高考数学一轮复习 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β；
(2)cs(α±β)＝cs_αcs_β∓sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3．有关公式的变形和逆用
(1)公式T(α±β)的变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2)公式C2α的变形：
①sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)；
②cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)．
(3)公式的逆用：
①1±sin 2α＝(sin α±cs α)2；
②sin α±cs α＝eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
4．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(,a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a))).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)公式asin x＋bcs x＝eq \r(,a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(,3),2) B.eq \f(\r(,3),2)
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
D [sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－eq \f(1,3)，则cs 2θ＝( )
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5)D.eq \f(4,5)
D [∵cs 2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ).
又∵tan θ＝－eq \f(1,3)，∴cs 2θ＝eq \f(1－\f(1,9),1＋\f(1,9))＝eq \f(4,5).]
4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝eq \r(,3)sin x＋cs x的最小值为________．
－2 [函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的最小值是－2.]
5．若锐角α，β满足(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4，则α＋β＝________.
eq \f(π,3) [由(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4，
可得eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(,3)，即tan(α＋β)＝eq \r(,3).
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,3).]
(1)化简：eq \f(sin 2α－2cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝________.
(2)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))).
(1)2eq \r(,2)cs α [原式＝eq \f(2sin αcs α－2cs2α,\f(\r(,2),2)sin α－cs α)＝2eq \r(,2)cs α.]
(2)原式＝eq \f(－2sin2xcs2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\f(1,2)1－sin22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(\f(1,2)cs22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(1,2)cs 2x.
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
[变式训练1] 化简sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α＝________.
eq \f(1,2) [法一：原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α＝1－cs 2α·cs eq \f(π,3)－sin2α＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
法二：令α＝0，则原式＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 给角求值
(1)eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(,3),2)
C.eq \r(,3)D.eq \r(,2)
(2)sin 50°(1＋eq \r(,3)tan 10°)＝________.
(1)C (2)1 [(1)原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,sin 70°)＝
eq \f(2cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(\r(,3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(,3).
(2)sin 50°(1＋eq \r(,3)tan 10°)
＝sin 50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(,3)·\f(sin 10°,cs 10°)))
＝sin 50°×eq \f(cs 10°＋\r(,3)sin 10°,cs 10°)
＝sin 50°×eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(,3),2)sin 10°)),cs 10°)
＝eq \f(2sin 50°·cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 给值求值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin 2α＝( )
A.eq \f(7,25)B.eq \f(1,5)
C．－eq \f(1,5)D．－eq \f(7,25)
(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cs 2α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝
( )
A.eq \f(1＋3\r(,5),8)B.eq \f(1＋5\r(,3),8)
C.eq \f(1－3\r(,5),8)D.eq \f(1－5\r(,3),8)
(1)D (2)A [(1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，
∴sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).
(2)由7sin α＝2cs 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝eq \f(1,4).∵α为锐角，∴cs α＝eq \f(\r(,15),4)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,15),4)×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(1＋3\r(,5),8)，故选A.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 给值求角
已知sin α＝eq \f(\r(,5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(,10),10)，α，β均为锐角，则角β等于( )
A.eq \f(5π,12)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
C [∵α，β均为锐角，∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又sin(α－β)＝－eq \f(\r(,10),10)，∴cs(α－β)＝eq \f(3\r(,10),10).
又sin α＝eq \f(\r(,5),5)，∴cs α＝eq \f(2\r(,5),5)，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(\r(,5),5)×eq \f(3\r(,10),10)－eq \f(2\r(,5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,10),10)))＝eq \f(\r(,2),2).
∴β＝eq \f(π,4).]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．
2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
已知函数f(x)＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
【导学号：31222124】
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
[解] (1)由已知，有
f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(,3),2)sin 2x))－eq \f(1,2)cs 2x
＝eq \f(\r(,3),4)sin 2x－eq \f(1,4)cs 2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.5分
(2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是减函数，
在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函数，
且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(,3),4)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(,3),4)，最小值为－eq \f(1,2).12分
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(,a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2)B．π
C.eq \f(3π,2)D．2π
(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcs x的最大值为________．
(1)B (2)1 [(1)法一：∵f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x－\f(1,2)sin x))
＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
法二：∵f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)
＝3sin xcs x＋eq \r(3)cs2x－eq \r(3)sin2x－sin xcs x
＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B.
(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcs x
＝sin xcs φ＋cs xsin φ－2sin φcs x
＝sin xcs φ－cs xsin φ＝sin(x－φ)．
∴f(x)max＝1.]
[思想与方法]
三角恒等变换的三种变换角度
(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β)).
(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．
(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．
[易错与防范]
1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．
2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．
课时分层训练(二十一)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
【导学号：31222125】
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
A [因为cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.]
2.eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(,3),2)B.eq \f(\r(,2),2)
C.eq \f(1,2)D．1
C [原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(,3),2)sin 25°,cs 25°)
＝eq \f(sin30°－25°＋\f(\r(,3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2).]
