·eq \f(1,2)·2＝eq \f(2,n).a1＝2也符合上式，
则an＝eq \f(2,n).
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解．
(2)当出现eq \f(an＋1,an)＝f (n)时，用累乘法求解．
跟踪训练2 (1)(2019·龙岩质检)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an＝________.
答案 2n＋n－2
解析 因为数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，
所以当n≥2时，a2－a1＝1＋21，
a3－a2＝1＋22，
a4－a3＝1＋23，
……
an－an－1＝1＋2n－1，
以上各式相加得an－a1＝n－1＋(21＋22＋23＋…＋2n－1)，
则an＝2n＋n－2(n≥2)．
又a1＝1也符合上式，
所以an＝2n＋n－2.
(2)已知数列{an}满足a1＝eq \f(2,3)，an＋1＝eq \f(n,n＋2)an，求通项公式an.
解 由已知得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋2)，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,4)×eq \f(3,5)×eq \f(4,6)×…×eq \f(n－2,n)×eq \f(n－1,n＋1)，
所以eq \f(an,a1)＝eq \f(2,nn＋1)，即n≥2时，an＝eq \f(4,3nn＋1)，
又因为a1＝eq \f(2,3)也满足该式，所以an＝eq \f(4,3nn＋1).
数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知数列{cn}，cn＝eq \f(2n－7,2n)，则当n＝________时，cn最大．
答案 5
解析 cn＋1－cn＝eq \f(2n－5,2n＋1)－eq \f(2n－7,2n)＝eq \f(9－2n,2n＋1)，
当n≤4时，cn＋1>cn，当n≥5时，cn＋1因此c1c6>c7>…，
∴n＝5时，cn取得最大值．
命题点2 数列的周期性
例5 (2019·兰州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq \f(1,2)，
由a4＝1，a5＝eq \f(1,2)，得a6＝eq \f(1,2)，
由a5＝eq \f(1,2)，a6＝eq \f(1,2)，得a7＝1，
由a6＝eq \f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，
所以a2 020＝a4＝1，故选B.
命题点3 数列的最值
例6 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A．－3 B．－5 C．－6 D．－9
答案 D
解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，
∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，
则an＝n－3，Sn＝eq \f(nn－5,2)，nSn＝eq \f(n2n－5,2).
设f (x)＝eq \f(x2x－5,2)，x>0，f′(x)＝eq \f(3,2)x2－5x，x>0，
∴f (x)的极小值点为x＝eq \f(10,3)，
∵n∈N*，且f (3)＝－9，f (4)＝－8，
∴f (n)min＝－9.
思维升华 应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练3 (1)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法错误的是( )
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 020＝9 D．a2 020＝1
答案 A
解析 因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，
所以a3＝3，a4＝1，a5＝eq \f(1,3)，a6＝eq \f(1,3)，a7＝1，a8＝3，…
因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，an有最大值3，a2 020＝a4＝1，
因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，
所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，T2 020＝T4＝9，
故选A.
(2)(2019·宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，2an＋1)(n∈N*)在直线x－eq \f(1,2)y＋1＝0上．若对任意的n∈N*，eq \f(1,n＋a1)＋eq \f(1,n＋a2)＋eq \f(1,n＋a3)＋…＋eq \f(1,n＋an)≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 数列{an}满足a1＝1，且点(an，2an＋1)(n∈N*)在直线x－eq \f(1,2)y＋1＝0上，
可得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
可得an＝n，
对任意的n∈N*，eq \f(1,n＋a1)＋eq \f(1,n＋a2)＋eq \f(1,n＋a3)＋…＋eq \f(1,n＋an)≥λ恒成立，
即为λ≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))min，
由f (n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)，
得f (n)－f (n＋1)＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,2n＋1)－eq \f(1,2n＋2)
＝eq \f(1,2n＋2)－eq \f(1,2n＋1)＝－eq \f(1,2n＋12n＋2)<0，
即f (n)即有f (1)为最小值，且为eq \f(1,2)，可得λ≤eq \f(1,2)，
则实数λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
1．已知数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…，则5eq \r(5)是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
答案 C
解析 数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…中的各项可变形为eq \r(5)，eq \r(5＋6)，eq \r(5＋2×6)，eq \r(5＋3×6)，eq \r(5＋4×6)，…，
所以通项公式为an＝eq \r(5＋6n－1)＝eq \r(6n－1)，
令eq \r(6n－1)＝5eq \r(5)，得n＝21.
2．(2019·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝eq \f(n,2) D．an＝eq \f(n2,2)
答案 B
解析 由题意得eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)－eq \f(nn－1,2)＝n(n≥2)，
又eq \r(a1)＝1 ，所以eq \r(an)＝n(n≥1)，an＝n2 ，故选B.
3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )
A．255 B．256 C．510 D．511
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，
当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，
两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，
据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
其前8项和为S8＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－28)),1－2)＝29－2＝512－2＝510.
4．(2020·山东省淄博实验中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于( )
A．128 B．256 C．512 D．1 024
答案 B
解析 ∵Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，
n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，∴an＋1＝2an.
n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1.
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.
则a10＝a2×28＝1×28＝256.
故选B.
