2021年辽宁省营口市大石桥市中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省营口市大石桥市中考数学一模试卷，共28页。

2021年辽宁省营口市大石桥市中考数学一模试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．（3分）2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童约为11.1万人．11.1万用科学记数法表示为（　　）
A．1.11×104 B．11.1×104 C．1.11×105 D．1.11×106
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．x8÷x2＝x6 C．×＝ D．（a5）2＝a7
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
6．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
7．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝（　　）

A．4 B． C． D．
9．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A． B．2 C．2 D．4
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
13．（3分）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为　 　．
14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　 　．

15．（3分）如图，点A是x轴负半轴上任意一点，过点A作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点B和C点，若D为y轴上任意一点，连接DC、DB，则△BCD的面积为　 　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y＝x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是　 　．

三．解答题（共9小题，共102分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为满足﹣3≤x≤﹣的整数解．
18．（10分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标；
（3）求出（2）中点A所经过的路径的长度．

19．（10分）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是　 　；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
20．（10分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为　 　°；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
21．（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．

22．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，求这栋楼的高度．（结果精确到0.1米）（≈1.41，≈1.73）

24．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）如图2，CP＝BC，求的值．
（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．

25．（14分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．


2021年辽宁省营口市大石桥市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣的相反数为．
【解答】解：与﹣符号相反的数是，所以﹣的相反数是；
故选：B．
2．（3分）2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童约为11.1万人．11.1万用科学记数法表示为（　　）
A．1.11×104 B．11.1×104 C．1.11×105 D．1.11×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11.1万用科学记数法表示为1.11×105．
故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部右侧是一行两个相邻的小矩形．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．x8÷x2＝x6 C．×＝ D．（a5）2＝a7
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．
B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．
C、原式＝＝，计算错误，故本选项不符合题意．
D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，该日气温的极差是7﹣（﹣2）＝9℃，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
7．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：＝．
故选：B．
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝（　　）

A．4 B． C． D．
【分析】作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠ACB＝45°，再根据圆周角定理得到∠AOB＝90°，则可判断△AOB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长．
【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，
∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠D+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠AOB＝2∠D＝90°，OA＝OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2．
故选：C．

9．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【解答】解：如图，在BA上截取BE＝BN，

因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，

所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°＝．
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【分析】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x＝﹣＝﹣1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥﹣2　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式在实数范围内有意义，
则x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
12．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　a（a﹣1）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
13．（3分）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为　4　．
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S侧＝2πr•l＝πrl即可进行计算．
【解答】解：∵S侧＝πrl，
∴3πl＝12π，
∴l＝4．
答：这个圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　26°　．

【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
15．（3分）如图，点A是x轴负半轴上任意一点，过点A作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点B和C点，若D为y轴上任意一点，连接DC、DB，则△BCD的面积为　3.5　．

【分析】设A（m，0）（m＜0），由直线BC∥y轴，则B，C两点的横坐标都为m，而点B在反比例函数y＝﹣的图象上，点C在反比例函数y＝的图象上，可得到B点坐标为（m，﹣），C点坐标为（m，），从而求出BC的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设A（m，0）（m＜0），
∵直线BC∥y轴，
∴B，C两点的横坐标都为m，而点B在反比例函数y＝﹣的图象上，点C在反比例函数y＝的图象上，
∴B点坐标为（m，﹣），C点坐标为（m，），
∴BC＝﹣﹣＝﹣，
∴S△BCD＝•BC•OA＝•（﹣）•（﹣m）＝3.5．
故答案为3.5．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y＝x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是　　．

【分析】根据一次函数解析式的求法和相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，
∴，
在y＝中，当x＝﹣1时，y＝﹣，
∴，
设直线A2B1的解析式为：y＝kx+b，
可得：，
解得：，
∴直线A2B1的解析式为：，
令y＝0，可得：x＝﹣，
∴C1（﹣，0），
∴＝，
∵△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴△C1B1B2∽△C2B2B3，
∴，
∴，
同理可得：…，
∴△C2019B2019B2020的面积＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，共102分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为满足﹣3≤x≤﹣的整数解．
【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3≤x≤﹣中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣1+）÷
＝
＝
＝
＝，
∵x+1≠0（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x≠﹣1，x≠±2，
∵﹣3≤x≤﹣
∴x可以是﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝＝．
18．（10分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标；
（3）求出（2）中点A所经过的路径的长度．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出三个顶点绕原点O逆时针方向旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用弧长公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（3，4）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）点A所经过的路径的长度为＝π．
19．（10分）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是　　；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出k＜0，b＞0的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率＝＝．
20．（10分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　500　，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为　108　°；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%＝500，
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）B等级的人数为：500×40%＝200，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）2000×＝200（人），
答：该校需要培训的学生有200人．

