高考物理一轮复习 第9章 第2节　磁场对运动电荷的作用

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知识点1 洛伦兹力的方向和大小
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判断方法：
左手定则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(磁感线垂直穿过掌心,,指指向正电荷运动的方向,拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向))
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B和v决定的平面．(注意：B和v不一定垂直)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
知识点2 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式
(1)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．根据牛顿第二定律，其表达式为qvB＝meq \f(v2,r).
(2)半径公式r＝eq \f(mv,qB)，周期公式T＝eq \f(2πm,qB).
[物理学史链接]
(1)荷兰物理学家洛伦兹提出运动电荷产生了磁场和磁场对运动电荷有作用力(洛伦兹力)的观点．
(2)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流．
(3)阿斯顿设计的质谱仪可用来测量带电粒子的质量和分析同位素．
(4)1932年，美国物理学家劳伦兹发明了回旋加速器，能在实验室中产生大量的高能粒子．(最大动能仅取决于磁场和D形盒直径，带电粒子圆周运动周期与高频电源的周期相同)
1．正误判断
(1)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)
(2)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)
(3)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动．(√)
(4)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．(×)
(5)一个带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度的大小无关．(√)
(6)根据周期公式T＝eq \f(2πr,v)得出T与v成反比．(×)
2．[洛伦兹力方向的判断]如图9­2­1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，甲、乙、丙、丁四个带负电的点电荷分别沿四个方向、以大小相同的初速度v0垂直磁场方向进入磁场．则进入磁场瞬间，受到洛伦兹力方向向下的点电荷是( )
图9­2­1
A．甲 B．乙
C．丙D．丁
D [根据左手定则分析，丁受到的洛伦兹力方向向下，故选项D正确．]
3．[半径、周期公式的应用](多选)(2015·全国卷Ⅱ)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( )
【导学号：92492340】
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
AC [设电子的质量为m，速率为v，电荷量为q，B2＝B，B1＝kB
则由牛顿第二定律得：qvB＝eq \f(mv2,R)①
T＝eq \f(2πR,v)②
由①②得：R＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πm,qB)
所以eq \f(R2,R1)＝k，eq \f(T2,T1)＝k
根据a＝eq \f(v2,R)，ω＝eq \f(v,R)可知
eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,k)，eq \f(ω2,ω1)＝eq \f(1,k)
所以选项A、C正确，选项B、D错误．]
4．[带电粒子在磁场中的运动分析]两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图9­2­2所示．若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
图9­2­2
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子的动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
C [由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，A错误；由qvB＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，故运动的轨迹半径越大，对应的速率越大，所以b粒子的速率较大，在磁场中所受洛伦兹力较大，B错误；由Ek＝eq \f(1,2)mv2可得b粒子的动能较大，C正确；由T＝eq \f(2πm,qB)知两者的周期相同，b粒子运动的轨迹对应的圆心角小于a粒子运动的轨迹对应的圆心角，所以b粒子在磁场中运动时间较短，D错误．]
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意一定分正、负电荷．
(5)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．洛伦兹力和电场力的区别
[题组通关]
1．(2017·宝鸡模拟)如图9­2­3所示，平行长直导线ab、cd通以反向等大直流电，P点是两导线所在面上ab右侧的一个点．现从P点沿平行ba方向打入一个带正电的粒子，粒子恰好可以经过ab、cd的中间线上一点O到达Q点，并且P到中线的距离比Q到中线的距离大，则下列说法正确的是( )
图9­2­3
A．ab的电流方向是由b到a的
B．粒子在P点的速度大于在Q点的速度
C．粒子在P点的角速度大于在Q的角速度
D．粒子从P向O运动过程中的半径变小
C [正粒子要能够经过O点，则正粒子向右偏转，说明ab与中线间的磁场方向垂直纸面向外，所以ab电流方向一定由a到b，A项错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子的速率不变，B项错误；速率不变，根据磁场叠加，中间线上磁感应强度最小，则P点磁感应强度大于Q的磁感应强度，由r＝eq \f(mv,qB)知rPωQ，C项正确；粒子从P到O的过程中半径变大，D项错误．]
2．(2017·杭州模拟)粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，俯视图如图9­2­4所示，两根导线中通有相同的电流，电流方向垂直纸面向里．水平面上一带电滑块(电性未知)以某一初速v沿两导线连线的中垂线入射，运动过程中滑块始终未脱离水平面．下列说法正确的是( ) 【导学号：92492341】
