备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（五十七） 椭 圆

课时验收评价（五十七） 椭 圆

一、点全面广强基训练

1.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　 )

A．4       B．3      C．2  D．5

解析：选A　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.

2．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　 )

A.＋y2＝1  B.＋＝1

C.＋x2＝1  D.＋＝1

解析：选D　由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.

3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　 )

A．13       B．12      C．9  D．6

解析：选C　由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.

4．P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　 )

A.       B.       C.  D.

解析：选D　不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.

5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 )

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋y2＝1

解析：选B　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B.

6．(2022·深圳二模)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则C的方程可以为__________________．

解析：因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a＞b＞0，因为离心率为，所以＝，所以＝＝，则＝，故C的方程可以为＋＝1.

答案：＋＝1(答案不唯一)

7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, )．

答案：(3，)

8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．

解析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e＜1.

答案：

9.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．

解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1.

10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.

(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，

即c|y|＝16　①，x2＋y2＝c2　②，

＋＝1　③.

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.

又由①知y2＝，故b＝4.

由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，

所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，

故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．

二、重点难点培优训练

1．函数y＝a3－x(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)上，则m＋n的最小值为(　 )

A．12  B．14 

C．16  D．18

解析：选C　由3－x＝0，即x＝3，得y＝1，所以A(3,1)．因为点A在椭圆＋＝1上，所以＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋n＝(m＋n)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当m＝12，n＝4时，等号成立，所以m＋n的最小值为16.故选C.

2．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　 )

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得＜e＜.

3．(2023·南昌摸底考试)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　 )

A.  B. 

C．8  D.

解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9，

则c＝＝＝4，

∴|F1F2|＝2c＝8.

由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64.

∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，

∴|PF1|·|PF2|＝18.

又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|

＝|F1F2|·|PH|，

∴|PH|＝＝.故选D.

4．已知椭圆C的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意得解得c＝.

所以b2＝a2－c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．

由题设知m≠±2，且n≠0.

直线AM的斜率kAM＝，

故直线DE的斜率kDE＝－.

所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．

直线BN的方程为y＝(x－2)．

联立

解得点E的纵坐标yE＝－.

由点M在椭圆C上，

得4－m2＝4n2，

所以yE＝－n.

又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，

S△BDN＝|BD|·|n|，

所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.