2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

这是一份2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则　　
A． B． C． D．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是　　
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．已知，则　　
A． B． C． D．
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
6．在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是　　

A． B． C． D．
7．等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473
9．若，，则　　
A． B． C． D．
10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为　　
A． B． C． D．
11．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为　　．
14．已知向量，，．若，则　　．
15．已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　　．
16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为　　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
18．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

20．（12分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
21．（12分）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数，．
（1）画出和的图像；
（2）若，求的取值范围．


2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则　　
A． B． C． D．
【思路分析】直接利用交集运算求解．
【解析】：集合，，则，故选：．
【归纳总结】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是　　
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项，，，利用平均值的计算方法，即可判断选项．
【解析】：对于，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项错误；
对于，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项正确．
故选：．
【归纳总结】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．
3．已知，则　　
A． B． C． D．
【思路分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．
【解析】：因为，
所以．故选：．
【归纳总结】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【思路分析】把代入中，直接求解即可．
【解析】：在中，，所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：．
【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【思路分析】设出，，由双曲线的定义可得，再通过，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解析】：，为双曲线的两个焦点，是上的一点，，
设，，由双曲线的定义可得，即，
所以，，因为，，
所以，整理得，所以．故选：．
【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．
6．在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是　　

A． B． C． D．
【思路分析】作出正方体，截去三棱锥，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图．
【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥，根据正视图，
可得在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，
可得相应的侧视图是图形，
故选：．

【归纳总结】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．
7．等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【思路分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出．
【解析】：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，则，
，
若是递增数列，对恒成立，
则，，满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：．
【归纳总结】本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题．
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473
【思路分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差．
【解析】：过作于，过作于，
则，，，，，，
，
则在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，故选：．

【归纳总结】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．
9．若，，则　　
A． B． C． D．
【思路分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解，进一步求得，再由商的关系可得的值．
【解析】：解法一：由，得，即，
，，则，解得，
则，．故选：．
解法二：（邹红云补解）不妨设，则
，
于是：，
又，，即：
【归纳总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为　　
A． B． C． D．
【思路分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型的概率公式求解即可．
【解析】：解法一：4个1和2个0随机排成一行，共有种，（另解：），
2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有种，
故2个0不相邻的概率为．
故选：．
解法二：（四川代尔宁补解）（相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置:只需要选择两个位置安排0即可，共有种排法；将4个1排列成一列，2个0不相邻共有5个位置安排2个0，共有种排法；所以2个0不相邻的概率为
【归纳总结】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．
11．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【思路分析】先确定所在的截面圆的圆心为斜边的中点，然后在和中，利用勾股定理求出，再利用锥体的体积公式求解即可．
【解析】：因为，，
所以底面为等腰直角三角形，
所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，
所以平面，
在中，，则，
在中，，
故三棱锥的体积为．故选：．

【归纳总结】本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定所在圆的圆心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A． B． C． D．
【思路分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到，时，的解析式，再利用周期性可得，进一步求出的值．
【解析】：为奇函数，，且，
偶函数，，
，即，
．
令，则，
，．
当，时，．
（2），
，
又（3），，解得，
，，
当，时，，
．故选：．
【归纳总结】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为　　．
【思路分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．
【解析】：因为，在曲线上，
所以，所以，
则曲线在点处的切线方程为：
，即．故答案为：．
【归纳总结】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
14．已知向量，，．若，则　　．
【思路分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于的方程，求解即可．
【解析】：因为向量，，，
由，则，
解得．故答案为：．
【归纳总结】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．
15．已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　8　．
【思路分析】判断四边形为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
【解析】：解法一：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，设，，
由椭圆的定义可得，所以，
因为，即，所以，
所以四边形的面积为．故答案为：8．
解法二：（王海雷补解）因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，
.
【归纳总结】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为　2　．

【思路分析】观察图像，，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知，即最小正整数为2．
【解析】：由图像可得，即周期为，
，，，
观察图像可知当，，，即时最小且满足题意，
故答案为：2．
【归纳总结】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【思路分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据列联表，求出，再将的值与6.635比较，即可得出结论；
【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
18．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【思路分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前项和公式证明结论即可．
【解析】：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列的公差为，则：
，
数列 为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：，，
则数列 的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
【归纳总结】本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式等知识，属于中等题．
19．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

【思路分析】（1）连接，易知，，由，，再利用勾股定理求得和的长，从而证明，然后以为原点建立空间直角坐标系，证得，即可；
（2）易知平面的一个法向量为，0，，求得平面的法向量，再由空间向量的数量积可得，，从而知当时，得解．
【解答】（1）证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，0，，
，2，，，1，，
，即．

解法二：（邹红云补解）取中点,连接,
先证明四边形为梯形，再证明,本问题即可解决.
（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，
由（1）知，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
，，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
【归纳总结】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【思路分析】（1）由题意结合直线垂直得到关于的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；
（2）分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．
【解析】：（1）因为与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线的方程为：，
令，则，
根据抛物线的对称性，不妨设在轴上方，在轴下方，故，
因为，故，
抛物线的方程为：，
因为与相切，故其半径为1，故．
（2）设，，，，，．
当，，其中某一个为坐标原点时（假设为坐标原点时），
设直线方程为，根据点到直线距离为1可得，解得，
联立直线与抛物线方程可得，
此时直线与的位置关系为相切，
当，，都不是坐标原点时，即，直线的方程为，
此时有，，即，
同理，由对称性可得，，
所以，是方程 的两根，
依题意有，直线的方程为，
令到直线的距离为，则有，
此时直线与的位置关系也为相切，
综上，直线与相切．
【归纳总结】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．
21．（12分）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
【思路分析】（1）求出时的解析式，求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）将已知转化为在有两个不等实根，变形可得，令，利用导数求出的单调性及的大致图象，即可求解的取值范围．
【解析】：（1）时，，
，
当时，，当，时，，
故在上单调递增，在，上单调递减．
（2）解法一：由题知在有两个不等实根，
，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
作出的大致图象，如图所示：
由图象可得，解得且，
即的取值范围是，，．

解法二：（王海雷补解）令，

1）时，，至多一个零点，故舍去；
2）时，,在上单调递增，在上单调递减.
又，，
，
则，
两边取以为底的对数得，
令，得，即①.
又（证明略）当且仅当取等号，
故①式的解为，即.
的取值范围是，，．
【归纳总结】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
【思路分析】（1）把极坐标方程化为，写出直角坐标方程即可；
（2）设点的直角坐标为，，，利用求出点的坐标，代入的方程化简得出点的轨迹方程，再化为参数方程，计算的值即可判断与是否有公共点．
【解析】：（1）由极坐标方程为，得，
化为直角坐标方程是，
即，表示圆心为，，半径为的圆．
（2）设点的直角坐标为，，，因为，
所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，，半径为2 的圆；
化为参数方程是，为参数；
计算，
所以圆与圆内含，没有公共点．
【归纳总结】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数，．
（1）画出和的图像；
（2）若，求的取值范围．

【思路分析】（1）通过对分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．
（2）由图像可得：，，若，说明把函数的图像向左或向右平移单位以后，的图像不在的下方，由图像观察可得出结论．
【解析】：（1）函数，
．
画出和的图像；
（2）由图像可得：，，
若，说明把函数的图像向左或向右平移单位以后，的图像不在的下方，
由图像观察可得：
的取值范围为，．

【归纳总结】本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．