专题23 正弦定理、余弦定理及其应用（解析版）学案

专题23  正弦定理、余弦定理及其应用

【热点聚焦与扩展】

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：（1）

     （2）（恒等式）

     （3）

2、余弦定理：

变式：（1）

① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角

当时，，即为锐角；

当（勾股定理）时，，即为直角；

当时，，即为钝角

② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出

（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可

3、三角形面积公式：

（1） （为三角形的底，为对应的高）

（2）

（3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）

（4）海伦公式：

（5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）

    证明：

       ，而

    坐标表示：，则

4、三角形内角和（两角可表示另一角）.

5、确定三角形要素的条件：

（1）唯一确定的三角形：

① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角

② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角

③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边

（2）不唯一确定的三角形

① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：

② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）

6、解三角形的常用方法：

（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解

7、三角形的中线定理与角平分线定理

（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）

证明：在中

 ①

②

为中点  

①②可得：

（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则

证明：过作∥交于

为的角平分线

为等腰三角形 

而由可得：

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数11】在中，，则 （   ）

A．                B．                 C．                 D．

【答案】C

【思路导引】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求

【解析】设，，

，故选：C．

【专家解读】本题考查了余弦定理以及同角三角函数关系，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．

例2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数7】在中，，则 （   ）

A．                B．             C．           D．

【答案】A

【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案．

【解析】在中，，，，

根据余弦定理：，，

可得 ，即，，故，故选A．

【专家解读】本题考查了余弦定理，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．

例3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数18】的内角的对边分别为．已知．

（1）若，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解．

【解析】

（1）由余弦定理可得，

的面积．

（2），

，

，．

【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．

例4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数17】△的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，证明：△是直角三角形．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．

【解析】（1）∵，∴，即，

解得，又，∴．

（2）∵，∴，即①，

又②， 将②代入①得，，即，而，解得，∴，故，即△是直角三角形．

【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查诱导公式及平方关系，考查三角形形状的判断，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是熟记有关公式，进行合理转化．

例5．【2020年高考山东卷17】

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，          ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可．

【解析】选择条件①的解析：

由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得：，，此时．

选择条件②的解析：由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得：，则：，此时：，则：．

选择条件③的解析：由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

例6．【2020年高考江苏卷16】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．

（1）求的值；

（2）在边上取一点，使得，求的值．

【答案】见解析

【解析】（1）由余弦定理，得，

因此，即，由正弦定理，得，因此．

（2）∵，∴，

∵，∴，∴，

∴，∵，∴，故．

【专家解读】本题考查了正弦定理，考查两角和与差的三角函数公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．

例7．【2020年高考天津卷16】在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【思路导引】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可．

【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，

又因为，所以．

（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，

进而，

所以．

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．

例8．【2019年高考真题理科（北京卷）】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】

 (Ⅰ)由题意可得：，解得：.

(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，

结合正弦定理可得：，

很明显角C为锐角，故，

故.

【精选精练】

1．（2020·四川巴中·高三三模）在中，，，，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【解析】由余弦定理可得，

得，即，解得或（舍去），

所以.

故选：A

2．（2020·江苏南通·高三三模）在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】如图所示，设，，

由于，

所以在中，．

在中，，

所以，解得，

所以，故选：B．

3．（2020·福建漳州·高三三模）在中，角的对边分别为，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为在中，角的对边分别为，，

所以由正弦定理得：，

所以，

因为，所以，又，所以，故选：B.

4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）如图，设在中，，从顶点连接对边上两点，，使得，若，，则边长（    ）．

A．38 B．40 C．42 D．44

【答案】B

【解析】方法一：设，，在中，由正弦定理：，可以化简得，在中，由正弦定理：，可以化简得，联立可得，可以化简得，解得，（舍去），故选B．

方法二：利用余弦定理得，，，而的面积，则，则在中，由余弦定理得，，简化整理得，即，（舍），

故选：B．

5．（2020·福建漳州·高三三模）的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

因为，所以．

取的中点，延长至点，使得是中点，

连接，则四边形是平行四边形，

在三角形中，，

，，，

由余弦定理得，解得，

所以三角形的面积为，

故选：C.

6．（2020·岳麓·湖南师大附中高三三模）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示，

∵，所以O为的重心，

连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，

则四边形ABFC为平行四边形，

，，

，

即，又因为，所以，

∴，，

设，则，

在中由余弦定理得，

即，解得，即.

又，

∴.

故选：D.

7．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且

(1)求角A；

(2)若且求△ABC的面积．

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）由题意，得，

∴；

（2）由正弦定理，得，

,

∴.

8．（2020·四川武侯·成都七中高三三模）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．

（1）求角C的大小；

（2）若成等差数列，且，求c边的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）

对于，且，

（2）由成等差数列，得，

由正弦定理得，

即由余弦弦定理，

，

9．（2020·盐城市伍佑中学高三三模）在中，角的对边分别为，且满足.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.

【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以

，,

所以有.

（Ⅱ），由余弦定理可知：

,

,

.

10．（2020·辽宁高三三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a).

(1)求B；

(2)若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，则由正弦定理得:

,

∴，

∴，

又，

∴．

（2）由题意得是线段的两个三等分点，设，则，，

又，，

在中，由余弦定理得，

解得（负值舍去），

则，

又在中,．

或解：在中，由正弦定理得：，

∴

又，，

∴，

∴为锐角，

∴，

∴，又，

∴，

∴，∴，，

∴在中，.

11．（2020·江苏南通·高三三模）在中，角的对边分别为，且.

（1）求的大小；

（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，，

由三角形内角和定理和诱导公式可得，

，

代入上式可得，，

所以.

因为，所以，即.

由于，所以.

（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，

.

又的面积为，

所以，即，所以.

由余弦定理得，

则，

所以，即.

所以的周长.

12．（2020·浙江瓯海·温州中学高三三模）已知的内角、、的对边分别为、、，，平分交于点，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

所以，

因为，，

所以，，

故，解得，

（2）如图，绘出，

因为平分，所以，

因为，所以可设，，

故在中，有，即；

在中，有，即，

两式联立，可得，

因为，所以，

即，化简得，

联立，解得，

将代入中，可得，

故，，

在中，，

化简得，解得或（舍去）；

在中，，

化简得，解得或（舍去），

故.