2021年四川省泸县第一次教学质量诊断性考试数学试题（word版 含答案）

2021年四川省泸县第一次教学质量诊断性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．方程的根是（　　　）

A． B． C． D．

2．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

3．下利事件中，是必然事件的是（ ）

A．将油滴在水中，油会浮在水面上

B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯

C．如果，那么

D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上

4．下面4个图案中，是中心对称图形的是（     ）

A． B． C． D．

5．将一元二次方程配方，其正确的结果是（    ）

A． B． C． D．

6．抛物线的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

7．从，0，，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，点、、在⊙O上，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，是⊙O的切线，切点为，，，则⊙O的半径长为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

10．如图，已知中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是（　　）

A．8 B． C． D．

11．关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（　　）

A．-8 B．-5 C．1 D．2

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（　 　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．⊙O的半径为，则⊙O的内接正方形的面积是_____．

14．抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是_____．

15．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_____．

16．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．

三、解答题

17．解方程：．

18．已知关于x的一元二次方程有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m为负整数时，求方程的两个根．

19．如图，是⊙O的内接等边三角形，弦交于点，连接．

（1）求的度数；

（2）若，，求的长．

20．如图，正方形网格中，为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转得到．

（1）在正方形网格中，作出；（不要求写作法）

（2）设网格小正方形的边长为，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留）

21．某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出20件．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可多售出5件．另外，每天的房租等固定成本共25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？

22．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

23．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　   　人，在扇形统计图中，m的值是　   　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．

24．如图，直线经过上的点直线与交于点和点与交于点连接已知．

求证：直线是的切线；

；

求的长．

25．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

【分析】

本题可用因式分解法，提取x后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x．

【详解】

解：∵x2-2x=0

∴x（x-2）=0，

可得x=0或x-2=0，

解得：x=0或x=2．

故选：C．

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用

2．D

【分析】

把代入方程得，然后解关于的方程．

【详解】

解：把代入方程，得：，

解得：．

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键．

3．A

【详解】

试题分析：选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.

考点：必然事件；随机事件.

4．A

【详解】

试题分析：根据中心对称图形的概念知A是中心对称图形，故选A．

考点：中心对称图形．

5．D

【分析】

两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．

【详解】

解：，

配方得：，即．

故选：D．

【点睛】

本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．

6．B

【分析】

根据抛物线的顶点式可以得到答案 ．

【详解】

解：由抛物线的顶点式可以得到y=2(x−1)2+3 的顶点坐标是（1，3），

故选B．

【点睛】

本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．

7．C

【分析】

从所列五个实数中找到有理数的个数，利用概率公式求解即可．

【详解】

解：在所列的5个实数中，是有理数的有0，3.14，这3个数，

所以随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．

故选：C．

【点睛】

本题考查有理数的定义以及简单的概率计算．根据有理数的定义找出五个数中有理数的个数是解题的关键．

8．A

【分析】

直接利用圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵，，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．

9．C

【分析】

连接OA，根据切线的性质得，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出OA即可.

【详解】

解：连接OA，如图，

∵是的切线，切点为A，

∴，

∴，

∵，

∴，

即的半径长为2．

故选：C．

【点睛】

本题考查切线的性质，含30度角的直角三角形的性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键．

10．D

【分析】

由旋转可知，点A经过的路线是弧长，计算出半径和圆心角即可．

【详解】

解：中，，

∵，，

∴，，

∵A、、三点在同一条直线上，

∴，

由弧长公式可知：

点A经过的路线长度为：.

故选：D．

【点睛】

本题考查旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及弧长公式．利用旋转的性质求出点A经过的弧的半径和圆心角是解答本题的关键．

11．C

【分析】

先根据得到的范围，再将所求式子变形，用根与系数关系把它表示成的代数式，最后根据k的范围得到所求代数式的最小值．

【详解】

解：∵有两个实数根，

∴即，

整理得，

解得；

∵、是的两个实数根，

∴，，

，

，

，

，

∵1，关于k的二次函数开口向上，

又∵对称轴为k=-5，在对称轴的右侧关于k的二次函数随着k的增大而增大，

又∵，

∴时，的值最小为．

故选：C．

【点睛】

本题考查元二次方程的根与判别式，利用根与系数关系，将代数式转化为二次函数，利用函数增减性求代数式的最小值是解题关键．

12．B

【分析】

根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，即可判定④.

【详解】

由抛物线的对称轴为x=2可得=2，即4a+b=0，①正确；

观察图象可得，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，所以，②错误；

观察图象可得，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，③正确；

观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，④错误．

综上，正确的结论有2个.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

13．8

【分析】

由正方形的性质得出、是直径，求出对角线的长，即可得出正方形的面积．

【详解】

解：如图所示：

∵四边形是的内接正方形，

∴，，

∴、是直径，

∵的半径为，

∴，

∴正方形的面积，

故答案为：8．

【点睛】

本题考查圆内接正方形的性质．掌握圆内接正方形的对角线即为圆的直径是解答本题的关键．

14．

【分析】

先求原抛物线的顶点坐标，根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点为坐标原点（0，0），

又∵抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，

∴平移后的抛物线顶点坐标为，

∴抛物线解析式是，

∴平移后的抛物线解析式是．

故答案是：．

【点睛】

本题考查抛物线平移问题，掌握抛物线平移的实质是将原抛物线顶点进行平移，利用顶点式求解析式是解题关键．

15．3≤OP≤5．

【分析】

根据垂线段最短，由垂径定理求出OP最小值，最大值为半径长.

