初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时教学设计及反思，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。


1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)
2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
一、情境导入
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
二、合作探究
探究点：三边对应成比例的两个三角形相似
【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．
解：△ABC∽△EDF.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－62)＝8.在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得ED＝eq \r(DF2＋EF2)＝eq \r(32＋42)＝5.在△ABC和△EDF中，eq \f(BC,DF)＝eq \f(6,3)＝2，eq \f(AC,EF)＝eq \f(8,4)＝2，eq \f(AB,ED)＝eq \f(10,5)＝2，所以eq \f(BC,DF)＝eq \f(AC,EF)＝eq \f(AB,ED)，所以△ABC∽△EDF.
方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 网格中的相似三角形
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得eq \f(AB,DE)＝eq \f(AC,DF)＝eq \f(BC,EF)，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．
解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(5)，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2eq \r(5)，∵eq \f(AB,DE)＝eq \f(AC,DF)＝eq \f(BC,EF)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2)，∴△ABC∽△DEF.
方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题
【类型三】 利用相似三角形证明角相等
如图，已知eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，找出图中相等的角，并说明你的理由．
解析：由eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．
解：在△ABC和△ADE中，∵eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC ＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.
方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系
如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．
解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．
解：公路AB与CD平行．∵eq \f(AB,BD)＝eq \f(14,21)＝eq \f(2,3)，eq \f(AD,BC)＝eq \f(28,42)＝eq \f(2,3)，eq \f(BD,DC)＝eq \f(21,31.5)＝eq \f(2,3)，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC.
方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．
【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题
要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm，60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．
解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．
解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm，32cm；②当长为20cm的边长的对应边为60cm时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：eq \f(50,3)cm，20cm，eq \f(80,3)cm；③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm，20cm.∴有三种解决方案．
方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
三边对应成比例的两个三角形相似；
2．利用相似三角形的判定解决问题．
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.