2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国甲卷（含答案）

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷

文科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则(   )
A. B. C. D.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调査，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(   )

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知，则(   )
A. B. C. D.

4.下列函数中是增函数的为(   )
A. B. C. D.

5.点到双曲线的一条渐近线的距离为(   )
A. B. C. D.

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）(   )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(   )

A. B. C. D.

8.在中，已知，，，则(   )
A.1 B. C. D.3

9.记为等比数列的前n项和.若，，则(   )
A.7 B.8 C.9 D.10

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(   )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8

11.若，，则(   )
A. B. C. D.

12.设是定义域为R的奇函数，且.若，则(   )
A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量满足，，，则____________.

14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________.

15.已知函数的部分图象如图所示，则___________.

16.已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：，

18.（12分）记为的前n项和，已知，，且数列是等差数列.证明：是等差数列.

19.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，，

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.

20.（12分）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

21.（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切.

（1）求C，的方程.

（2）设，，是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点.

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数，.

（1）画出和的图象；
（2）若，求a的取值范围.

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷

文科数学参考答案

1.答案：B

解析：本题考查不等式、集合的运算.由于，故.

2.答案：C

解析：本题考查频率分布直方图、均值等统计图表及统计量的基础知识.

3.答案：B

解析：本题考查复数的运算.可知.

4.答案：D

解析：本题考查函数的单调性，一次函数是R上的减函数；指数函数是R上的减函数；二次函数在上单调递减，在上单调递增；幂函数是R上的增函数.

5.答案：A

解析：本题考查双曲线的性质与渐近线方程、点到直线的距离公式.由于双曲线的渐近线方程为，即，则点到该渐近线的距离为.

6.答案：C

解析：本题考查对数的运算.可知，故.

7.答案：D

解析：本题考查三视图.由正视图虚线可知所截为正方体的里面左下角，故侧视图为实线左下角.

8.答案：D

解析：本题考查三角形及余弦定理.由于，，，根据余弦定理，可得，则有，即，解得或（舍去）.

9.答案：A

解析：本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.

10.答案：C

解析：本题考查排列与组合、古典概型、对立事件的概率.将3个1和2个0随机排成一行，从5个位置中选2个位置放0，排法种数有10种，而2个0相邻的情况有4种，根据古典概型知2个0不相邻的概率为.

11.答案：A

解析：本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式.由，，，得，所以，由，故.

12.答案：C

解析：本题考查函数的基本性质、奇偶性与周期性以及函数值的求解.由于是定义域为R的奇函数，则有，结合，可得，故，即函数是周期为2的周期函数，所以.

13.答案：

解析：本题考查平面向量的数量积运算、平面向量的模.由于，，，则有，可得，解得.

14.答案：

解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积，可得，故圆锥的母线，所以圆锥的侧面积.

15.答案：

解析：本题考查三角函数的图象与性质、三角函数值的求解.由图象可得，函数的周期，故，所以，结合，取满足条件的一个，则有，故.

16.答案：8

解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形是矩形，且，，可得.

17.解析：（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是，

乙机床生产的产品中一级品的频率是.

（2）根据题表中的数据可得.

因为，

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.解析：由题意可知，数列的首项为，设等差数列的公差为d，

则，

所以，即，

所以当时，，

当时也满足，所以，

所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

19.解析：（1）如图，取BC的中点为M，连接EM.由已知易得，，，，，

由得，

又易得，，

所以平面BCF，

故.

（2）连接，，由（1）知，

所以ED在平面内.

在正方形中，由于F，M分别是，BC的中点，所以，，

且这两个角都是锐角，所以，

所以，

所以，

又，，所以平面，

又平面，所以.

20.解析：（1）由题意，的定义域为，

，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

故函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知函数的最小值为，

要使的图象与x轴没有公共点，只需的最小值恒大于0，即恒成立，

故，得，

所以a的取值范围为.

21.解析：（1）由题意，直线与C交于P，Q两点，且，

设C的焦点为F，P在第一象限，

则根据抛物线的对称性，，

所以，.

设C的方程为，则，得，

所以C的方程为.

因为圆心到l的距离即的半径，且距离为1，

所以的方程为.

（2）设，，，

当，，中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线与相切.

当时，直线，

则，即，

同理可得，

所以，是方程的两个根，

则，.

直线的方程为，

设点M到直线的距离为，则，即，

所以直线与相切.

综上所述，直线与相切.

22.解析：（1）根据，得，

因为，，

所以，所以C的直角坐标方程为.

（2）设，，则，.

因为，所以即

因为M为C上的动点，

所以，即.

所以P的轨迹的参数方程为（其中为参数，）.

所以，的半径，又的半径，所以，

所以C与没有公共点.

23.解析：（1）由已知得
所以与的图象为

（2）的图象是由函数的图象向左平移个单位长度或向右平移个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到的图象的右支过的图象上的点时为临界状态，如图所示，此时的图象的右支对应的函数解析式为，则，解得.

因为，所以，

故a的取值范围为.