2024年数学高考大一轮复习第七章 §7.1　不等关系与不等式（附答单独案解析）

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考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a b，,a－b＝0⇔a b，,a－b<0⇔a b.)) (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么________；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么______；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么______．
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔________；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒________；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒________；
a>b，c<0⇒________；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒__________；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒____________；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
性质8 同正可开方性：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)2．若a>b>0，m>0⇒eq \f(b,a)若b>a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若eq \f(b,a)>1，则b>a.( )
(3)若x>y，则x2>y2.( )
(4)若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则b教材改编题
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.eq \f(a,c)>eq \f(b,c)
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
3．若1题型一 数(式)的大小比较
例1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
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(2)若a＝eq \f(ln 2,2)，b＝eq \f(ln 3,3)，则a________b．(填“>”或“<”)
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思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M＝N
C．M(2)已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
题型二 不等式的性质
例2 (1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是( )
A．2ab(a－c)
C.eq \f(1,a－c)>eq \f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3
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(2)若eq \f(1,a)①eq \f(1,a＋b)0；
③a－eq \f(1,a)>b－eq \f(1,b)；④ln a2>ln b2.
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思维升华 判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2 (1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)，则aC．若aD．若a>b，则a2>b2
(2)已知aA.eq \f(b,a)>eq \f(a,b) B．a2C．2a<2c D．lgc(－a)题型三 不等式性质的综合应用
例3 (1)已知－1(2)已知3听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
跟踪训练3 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是( )
A．[－7，4] B．[－6，9] C．[6，9] D．[－2，8]
(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq \f(c,a)的取值范围是________________．