高三数学一轮复习： 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3．有关公式的变形和逆用
(1)公式T(α±β)的变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
(2)公式C2α的变形：
①sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)；
②cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)．
(3)公式的逆用：
①1±sin 2α＝(sin α±cs α)2；
②sin α±cs α＝eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
4．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(,a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a))).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)公式asin x＋bcs x＝eq \r(,a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(,3),2) B.eq \f(\r(,3),2)
C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
D [sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－eq \f(1,3)，则cs 2θ＝( )
A．－eq \f(4,5) B.－eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(4,5)
D [∵cs 2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ).
又∵tan θ＝－eq \f(1,3)，∴cs 2θ＝eq \f(1－\f(1,9),1＋\f(1,9))＝eq \f(4,5).]
4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝eq \r(,3)sin x＋cs x的最小值为_______．
－2 [函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的最小值是－2.]
5．若锐角α，β满足(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4，则α＋β＝________.
eq \f(π,3) [由(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4，
可得eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(,3)，即tan(α＋β)＝eq \r(,3).
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,3).]
(1)化简：eq \f(sin 2α－2cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝________.
(2)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))).
(1)2eq \r(,2)cs α [原式＝eq \f(2sin αcs α－2cs2α,\f(\r(,2),2)sin α－cs α)＝2eq \r(,2)cs α.]
(2)原式＝eq \f(－2sin2xcs2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\f(1,2)1－sin22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(\f(1,2)cs22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(1,2)cs 2x.
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
[变式训练1] 化简：sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－eq \f(1,2)cs 2α·cs 2β＝________.
eq \f(1,2) [法一：原式＝sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－eq \f(1,2)·(2cs2α－1)·(2cs2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cs2α·cs2β－eq \f(1,2)(4cs2α·cs2β－2cs2α－2cs2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cs2α·cs2β＋cs2α＋cs2β－eq \f(1,2)
＝sin2α·sin2β＋cs2α·sin2β＋cs2β－eq \f(1,2)
＝sin2β＋cs2β－eq \f(1,2)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
法二：原式＝eq \f(1－cs 2α,2)·eq \f(1－cs 2β,2)＋eq \f(1＋cs 2α,2)·eq \f(1＋cs 2β,2)－eq \f(1,2)cs 2α·cs 2β
＝eq \f(1,4)(1＋cs 2α·cs 2β－cs 2α－cs 2β)＋eq \f(1,4)(1＋cs 2α·cs 2β＋cs 2α＋cs 2β)－eq \f(1,2)cs 2α·cs 2β＝eq \f(1,2).]
☞角度1 给角求值
(1)eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(,3),2)
C.eq \r(,3) D.eq \r(,2)
(2)sin 50°(1＋eq \r(,3)tan 10°)＝________.
(1)C (2)1 [(1)原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(2cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°,sin 70°)
＝eq \f(\r(,3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(,3).
(2)sin 50°(1＋eq \r(,3)tan 10°)
＝sin 50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(,3)·\f(sin 10°,cs 10°)))
＝sin 50°×eq \f(cs 10°＋\r(,3)sin 10°,cs 10°)
＝sin 50°×eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(,3),2)sin 10°)),cs 10°)
＝eq \f(2sin 50°·cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1.]
☞角度2 给值求值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin 2α＝( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5)
C．－eq \f(1,5) D.－eq \f(7,25)
(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cs 2α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝
( )
A.eq \f(1＋3\r(,5),8) B.eq \f(1＋5\r(,3),8)
C.eq \f(1－3\r(,5),8) D.eq \f(1－5\r(,3),8)
(1)D (2)A [(1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，
∴sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).
(2)由7sin α＝2cs 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝eq \f(1,4).∵α为锐角，∴cs α＝eq \f(\r(,15),4)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,15),4)×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(1＋3\r(,5),8)，故选A.]
☞角度3 给值求角
(2014·全国卷Ⅰ)设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则
( )
A．3α－β＝eq \f(π,2) B.2α－β＝eq \f(π,2)
C．3α＋β＝eq \f(π,2) D.2α＋β＝eq \f(π,2)
B [法一：由tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)得eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1＋sin β,cs β)，
即sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，
∴sin(α－β)＝cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
由sin(α－β)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq \f(π,2)－α，
∴2α－β＝eq \f(π,2).
法二：tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)))
＝eq \f(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2))),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2))))
＝cteq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))
＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(β,2)))，
∴α＝kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(β,2)))，k∈Z，
∴2α－β＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
当k＝0时，满足2α－β＝eq \f(π,2)，故选B.]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．
2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
已知函数f(x)＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
【导学号：01772124】
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
[解] (1)由已知，有
f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(,3),2)sin 2x))－eq \f(1,2)cs 2x
＝eq \f(\r(,3),4)sin 2x－eq \f(1,4)cs 2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.5分
(2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是减函数，
在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函数，
且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(,3),4)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(,3),4)，最小值为－eq \f(1,2).12分
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(,a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2) B.π
C.eq \f(3π,2) D.2π
(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcs x的最大值为________．
(1)B (2)1 [(1)法一：∵f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x－\f(1,2)sin x))
＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
法二：∵f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)
＝3sin xcs x＋eq \r(3)cs2x－eq \r(3)sin2x－sin xcs x
＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B.
(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcs x
＝sin xcs φ＋cs xsin φ－2sin φcs x
＝sin xcs φ－cs xsin φ＝sin(x－φ)．
∴f(x)max＝1.]
[思想与方法]
三角恒等变换的三种变换角度
(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β)).
(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．
(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．
[易错与防范]
1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．
2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．
三角函数式的化简
三角函数式的求值
三角变换的简单应用