高考数学一轮复习第七章 7.1

这是一份高考数学一轮复习第七章 7.1，共20页。试卷主要包含了1　空间几何体及其表面积、体积，旋转体的结构特征，三视图与直观图，多面体的表面积、侧面积，柱、锥、台、球的表面积和体积等内容，欢迎下载使用。


1．多面体的结构特征
2.旋转体的结构特征
3.三视图与直观图
4.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
概念方法微思考
1．如何求旋转体的表面积？
提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．
2．如何求不规则几何体的体积？
提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
(2)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
题组二 教材改编
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案 1∶47
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题组三 易错自纠
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B.eq \f(32,3)π C．8π D．4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线长为2eq \r(3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5．如图，直观图所表示的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案 D
解析 由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.
6．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5)
C．3 D．2
答案 B
解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．
|ON|＝eq \f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，
∴|MN|＝eq \r(|OM|2＋|ON|2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
故选B.
空间几何体
命题点1 三视图
例1 (2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
答案 A
解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
命题点2 直观图
例2 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq \r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．
因为OE＝eq \r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq \f(1,2)，E′F＝eq \f(\r(2),4)，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq \f(1＋3,2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
命题点3 展开图
例3 母线长为1的圆锥体，其侧面展开图的面积为eq \f(π,2)，则该圆锥的体积为________．
答案 eq \f(\r(3),24)π
解析 圆锥体其侧面展开图为扇形，S＝πrl＝eq \f(π,2)，解得r＝eq \f(1,2)，由圆锥的轴截面图可得h＝eq \f(\r(3),2)， V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),24)π.
思维升华 (1)由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐，宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式．
(2)画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点．
跟踪训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
答案 B
解析 由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．
(2)如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋eq \r(2) B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2) D．8＋4eq \r(2)
答案 D
解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为eq \f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq \r(2)，故选D.
(3)(2019·北京市宣武区质检)将下面的展开图恢复成正方体后，∠ABC的度数为________．
答案 60°
解析 把图形复原后，连接三点恰好构成一个等边三角形，所以为60°.
表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x，
则由x2＝8，得x＝2eq \r(2)，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.故选B.
(2)(2019·淄博检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π＋4 B.eq \f(9,2)π＋4
C．4π＋2 D.eq \f(11,2)π＋4
答案 B
解析 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，
故其表面积S＝2×eq \f(3,4)×π×12＋eq \f(3,4)×2π×1×2＋2×2×1＝eq \f(9π,2)＋4.故选B.
命题点2 体积
例5 (1)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．3 B.eq \f(3,2)
C．1 D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 如题图，因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．
所以＝eq \f(1,3) ·AD
＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
(2)(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
答案 B
解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的eq \f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq \f(1,2)＝63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知，eq \f(1,2)V圆柱思维升华 (1)空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
③以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
①直接利用公式进行求解．
②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
③以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图．
跟踪训练2 (1)(2019·栖霞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．16＋2π B．16＋π
C．24＋2π D．24＋π
答案 D
解析 由三视图可知几何体为一个正方体和一个圆锥的组合体，则该几何体的表面积为正方体的表面积与圆锥侧面积之和减去圆锥的底面积，
正方体的表面积S1＝6×2×2＝24，
圆锥的侧面积S2＝πrl＝2π，
圆锥的底面积S3＝πr2＝π，
∴几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝24＋π，
故选D.
(2)(2019·北京市通州区模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(8,3) D.eq \r(3)
答案 C
解析 该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A－BCDE，△CBA和△ACD是两个全等的直角三角形；AC＝CD＝BC＝2，几何体的体积为eq \f(1,3)×2×2×2＝eq \f(8,3)，故选C.
与球有关的切、接问题
例6 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10) C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋62)＝eq \f(13,2).
本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×eq \f(\r(3),4)×a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq \f(6\r(3),π).
思维升华 “切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．
(2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
跟踪训练3 (1)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
答案 B
解析 由等边△ABC的面积为9eq \r(3)，可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).
(2)(2019·天津市部分区联考)圆柱的体积为eq \f(3,4)π，底面半径为eq \f(\r(3),2)，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为________．
答案 eq \f(4π,3)
解析 设圆柱的高为h，
∵圆柱体积为eq \f(3,4)π，底面半径为eq \f(\r(3),2)，
∴π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2×h＝eq \f(3,4)π，h＝1，
设球半径为R，则(2R)2＝(eq \r(3))2＋12，可得R＝1，
∴球的体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故答案为eq \f(4,3)π.
