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山东省济南市历城区2021年中考一模数学试题（word版 含答案）
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这是一份山东省济南市历城区2021年中考一模数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省济南市历城区2021年中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．世界最大的单口径球面射电望远镜（FAST）被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒．数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，垂足为B，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如下，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10分 B．乙班成绩的中位数是9分
C．甲班的成绩的平均数是8.6分 D．乙班成绩的方差是2
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
10．如图，扇形的圆心角是直角，半径为，C为边上一点，将沿边折叠，圆心O恰好落在弧上，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
11．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
12．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式：_____．
14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
15．化简：__________．
16．在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是________．
17．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行．图中的，分别表示甲、乙离B地的距离与甲出发后所用时间的函数关系图象，则甲出发_______小时与乙相遇．
18．如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．已知：如图，在菱形中，E，F分别在边，上，且，求证：．
22．某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
4
8
a
6
7
4
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的_______，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是_________；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
23．如图，已知，，以为直径作，交于点D，过D点作的切线交边于点C，交的延长线于点P．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
24．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
25．如图，直线与双曲线的交点为，与x轴的交点为，点C为双曲线上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当时，求的面积；
（3）如图2，当时，求点C的坐标．
26．在中，，点P为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，为______度；
（2）如图2，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的最小值．
27．如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作轴，交线段于点Q．
①当为直角三角形时，求m的值；
②当时，若，求m的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据相反数的定义选出正确选项．
【详解】
解：的相反数是．
故选：D．
【点睛】
本题考查相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义．
2．A
【分析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】
解：从左面看，是一列2个小正方形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．A
【分析】
科学计数法的表示形式为，当表示较小数时，n的值为原数中第一个非零数前边所有0的个数（包括小数点前边的0）的相反数，由此表示即可.
【详解】
解：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了科学计数法，灵活的利用科学计数法表示较小数是解题的关键.
4．C
【分析】
首先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再利用平行线的性质可得∠ABF的度数．
【详解】
解：∵BD⊥CF，
∴∠DBC=90°，
∵∠BDC=55°，
∴∠C=180°-90°-55°=35°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠C=35°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5．C
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】
由轴对称图形的定义可得C选项是符合题意的，A，B，D均不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
6．B
【分析】
依次按照众数、中位数、平均数和方差的定义计算后判断即可．
【详解】
解：A．甲班成绩中9分和10分出现的次数最多为3次，故众数为9分和10分，原选项说法不正确，不符合题意；
B.乙班成绩从小到大，第5个人和第6个人的成绩依次为9分和9分，故中位数是9分，说法正确，符合题意；
C.甲班的平均数为：分，原选项说法错误，不符合题意；
D. 乙班的平均数为：分，方差为：，原选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查求众数、中位数、平均数和方差．注意众数可能有多个，中位数要排序．熟记平均数和方差的计算公式是解题关键．
7．B
【分析】
分别求出各个不等式的解，再取公共部分，画出数轴，即可．
【详解】
，
由①得：x≤1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：x≤1，
不等式组的解在数轴上表示为：
故选B．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组以及解在数轴上的表示法，掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
8．D
【分析】
根据点A的坐标以及平移后点A的对应点的坐标可以找出平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．