图9­2­4
A．滑块可能做加速直线运动
B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块可能做曲线运动
D．滑块一定做减速运动
D [根据安培定则，知两导线连接的垂直平分线上方的磁场方向水平向右，而下方的磁场方向水平向左，根据左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向外或向里，滑块所受的支持力减小或增大，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动，故A、B、C错误．]
[多维探究]
1．圆心的确定
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图9­2­5甲所示)．
图9­2­5
(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)．
(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动：
①直线边界(进出磁场具有对称性，如图9­2­6所示)．
图9­2­6
②平行边界(存在临界条件，如图9­2­7所示)．
(a) (b) (c)
图9­2­7
③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9­2­8所示)．
图9­2­8
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图9­2­9所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
图9­2­9
(2)直角三角形的应用(勾股定理)．
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形．
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)．
[多维探究]
●考向1 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．(2017·全国丙卷)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图9­2­10所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )
图9­2­10
A.eq \f(mv,2qB) B．eq \f(\r(3)mv,qB)
C.eq \f(2mv,qB)D．eq \f(4mv,qB)
D [如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝eq \f(mv,qB).
设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R.由几何图形知，AP＝eq \r(3)R，则AO＝eq \r(3)AP＝3R，所以OB＝4R＝eq \f(4mv,qB)， 故选项D正确．]
●考向2 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
2．如图9­2­11所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以速率v从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点，已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的eq \f(1,4)，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )
【导学号：92492342】
图9­2­11
A.eq \f(\r(2)mv,2qR)B．eq \f(mv,qR)
C.eq \f(mv,2qR)D．eq \f(\r(2)mv,qR)
D [从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，相应的弧长为圆周长的eq \f(1,4)，设磁场圆心为O，∠POQ＝90°，则粒子轨迹半径r＝eq \f(\r(2),2)R，又因为r＝eq \f(mv,qB)，所以B＝eq \f(\r(2)mv,qR)，D正确．]
3.如图9­2­12所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径．一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为( )
图9­2­12
A.eq \f(1,2)v B．eq \f(2,3)v C.eq \f(\r(3),2)v D．eq \f(3,2)v
C [设圆形区域的半径为R，带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)，r∝v；当粒子从b点飞出磁场时，运动轨迹如图甲所示，入射速度与出射速度与ab的夹角相等，所以速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，根据几何知识得轨迹半径为r1＝2R；当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，经过磁场的时间也是t，由T＝eq \f(2πm,qB)知，同一粒子两次在磁场中运动的周期相等，又轨迹对应的圆心角θ＝eq \f(2πt,T)，即粒子沿ab方向射入磁场时，轨迹对应的圆心角也是60°，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为r2＝eq \r(3)R；可得eq \f(v′,v)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(\r(3),2)，则v′＝eq \f(\r(3),2)v，选项C正确．]
甲 乙
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
1．画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．
3．用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
[母题] 如图9­2­13所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ＝30°.MC边长为a，MN边长为8a，不计粒子重力．求：
图9­2­13
(1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？
(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少？
【解析】 (1)设该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，则由几何关系得rcs 60°＝r－eq \f(a,2)，解得r＝a
又由qvB＝meq \f(v2,r)，解得最大速度为vmax＝eq \f(qaB,m).
