高考数学一轮复习　第四章 第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

这是一份高考数学一轮复习　第四章 第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共20页。试卷主要包含了化简等内容，欢迎下载使用。
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
[微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β, 1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(必修4P127T2改编)若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C.－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
解析 ∵α是第三象限的角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
答案 C
3.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°＝________.
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(7,9) C.－eq \f(7,9) D.－eq \f(8,9)
解析 因为sin α＝eq \f(1,3)，cs 2α＝1－2sin2α，
所以cs 2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).
答案 B
5.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P(sin 47°，cs 47°)，则sin(α－13°)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.－eq \f(1,2) D.－eq \f(\r(3),2)
解析 由三角函数定义，sin α＝cs 47°，cs α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcs 13°－cs αsin 13°
＝cs 47°cs 13°－sin 47°sin 13°
＝cs(47°＋13°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
答案 A
6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析 由sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcs β＋2cs αsin β＝1，
整理得sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
答案 －eq \f(1,2)
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：eq \f(（1＋sin α＋cs α）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(0