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面
D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
答案 D
解析 A．圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；B.因为同一个圆锥的母线长相等，所以圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，正确；C.根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确；D.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是同底面的两个圆锥，因此D不正确．故选D.
2．以下命题中真命题的序号是( )
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
答案 A
解析 ①正确；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故不正确；③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确．综上可得，只有①③正确．故选A.
3．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
答案 C
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.
4．(2019·北京市房山区模拟)已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由三视图可知该几何体如图所示，
CB⊥AB，CB⊥DA，DA∩AB＝A，
所以CB⊥平面DAB，
所以CB⊥BD，即△DBC是直角三角形，
因此△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形，
故选A.
5．(多选)某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图可能是( )
答案 ABD
解析 若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选ABD.
6.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq \f(R,r)＝________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有eq \f(4,3)πr3＝πR2r.故eq \f(R,r)＝eq \f(2\r(3),3).
7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案 12
解析 设六棱锥的高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh，
所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×4×6h＝2eq \r(3)，解得h＝1.
设六棱锥的斜高为h′，
则h2＋(eq \r(3))2＝h′2，故h′＝2.
所以该六棱锥的侧面积为eq \f(1,2)×2×2×6＝12.
8.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4eq \r(2) m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
答案 1
解析 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝4eq \r(2)，
则cs∠POP′＝eq \f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)
＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝eq \f(π,2).
设底面圆的半径为r，则2πr＝eq \f(π,2)×4，所以r＝1.
9．(2019·聊城模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为________．
答案 eq \f(41π,4)
解析 由题意得几何体直观图如图所示，底面等腰三角形的腰长为eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
设底面三角形顶角为α，
由余弦定理得cs α＝eq \f(5＋5－4,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5)，
设△DEF的外接圆的半径为r，所以eq \f(2,\f(4,5))＝2r，所以r＝eq \f(5,4)，
在△ADC中，AC＝1，AD＝eq \f(5,4)，
所以CD＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))2)＝eq \f(\r(41),4)，
所以几何体外接球的半径为eq \f(\r(41),4)，
所以几何体外接球的表面积为4π·eq \f(41,16)＝eq \f(41π,4).
10．(2020·武汉模拟)已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________．
答案 eq \f(10\r(11),3)
解析 取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，
∵四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO＝CO＝eq \r(25－\f(25,4))＝eq \f(5\r(3),2)，
∵AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，
又OE⊥AC，∴S△AOC＝eq \f(1,2)×8×eq \r(\f(75,4)－16)＝2eq \r(11)，
VA－BCD＝2VB－AOC＝2×eq \f(1,3)×eq \f(5,2)×2eq \r(11)＝eq \f(10\r(11),3).
11.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．
解 方法一 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝eq \f(1,2)×8×6×3＝72.
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝eq \f(1,3)×S梯形MNEF×DN
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，
所以V几何体＝eq \f(1,2)V三棱柱＝eq \f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq \f(1,2)×24×8＝96.
12.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝2eq \r(3).
(1)求证：DE⊥平面ACD；
(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．
(1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，
DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)解 ∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，
∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中，AB＝4，EB＝2eq \r(3).
在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝eq \r(16－x2)(0∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)x·eq \r(16－x2)，
∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝eq \f(\r(3),3)x·eq \r(16－x2)(0∵x2(16－x2)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋16－x2,2)))2＝64，
当且仅当x2＝16－x2，即x＝2eq \r(2)时取等号，
∴当x＝2eq \r(2)时，体积有最大值eq \f(8\r(3),3).
13．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为( )
答案 B
解析 由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.
14．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×AB2＝eq \f(\r(3),4)，高OD＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),3)，
∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2),6).
15．某几何体的三视图如图所示，依次为正视图、侧视图和俯视图，则这个几何体的体积为( )
A．6π＋eq \f(4,3) B．8π＋eq \f(8,3) C．6π＋eq \f(2,3) D．8π＋eq \f(4,3)
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体，
该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成，
其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为2，所以可得该几何体的体积为 V＝eq \f(3,4)×eq \f(4π,3)×23＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×2×2＝8π＋eq \f(8,3)，故选B.
16．(2019·潮州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,3)))
答案 B
解析 ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为1，
∴正方体的棱长为1，
点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，
当点M为线段BC的中点时，MN∥AD1，
A，M，N，D1共面，截面为四边形AMND1，如图，
即BM＝eq \f(1,2)，不合题意，排除选项A，C，D；
当BM>eq \f(1,2)时，截面为五边形，如图，符合题意，
即平面AMN截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面为五边形，
线段BM的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).故选B.名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
含义
①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．
②每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
三视图
画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图
斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3