高三数学一轮复习： 第8章 第5节 椭 圆

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1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
D [椭圆的焦点在x轴上，c＝1.
又离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.]
3．(2015·广东高考)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝
( )
A．2 B.3
C．4 D.9
B [由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
B [如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·eq \f(b,2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).]
5．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．
3 [直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，
此时，|AB|＝2×eq \f(b2,a)＝eq \f(2×3,2)＝3，
∴S△FAB＝eq \f(1,2)×2×3＝3.]
(1)如图8­5­1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
【导学号：01772310】
图8­5­1
A．椭圆 B.双曲线
C．抛物线 D.圆
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0(1)A (2)x2＋eq \f(3,2)y2＝1 [(1)由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
(2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，
则F1(－c,0)，F2(c,0)．
∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0又|AF1|＝3|F1B|，得eq \(AF1,\s\up13(→))＝3eq \(F1B,\s\up13(→))，
设B(x0，y0)，则(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)，
∴x0＝－eq \f(5c,3)且y0＝－eq \f(b2,3)，
代入椭圆x2＋eq \f(y2,b2)＝1，得25c2＋b2＝9，①
又c2＝1－b2，②
联立①②，得b2＝eq \f(2,3).
故椭圆E的方程为x2＋eq \f(3,2)y2＝1.]
[规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换．
2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练1] (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF1,\s\up13(→))⊥eq \(PF2,\s\up13(→)).
若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．
(1)3 (2)eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 [(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且eq \(PF1,\s\up13(→))⊥eq \(PF2,\s\up13(→))，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×2b2＝9，因此b＝3.
(2)依题意，设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))必在椭圆上，
∴eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.]
(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
A [法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝eq \f(y0,a－c)，从而直线AM的方程为y＝eq \f(y0,a－c)(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝eq \f(ay0,a－c).
同理，OE的中点N的纵坐标yN＝eq \f(ay0,a＋c).
∵2yN＝yE，∴eq \f(2,a＋c)＝eq \f(1,a－c)，即2a－2c＝a＋c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).
法二：如图，设OE的中点为N，由题意知
|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.
∵PF∥y轴，
∴eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|AF|,|AO|)＝eq \f(a－c,a)，eq \f(|MF|,|ON|)＝eq \f(|BF|,|OB|)＝eq \f(a＋c,a).
又eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|MF|,2|ON|)，即eq \f(a－c,a)＝eq \f(a＋c,2a)，
∴a＝3c，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).]
[规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．
2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
[变式训练2] (2015·福建高考)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq \f(4,5)，所以1≤b<2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,4)).因为1≤b<2，所以0☞角度1 由位置关系研究椭圆的方程与性质
已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为eq \f(c,2).
【导学号：01772311】
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图8­5­2，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq \f(5,2)的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
图8­5­2
[解] (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(bc,a)，3分
由d＝eq \f(1,2)c，得a＝2b＝2 eq \r(a2－c2)，解得离心率eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).5分
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝eq \r(10).
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.8分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8k2k＋1,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(42k＋12－4b2,1＋4k2).
由x1＋x2＝－4，得－eq \f(8k2k＋1,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq \f(1,2).
从而x1x2＝8－2b2.10分
于是|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)|x1－x2|
＝eq \f(\r(5),2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(10b2－2).
由|AB|＝eq \r(10)，得eq \r(10b2－2)＝eq \r(10)，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.12分
☞角度2 由位置关系研究直线的性质
(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，点(2，eq \r(2))在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意有eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(4,a2)＋eq \f(2,b2)＝1，
解得a2＝8，b2＝4.3分
所以C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.5分
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分
将y＝kx＋b代入eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.9分
故xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq \f(b,2k2＋1).
于是直线OM的斜率kOM＝eq \f(yM,xM)＝－eq \f(1,2k)，
即kOM·k＝－eq \f(1,2).
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分
[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．
[思想与方法]
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝eq \f(c,a)求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[易错与防范]
1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．
3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
椭圆的定义与标准方程
椭圆的几何性质
直线与椭圆的位置关系