3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＋4cs2eq \f(x,2)(x∈R)的最大值等于
( )
A．5B.eq \f(9,2)
C.eq \f(5,2)D．2
B [由题意知f(x)＝eq \f(3,2)sin x＋4×eq \f(1＋cs x,2)＝eq \f(3,2)sin x＋2cs x＋2≤eq \r(,\f(9,4)＋4)＋2＝eq \f(9,2)，故选B.]
4．(2016·福建师大附中月考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝( )
A．－eq \f(7,8)B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(7,8)
A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－2α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－2α))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2))＝－eq \f(7,8).]
5．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若cs α＝eq \f(1,7)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α sin β,cs α cs β))＝eq \f(3\r(,3),14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，则β等于( )
【导学号：31222126】
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
D [依题意有sin αcs β－cs αsin β＝sin(α－β)＝eq \f(3\r(,3),14)，又0＜β＜α＜eq \f(π,2)，∴0＜α－β＜eq \f(π,2)，
故cs(α－β)＝eq \r(,1－sin2α－β)＝eq \f(13,14)，
而cs α＝eq \f(1,7)，∴sin α＝eq \f(4\r(,3),7)，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(4\r(,3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(,3),14)＝eq \f(\r(,3),2).故β＝eq \f(π,3).]
二、填空题
6.eq \f(sin250°,1＋sin 10°)________.
eq \f(1,2) [eq \f(sin250°,1＋sin 10°)＝eq \f(1－cs 100°,21＋sin 10°)
＝eq \f(1－cs90°＋10°,21＋sin 10°)＝eq \f(1＋sin 10°,21＋sin 10°)＝eq \f(1,2).]
7．(2016·吉林东北师大附中等校联考)已知0＜θ＜π，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，那么sin θ＋cs θ＝________.
－eq \f(1,5) [由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝eq \f(1,7)，解得tan θ＝－eq \f(3,4)，即eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(3,4)，∴cs θ＝－eq \f(4,3)sin θ，
∴sin2θ＋cs2θ＝sin2θ＋eq \f(16,9)sin2θ＝eq \f(25,9)sin2θ＝1.
∵0＜θ＜π，∴sin θ＝eq \f(3,5)，∴cs θ＝－eq \f(4,5)，∴sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5).]
8．化简eq \r(,2＋2cs 8)＋2eq \r(,1－sin 8)＝________.
【导学号：31222127】
－2sin 4 [eq \r(,2＋2cs 8)＋2eq \r(,1－sin 8)
＝eq \r(,21＋cs 8)＋2eq \r(,1－2sin 4cs 4)
＝eq \r(,2×2cs24)＋2eq \r(,sin 4－cs 42)
＝－2cs 4＋2(cs 4－sin 4)＝－2sin 4.]
三、解答题
9．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)＝eq \f(\r(,6),2).
(1)求cs α的值；
(2)若sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求cs β的值．
[解] (1)因为sin eq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(\r(,6),2)，两边同时平方，得sin α＝eq \f(1,2).又eq \f(π,2)＜α＜π，所以cs α＝－eq \f(\r(,3),2).5分
(2)因为eq \f(π,2)＜α＜π，eq \f(π,2)＜β＜π，
所以－π＜－β＜－eq \f(π,2)，故－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).7分
又sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，得cs(α－β)＝eq \f(4,5).
cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－eq \f(\r(,3),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(4\r(,3)＋3,10).12分
10．已知函数f(x)＝eq \f(1－\r(,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))),cs x).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－eq \f(4,3)，求f(α)的值．
[解] (1)要使f(x)有意义，则需cs x≠0，
∴f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).5分
(2)f(x)＝eq \f(1－\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)sin 2x－\f(\r(,2),2)cs 2x)),cs x)
＝eq \f(1＋cs 2x－sin 2x,cs x)＝eq \f(2cs2x－2sin xcs x,cs x)
＝2(cs x－sin x).7分
由tan α＝－eq \f(4,3)，得sin α＝－eq \f(4,3)cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，且α是第四象限角，
∴cs2α＝eq \f(9,25)，则cs α＝eq \f(3,5)，sin α＝－eq \f(4,5).
故f(α)＝2(cs α－sin α)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)＋\f(4,5)))＝eq \f(14,5).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝－eq \f(\r(,2),2)，则cs α＋sin α的值为( )
【导学号：31222128】
A．－eq \f(\r(,7),2)B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(,7),2)
C [∵eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(cs2α－sin2α,\f(\r(,2),2)sin α－cs α)
＝－eq \r(,2)(sin α＋cs α)＝－eq \f(\r(,2),2)，∴sin α＋cs α＝eq \f(1,2).]
2．已知sin α＋sin β＝eq \r(,3)(cs β－cs α)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin 3α＋sin 3β＝________.
0 [由已知得：sin α＋eq \r(,3)cs α＝eq \r(,3)cs β－sin β，
即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))，
又α－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，β＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
故α－eq \f(π,6)＝β＋eq \f(π,6)，即α＝β＋eq \f(π,3).
∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]
3．已知函数f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝2sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))＝eq \r(,3)×eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(,3),2).
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.3分
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.7分
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)，1))，9分
f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1＋\f(\r(,3),2))).
故f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1＋\f(\r(,3),2))).12分
三角函数式的化简
三角函数式的求值
三角变换的简单应用