【详解】
∵点A(0，6)平移后的对应点为(10,10)，10－0＝10，10－6＝4，
∴线段AB向右平移了10个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B（-3，-3）的对应点的坐标为(－3＋10，－3＋4)，即(7，1)，
故选D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出线段平移的方向与距离．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．
9．C
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
10．A
【分析】
根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．
【详解】
解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积=．
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，推出△OAD是等边三角形，利用数形结合的思想解答．
11．C
【分析】
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈66cm，
∴CEBC−BE＝66−40＝22cm．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
12．C
【分析】
化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是在x=0或x=4时取得的，结合即可得m取值范围．
【详解】
解：，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时，得，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．
13．
【分析】
直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
．
【点睛】
考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．
14．8
【详解】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
15．
【分析】
利用单项式乘多项式法则以及完全平方公式，即可求解．
【详解】
解：原式=
=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式法则以及完全平方公式，是解题的关键．
16．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有2种情况，
∴摸到的两个球都是红球的概率为：＝．
故答案是：．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．1.4
【分析】
利用待定系数法求得两个函数解析式，联立求解即可．
【详解】
解：设对应的函数解析式为，
将和代入得：，解得，即；
设对应的函数解析式为，
将和代入得：，解得，即；
联立 得，
∴甲出发1.4小时与乙相遇．
故答案为：1.4．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，主要考查利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数与二元一次方程组的关系．能正确求得函数解析式是解题关键．
18．2
【分析】
如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A交MN于K，设AM＝M＝x，在Rt△MG中，利用勾股定理求出AM的长，利用sin∠MAK＝＝，求出MK的长，再证明MN＝4MK，即可解决问题．
【详解】
解：如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A 交MN于K．
由题意四边形DCE 是正方形，△DG是等腰直角三角形，
∴DG＝G＝3，AG＝AD−DG＝9，设AM＝M＝x，
在Rt△MG中，x2＝（9−x）2＋32，
∴x＝5，A＝，
∵sin∠MAK＝＝，
∴，解得：MK=，
∵AM∥O，AK＝K，
∴MK＝KO，
∵BN∥H∥AD，D＝E，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2
故答案为2．
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．4
【分析】
先算零指数幂，负整数指数幂，锐角三角函数以及二次根式，再算加减法，即可求解．
【详解】
原式=
=4．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，锐角三角函数以及分母有理化，是解题的关键．
20．，．
【分析】
先计算括号内的，再将除法化为乘法，分别给各部分因式分解后，约分，再将值代入计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=，
将代入，
原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值．掌握通分和约分以及因式分解是解题关键．
21．证明见解析
【分析】
由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CB-CE=CD-CF，即DF=BE．可证△ADF≌△ABE，所以AE=AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．
又∵CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，
即DF=BE．
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE=AF．
【点睛】
此题主要是利用菱形的性质求证全等三角形，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
22．（1）6，3；（2）补全条形统计图见解析；（3）；（4）该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人．
【分析】
（1）结合数据统计即可；
（2）根据（1）中的结果，补全条形统计图即可；
（3）“8分”对应的圆心角的度数等于360°乘以它所对应的百分比；
（4）用400乘以不低于8分所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）由样本可知，符合7.7≤x≤9.5的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个，
∴a=6，
符合3.0≤x≤5.2的有5，5.1，4.8共3个，
∴b=3，
故答案为：6，3；
（2）补全条形统计图如图：
（3）∵，
∴“8分”对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
（4）∵（人）
∴该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人．
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等．理解统计图表中的数量关系是正确计算的前提．
23．（1）见详解；（2）3
【分析】
（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，由，OA=OD，可得∠E=∠ODA，从而得OD∥BE，进而即可得到结论；
