12、正弦定理、余弦定理及其应用

教学课题

人教版 高三一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用 复习教案

知识要点

1．正弦定理

(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．

(2)正弦定理的其他形式：

①a＝2RsinA，b＝__________，c＝____________；

②sinA＝，sinB＝，sinC＝；

③a∶b∶c＝______________________．

2．余弦定理

(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

a2＝____________，b2＝____________，

c2＝________．若令C＝90°，则c2＝__________，即为勾股定理．

(2)余弦定理的变形：cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝_____________．

若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2．故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．

(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角________________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝__________；sin2C＝___________．注意式中隐含条件A＋B＋C＝π．

3．三角形中的常用公式或变式

(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．

【自查自纠】

1．(1)＝＝＝2R

(2)①2RsinB　2RsinC　②　

③sinA∶sinB∶sinC

2．(1)b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosC　a2＋b2

(2)　　　>　<

(3)互化　sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB

sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC

3．(1)absinC　bcsinA　acsinB　

(a＋b＋c)r

精讲精练

【考点一　正弦定理的应用】

【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C．

【变式1】在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若b＝5，B＝，tanA＝2，则(1)sinA＝________；(2)a＝_________．

【考点二 余弦定理的应用】

【例2】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－．

(1)求B的大小；

(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

【变式2】若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)

A．       B．8－4

C．1       D．

【考点三 正、余弦定理的综合应用】

【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB．

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

【变式3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝，则cos(A－C)的值为(　　)

A．    B．  C．    D．

【考点四 判断三角形的形状】

【例4】在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝a2∶b2，试判断三角形ABC的形状．

【变式4】在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形      B．直角三角形

C．钝角三角形      D．不能确定

【考点五 解三角形应用举例】

  【例5】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

【变式5】

   如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sinα的值．

当堂检测

1、在△ABC中，A>B是sinA>sinB的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2、在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形的结果有(　　)

A．无解      B．一解

C．两解      D．一解或两解

3、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosC＋ccosB＝asinA, 则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形     B．直角三角形

C．钝角三角形     D．不确定

4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________．

5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

课后作业

1．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定是(　　)

A．直角三角形     B．等腰直角三角形

C．等腰三角形     D．等边三角形

2．在△ABC中，若＝，则∠B的值为(　　)

A．30°   B．45°  C．60°   D．90°

3．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)

A．   B．   C．    D．

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则(　　)

A．a＞b

B．a＜b

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

5．()设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若＝ab，则角C＝_________．

6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC．则A的取值范围是________．

7．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

(1)求cosB的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

9．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＋cos ＝．

(1)求C；

(2)若c＝2，且sinA＝2sinB，求△ABC的面积．

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2．

(1)当a＝时，求角A的大小；

(2)求△ABC面积的最大值．