【详解】

如图：连接OA，作OM⊥AB与M，

∵⊙O的直径为10，

∴半径为5，

∴OP的最大值为5，

∵OM⊥AB与M，

∴AM＝BM，

∵AB＝8，

∴AM＝4，

在Rt△AOM中，OM＝，

OM的长即为OP的最小值，

∴3≤OP≤5．

【点睛】

本题考查垂径定理，垂线段最短，勾股定理，垂径定理是解决圆问题的重要知识点.

16．或

【分析】

由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．

【详解】

解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）

而对称轴x＝1

∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）

当＞0时，图象在x轴上方

此时x＜﹣1或x＞3

故答案为x＜﹣1或x＞3．

【点睛】

本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．

17．，

【分析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【详解】

解：移项得：，

提公因式x-1得：，

∴或，

解得：，．

【点睛】

本题考查解一元二次方程．掌握利用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．

18．（1）；（2），

【分析】

（1）一元二次方程有实数根，则，代入系数即可求解；

（2）根据（1）中m的取值范围得到m的取值，代入方程求解即可．

【详解】

解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根

∴

解得：

（2）∵，m为负整数

∴

∴方程为

∴，

【点睛】

本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程的解法，熟记时，一元二次方程有实数根是解题的关键．

19．（1）60°；（2）

【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求解．

（2）证明，利用对应边成比例，求出，即可求出．

【详解】

解：（1）∵是的内接等边三角形．

∴．

∵对的圆周角为和．

∴．

（2）由（1）可知：．

∵．

∴，

∴．

∴．

∴．

∵是等边三角形．

∴．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点．利用数形结合的思想是解题关键．

20．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）按照将绕点按逆时针方向旋转的要求，画出图形；

（2）根据旋转的知识可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为4的扇形，由扇形面积公式求解即可．

【详解】

（1）作图如下：

（2）根据网格图知：，．

即线段所扫过的图形为圆心角为，半径为4的扇形，

其面积为．

【点睛】

本题考查画旋转图形，扇形的面积公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

21．应将每件衣服的售价降低1元或5元

【分析】

设应将每件衣服的售价降低元，则每件的利润为元，每天可售出件，利用每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量﹣固定成本，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：设应将每件衣服的售价降低元，则每件的利润为元，每天可售出件，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，销量为件，

当时，销量为件，所以为了促销，每件衣服应降价元，

答：为了促销，应将每件衣服的售价降低5元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用．根据题意找出等量关系列出一元二次方程是解答本题的关键．

22．（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是；（2）在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是

【分析】

（1）在中，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解，再用较大的值减去较小的值即可得出答案．

（2）将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

【详解】

解：（1）∵，

∴令，得，

解得，，

∵，

∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是．

（2）

，

∴当时，取得最大值，最大值为20.

∴在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是．

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用．掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．

23．（1）50、30%．（2）补图见解析；（3）.

【详解】

试题分析：（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；

（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．

试题解析：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；

故答案为50；30%；

（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：

（3）∵5﹣2=3（名），∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，

所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一男一女）==．

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；应用题；数据的收集与整理．

24．（1）①详见解析②详见解析；（2）

【分析】

（1）①连接根据等腰三角形性质，证明即可；

②根据等腰三角形性质，证明再根据圆周角定理证明即可；

（2）连接交于连接，根据勾股定理求出EF=8，证明G为EF中点，根据中位线定理求出OG=3，进而求出EG=4，CG=2，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出．

【详解】

解：（1）证明：连接

直线是的切线．

（2）连接交于连接．

是直径，

∴

，

，

，

，

∴OG为△DEF中位线，

在中，

在中，

【点睛】

本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

25．（1）；（2）存在，或或或；（3）存在，或或.

【分析】

（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；

（2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标；

（3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点．

【详解】

解：（1）把、、三点代入抛物线解析式得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

（2）存在，

由，

则顶点，对称轴为直线，

∴，

∵、，

∴，，

分两种情况讨论：

①当时，

∴，即，

∴，

∴或，

②当时，

∴，即，

∴，

∴或，

综上，点的坐标为或或或；

（3）存在，

设直线的解析式为：，

∴，解得：，

∴直线的解析式为：，

当时，，

∴，

∴设过点与直线平行的直线为：，

将点代入，得，

解得，，

∴过点与直线平行的直线解析式为：，

联立，解得：，，

∵，

∴，

设过点与直线平行的直线为：，

同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：，

联立，解得：，，

∴的坐标为或，

综上，点的坐标为或或．

【点睛】

本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．