5．(2019·安徽省江淮十校联考)已知数列{an}满足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1 C．8 D．9
答案 C
解析 由an＋1－an＝2n知，当n≥2时，
a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，
相加得，an－a1＝n2－n，所以eq \f(an,n)＝n＋eq \f(20,n)－1(经检验n＝1时也符合)，
又n∈N*，所以n≤4时，eq \f(an,n)单调递减，n≥5时，eq \f(an,n)单调递增，
因为eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)，所以eq \f(an,n)的最小值为eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)＝8.故选C.
6．(2019·临沂模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n)＝F (n－1)＋F (n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为( )
A．672 B．673 C．1 347 D．2 020
答案 C
解析 由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，
可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，
所以{an}是周期为3的数列，
一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，
因为2 020＝673×3＋1，
所以数列{an}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，
故选C.
7．(多选)下列说法不正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项是1＋eq \f(1,k)
D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数
答案 ABD
解析 数列与数集是不同的，故选项A错误；
由数列的有序性知选项B错误；
数列的定义域不一定为正整数集，故选项D错误．
8．(多选)在数列{an}中，an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n，则数列{an}中的最大项可以是( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
答案 AB
解析 假设an最大，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n＋1，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n≥n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n－1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＋1≥\f(7,8)n＋2，,\f(7,8)n＋1≥n，))
即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．
9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
10．(2020·北京市昌平区模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 ∀n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，
∀n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
11．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)由S2＝eq \f(4,3)a2，得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3；
由S3＝eq \f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝eq \f(3,2)(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n＋2,3)an－eq \f(n＋1,3)an－1，
整理，得an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1.
于是a1＝1，a2＝eq \f(3,1)a1，a3＝eq \f(4,2)a2，…，
an－1＝eq \f(n,n－2)an－2，an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝eq \f(nn＋1,2)，
经检验n＝1时，也满足上式．
综上，{an}的通项公式为an＝eq \f(nn＋1,2).
12．(2020·石家庄模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λaeq \\al(2,n)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
解 (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)，
∴eq \f(an,n)＝eq \f(an－1,n－1)＝…＝eq \f(a1,1)＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ令cn＝eq \f(2·3n,2n＋1)，
则eq \f(cn＋1,cn)＝eq \f(2·3n＋1,2n＋3)·eq \f(2n＋1,2·3n)＝eq \f(6n＋3,2n＋3)>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 020等于( )
A．22 020－1 B．32 020－6
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2 020－eq \f(7,2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2 020－eq \f(10,3)
答案 A
解析 由题意可得，3Sn＝2an－3n，
3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，
即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，
结合3S1＝2a1－3＝3a1可得a1＝－3，a1＋1＝－2，
则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，
据此有a2 020＋1＝(－2)×(－2)2 019＝22 020，
∴a2 020＝22 020－1.故选A.
14．已知正项数列{an}单调递增，则使得不等式(1－λai)2<1对任意ai(i＝1,2，…，k)都成立的λ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a1))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a1))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,ak))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,ak)))
答案 D
解析 由(1－λai)2<1，得－1<1－λai<1，
即0<λai<2，
∵ai>0，∴0<λ∵{an}单调递增，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an)))单调递减，
∴对任意i＝1,2，…，k，有eq \f(2,ak)≤eq \f(2,ai)，
∴λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,ak))).
15．(2020·北京市海淀区期末)设数列{an}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|an＋1－an|＝n，则a3所有可能的取值构成的集合为：________，a64的最大值为________．
答案 {－3，－1,1,3} 2 016
解析 因为数列{an}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|an＋1－an|＝n，
所以|a2－a1|＝1，因此a2＝1或a2＝－1；
又|a3－a2|＝2，所以a3－a2＝±2，
因此a3＝1±2或a3＝－1±2，
即a3所有可能的取值为－3，－1,1,3，
故a3所有可能的取值构成的集合为{－3，－1,1,3}，
若an取最大值，则{an}必为单调递增数列，即an＋1－an>0，
所以有an＋1－an＝n，
因此a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，
以上各式相加得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)，
所以an＝1＋2＋…＋(n－1)＝eq \f(n－1n,2)，
因此a64＝eq \f(63×64,2)＝2 016.
16．已知数列{an}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设Sn是数列{an}的前n项和，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,Sn·Sn＋1)))的前n项和为Tn，若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
解 ∵数列{an}是递增的等比数列，
且a1＋a4＝9，a2a3＝8，a1a4＝a2a3，
∴a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根，且a1解方程x2－9x＋8＝0，
得a1＝1，a4＝8，
∴q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(8,1)＝8，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n－1.
∴Sn＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－qn)),1－q)＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2n)),1－2)＝2n－1，
令bn＝eq \f(an＋1,SnSn＋1)＝eq \f(2n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n－1))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n＋1－1)))
＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)，
∴数列{bn}的前n项和
Tn＝1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,7)＋eq \f(1,7)－eq \f(1,15)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)
＝1－eq \f(1,2n＋1－1)在正整数集上单调递增，
∴Tn≥T1＝eq \f(2,3)，
∵λ≤Tn，且对一切n∈N*成立，
∴λ≤eq \f(2,3)，
∴实数λ的最大值是eq \f(2,3).概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f (n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项用公式表示
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f (an)或a1，a2和an＋1＝f (an，an－1)等表示数列的方法
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an