(2)粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径R的eq \r(3)倍．
设粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点
有n×eq \r(3)R＝8a，且Req \f(8,\r(3))＝4.62
n所能取的最小自然数为5
粒子做圆周运动的周期为T＝eq \f(2πm,qB)
粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为t＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2πm,3qB)
粒子到达Q点的最短时间为tmin＝5t＝eq \f(10πm,3qB).
【答案】 (1)eq \f(qaB,m) (2)eq \f(10πm,3qB)
[母题迁移]
●迁移1 磁场方向不确定形成多解
1．(多选)(2017·商丘模拟)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.eq \f(4qB,m)B．eq \f(3qB,m)
C.eq \f(2qB,m)D．eq \f(qB,m)
AC [依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \f(4BqR,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(4Bq,m)；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝meq \f(v2,R)，v＝eq \f(2BqR,m)，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(2Bq,m)，应选AC.]
●迁移2 带电粒子速度不确定形成多解
2. (多选)如图9­2­14所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
【导学号：92492343】
图9­2­14
A．2BkLB．eq \f(BkL,2)
C.eq \f(3BkL,2)D．eq \f(BkL,8)
BD [因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝meq \f(v2,r)，即v＝eq \f(Bqr,m)＝Bk·eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，选项B、D正确．]
●迁移3 带电粒子电性不确定形成多解
3.如图9­2­15所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少．
图9­2­15
【解析】 题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷．若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的eq \f(1,4)圆弧，轨道半径：R＝eq \f(mv,Bq)
又d＝R－eq \f(R,\r(2))
解得v＝(2＋eq \r(2))eq \f(Bqd,m).
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的eq \f(3,4)圆弧，则有：R′＝eq \f(mv′,Bq)
d＝R′＋eq \f(R′,\r(2))，
解得v′＝(2－eq \r(2))eq \f(Bqd,m).
【答案】 (2＋eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为正电荷)或(2－eq \r(2))eq \f(Bqd,m)(q为负电荷)
常见多解情况分析
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
2．磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
3．运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
4．临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
1．分析方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．
(2)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．
2．解题流程
[母题] 如图9­2­16甲所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面向外的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．
图9­2­16
(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小；
(2)若撤去电场，如图乙，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；
(3)在图乙中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
【解析】 (1)根据动能定理，qU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
所以v0＝eq \r(v\\al(2,1)－\f(2qU,m)).
(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
由几何知识可知R2＋R2＝(R2－R1)2，
解得R＝eq \r(2)R0，根据洛伦兹力公式qv2B＝meq \f(v\\al(2,2),R)，
解得B＝eq \f(mv2,q\r(2)R0)＝eq \f(\r(2)mv2,2qR0).
又eq \f(t,T)＝eq \f(θ,2π)，2πR＝v2T，
解得t＝eq \f(T,4)＝eq \f(2πm,4Bq)＝eq \f(2πm,4×\f(mv2,\r(2)R0))＝eq \f(\r(2)πR0,2v2).
(3)考虑临界情况，如图所示．
qv3B′1＝meq \f(v\\al(2,3),R0)
解得B′1＝eq \f(mv3,qR0)
qv3B′2＝meq \f(v\\al(2,3),2R0)
解得B′2＝eq \f(mv3,2qR0)，综合得：B′【答案】 (1)eq \r(v\\al(2,1)－\f(2qU,m)) (2)eq \f(\r(2)mv2,2qR0) eq \f(\r(2)πR0,2v2) (3)eq \f(mv3,2qR0)
[母题迁移]如图9­2­17所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为eq \f(e,m)的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为( )
【导学号：92492344】
图9­2­17
A．B>eq \f(2mv0,ae) B．BC．B>eq \f(\r(3)mv0,ae)D．BD [由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝eq \f(\f(a,2),cs 30°)＝eq \f(a,\r(3))，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于eq \f(a,\r(3))，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝eq \f(mv,qB)有eq \f(a,\r(3))临界问题的四个重要结论
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
3．当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．

对洛伦兹力的理解
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在有界磁场中的临界极值问题