21．（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．

【分析】（1）连接OC．由圆周角定理及等腰三角形的性质证得∠OCD＝90°．则可得出结论；
（2）由锐角三角函数求出AB的长，得出OC＝3，由勾股定理求出OD＝5，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．

∵AB为⊙O的直径，AC为弦，
∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴CD⊥OC．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，cos∠BCD＝，
∴cosA＝cos∠BCD＝．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2.7，cosA＝．
∴AB＝＝＝6．
∴OC＝OE＝＝3．
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，
∴．
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
22．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
23．（12分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，求这栋楼的高度．（结果精确到0.1米）（≈1.41，≈1.73）

【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：如图，

由题意可得，
∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝120米，
∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40(米)，
在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，AD＝120米，
∴CD＝AD•tan60°＝120(米)，
∴BC＝BD+CD＝40+120＝160≈276.8(米)，
即这栋楼的高度BC约为276.8米．
24．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）如图2，CP＝BC，求的值．
（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．

【分析】（1）∠D＝∠AMP．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；
（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．构造全等三角形（△MDA≌△MGC（ASA））和相似三角形（△CGP∽△BMP），根据相似三角形的对应边成比例求得的值．
（3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知△GHC∽△MHA．故＝＝＝．易得MH＝．由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．故CH＝t，AH＝t．根据题意得到：△MHA∽△DHM，所以该相似三角形的对应边成比例：＝．将相关线段的长度代入求t的值，所以AB＝6t＝2．
【解答】解：（1）∠D＝∠AMP．
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
∴∠D+∠DMA＝60°．
由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．
∴∠D＝∠AMP；

（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．
∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．
∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM．
∴∠MCB＝∠B＝30°．
∴∠MCG＝120°．
∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．
∴∠MAD＝∠MCG．
∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，
∴∠DMA＝∠GMC．
在△MDA与△MGC中，

∴△MDA≌△MGC（ASA）．
∴AD＝CG．
∵CP＝BC．
∴CP＝BP．
∵CG∥BM，
∴△CGP∽△BMP．
∴＝＝．
设CG＝AD＝t，则BM＝3t，AB＝6t．
在Rt△ABC中，cosB＝＝．
∴BC＝3t．
∴＝＝；

（3）如图，由（2）知△CGP∽△BMP．则MD＝MG＝．
∵CG∥MA．
∴∠CGH＝∠AMH．
∵∠GHC＝∠MHA，
∴△GHC∽△MHA．
∴＝＝＝．
∴HG＝MG＝×＝．
∴MH＝﹣＝．
由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．
∴CH＝t，AH＝t．
∵∠MHA＝∠DHM，∠HMA＝∠D．
∴△MHA∽△DHM．
∴＝．
∴MH2＝AH•DH，即（）2＝tt．
解得t1＝，t2＝﹣（舍去）．
∴AB＝6t＝2．

25．（14分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y＝﹣x+3＝0，则x＝4，即点C（4，0），点B（0，3），则抛物线y＝ax2+x+c＝ax2+x+3，将点C坐标代入上式，即可求解；
（2）由S△BCE＝EM×OC＝2（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）令y＝﹣x+3＝0，则x＝4，即点C（4，0），点B（0，3），
则抛物线y＝ax2+x+c＝ax2+x+3，
将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）设点E（x，﹣x2+x+3），则点M（x，﹣x+3），

S△BCE＝EM×OC＝2（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵﹣＜0，故S△BCE有最大值，
此时x＝2，故点M（2，）；
（3）设点P（m，n），点Q（1，s），
①当AM是平行四边形的一条边时，
当点P在对称轴的右侧时，
点M向左平移4个单位向下平移个单位得到A，
同理P（m，n）向左平移4个单位向下平移个单位得到Q（1，s），
即m﹣4＝1，解得：m＝5，故点P（5，﹣）；
当点P在对称轴的左侧时，
同理可得点P（﹣3，﹣）；
②当AM是平行四边形的对角线时，
AM的中点坐标为（0，），此坐标即为PQ的中点坐标，
即m+1＝0，解得：m＝﹣1，
故点P（﹣1，）；
综上，点P（5，﹣）或（﹣3，﹣）或（﹣1，）．