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2021全国高考统一考试 全国甲卷 文科数学(含答案)
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这是一份2021全国高考统一考试 全国甲卷 文科数学(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
SKIPIF 1 < 0 该地农户家庭年收入低于 SKIPIF 1 < 0 万元的农户比率估计为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 该地农户家庭年收入不低于 SKIPIF 1 < 0 万元的农户比率估计为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 SKIPIF 1 < 0 万元
SKIPIF 1 < 0 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 SKIPIF 1 < 0 万元至 SKIPIF 1 < 0 万元之间
3.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 SKIPIF 1 < 0 和小数记录法的数据 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知某同学视力的五分记录法的数据为 SKIPIF 1 < 0 ，则其视力的小数记录法的数据约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5.已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
6.在一个正方体中，过顶点 SKIPIF 1 < 0 的三条棱的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，该正方体截去三棱锥 SKIPIF 1 < 0 后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
7.等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，设甲： SKIPIF 1 < 0 ，乙： SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则（ ）
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的充分条件但不是必要条件
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的必要条件但不是充分条件
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的充要条件
SKIPIF 1 < 0 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 SKIPIF 1 < 0 三点，且 SKIPIF 1 < 0 在同一水平面上的投影 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两点到水平面 SKIPIF 1 < 0 的高度差 SKIPIF 1 < 0 约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
9.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
10.将 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 随机排成一行，则 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 不相邻的概率为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
11.已知 SKIPIF 1 < 0 是半径为 SKIPIF 1 < 0 的球 SKIPIF 1 < 0 的球面上的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
12.设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 .
14.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
15.已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上关于坐标原点对称的两
点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 .
16.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，
则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为 .
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
18.（12分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，从下面 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ SKIPIF 1 < 0 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.（12分）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小？
20.（12分）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且⊙ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切.（1）求 SKIPIF 1 < 0 ，⊙ SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切，判断直线 SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由.
21.（12分）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐标原点为极点， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）将 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的参数方程，并判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否有公共点.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）画出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
参考答案
1.B.
2.C.
3.B.
4.D.
5.A.
6.C.
7.A.
8.D.
9.A.
10.C.
11.A.
12.C.
13. SKIPIF 1 < 0 .
14.51π.
15. SKIPIF 1 < 0 .
16.8.
17.解：
18.解：
19.解：
20.解：
21.解：
22.解：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
1.设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
SKIPIF 1 < 0 该地农户家庭年收入低于 SKIPIF 1 < 0 万元的农户比率估计为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 该地农户家庭年收入不低于 SKIPIF 1 < 0 万元的农户比率估计为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 SKIPIF 1 < 0 万元
SKIPIF 1 < 0 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 SKIPIF 1 < 0 万元至 SKIPIF 1 < 0 万元之间
3.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 SKIPIF 1 < 0 和小数记录法的数据 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知某同学视力的五分记录法的数据为 SKIPIF 1 < 0 ，则其视力的小数记录法的数据约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5.已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
6.在一个正方体中，过顶点 SKIPIF 1 < 0 的三条棱的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，该正方体截去三棱锥 SKIPIF 1 < 0 后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
7.等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，设甲： SKIPIF 1 < 0 ，乙： SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则（ ）
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的充分条件但不是必要条件
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的必要条件但不是充分条件
SKIPIF 1 < 0 甲是乙的充要条件
SKIPIF 1 < 0 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 SKIPIF 1 < 0 三点，且 SKIPIF 1 < 0 在同一水平面上的投影 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 点测得 SKIPIF 1 < 0 点的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两点到水平面 SKIPIF 1 < 0 的高度差 SKIPIF 1 < 0 约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
9.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
10.将 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 随机排成一行，则 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 不相邻的概率为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
11.已知 SKIPIF 1 < 0 是半径为 SKIPIF 1 < 0 的球 SKIPIF 1 < 0 的球面上的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
12.设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 .
14.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
15.已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上关于坐标原点对称的两
点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 .
16.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，
则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为 .
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
18.（12分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，从下面 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ SKIPIF 1 < 0 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.（12分）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小？
20.（12分）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且⊙ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切.（1）求 SKIPIF 1 < 0 ，⊙ SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切，判断直线 SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由.
21.（12分）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐标原点为极点， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）将 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的参数方程，并判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否有公共点.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）画出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
参考答案
1.B.
2.C.
3.B.
4.D.
5.A.
6.C.
7.A.
8.D.
9.A.
10.C.
11.A.
12.C.
13. SKIPIF 1 < 0 .
14.51π.
15. SKIPIF 1 < 0 .
16.8.
17.解：
18.解：
19.解：
20.解：
21.解：
22.解：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
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