（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30°得到BC的长．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PC，
∵，
∴∠EAB=∠E，
∵OA=OD，
∴∠EAB=∠ODA，
∴∠E=∠ODA，
∴OD∥BE，
∴
（2）解：∵OD∥BE，
∴∠DOP＝∠ABC＝60°，
在Rt△POD中，∵∠P＝90°−∠DOP＝30°，
∴OD＝PD＝×2＝2，
∴PO＝2OD＝4，
∴PB＝PO＋OB＝6，
在Rt△PBC中，BC＝PB＝3．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30°的直角三角形三边的关系，关键是添加辅助线构造直角三角形．
24．（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
【分析】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断购买方案．
【详解】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】
本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键．
25．（1）a=2，；（2）；（3）(，)．
【分析】
（1）把代入，求得b的值，从而求出a的值，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，延长DA、EC交于点F，则DF⊥EF，如图1，利用割补法的面积=---，进而即可求解；
（3）作CH⊥x轴于点H，OM⊥AB于点M，∠CFO=45°，如图2，设点C坐标为(x，)，则OH=x，CH=，先证明，可得∠BAO=∠FOC，结合tan∠COH=tan∠BAO=，即可求解．
【详解】
（1）∵直线与x轴的交点为，
∴-1+b=0，即：b=1，
∴y=x+1，
∵直线与双曲线的交点为，
∴a=1+1=2，即A(1，2),
把A(1，2)代入，可得：，即：k=2，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，延长DA、EC交于点F，则DF⊥EF，如图1，
设直线OC的解析式为：，
∵OC∥AB，由（1）可知，直线AB的解析式为：y=x+1，
∴k1=1，即：直线OC的解析式为：，
联立，解得：（负值舍去），
∴C(，)，
∵A(1，2)，
∴OD=EF=2，DF=OE=，AD=1，CE=，AF=-1，CF=2-，
∴，，，
，
∴的面积=---=；
（3）作CH⊥x轴于点H，OM⊥AB于点M，∠CFO=45°，如图2，设点C坐标为(x，)，则OH=x，CH=，
∵∠AOF=∠ABO+∠BAO，即∠AOC+∠FOC=∠ABO+∠BAO，
又∵∠ABO=∠AOC=45°，
∴∠BAO=∠FOC，
∴，
∴∠BAO=∠FOC，
∵A(1，2)，B(-1，0)，
∴AB=，
又∵∠ABO=45°，
∴BM=OM=，
∴AM=AB-BM=，
∴tan∠BAO=，即：tan∠COH=，
解得：，（不合题意，舍去），
∴==，即点C的坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数、一次函数与几何图形的综合以及相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
26．（1）PA＝DC，60；（2）CD＝PA．理由见详解；（2）+
【分析】
（1）先证明△ABC，△PBD是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，进而线段与线段的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；
（2）证明△CBD∽△ABP，可得，解决问题；
（3）过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC，
过点B作BG⊥BA于点G，当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小，由，得，结合勾股定理求出GP，从而得CP，进而即可求解．
【详解】
（1）①证明： ∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
设BD交PC于点O，如图1，
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
故答案是：PA＝DC，60；
（2）解：结论：CD＝PA．理由如下：
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴=，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴，
∴CD＝PA；
（3） 过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC，
过点B作于点G，则BG=AB×sin∠BAG=2×sin60°=3，AG= AB×cos∠BAG=．
当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小，
∵∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN，
∴，
∴，
设GP=x，则AP=-x，BP=3x，
∴，解得：x=，
∴BP=，AP=-，
∴CP=AC+AP=2+-=3-，
∴最小值=+×(3-)=+．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N．
27．（1）抛物线的表达式为y=x2+x-3；（2）①m=-2或-1时，△PAQ是直角三角形；②．
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分两种情形：∠QAP=90°或∠APQ=90°，分别求解即可；
②如图，连接AC，BC，BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，过点F作FH⊥CM于H．首先证明∠MCF=∠FCO，可得△CFH≌△CFO（AAS），推出CH=CO=3，，设FM=g，HM=f，构建方程组求出g，f，再求出直线CM的解析式，可得结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3经过点A（1，-1）、B（-3，3），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y=x2+x-3；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+n，
则将A（1，-1）、B（-3，3）代入
∴，解得，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴∠QAP=90°或∠APQ=90°，∠AQP=45°，
当∠APQ=90°，
点P的纵坐标与点A 的纵坐标相同为-1，
将y=-1代入y=x2+x-3得
，解得，（舍去）
即m=-2；
当∠QAP=90°时，设直线AP的解析式为，
将A（1，-1）代入得，解得，
∴，
联立，解得（舍去）或，
∴P（-1，-3），此时m=-1，
综上所述m=-2或-1时，△PAQ是直角三角形；
②如图，连接AC，BC，BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，过点F作FH⊥CM于H．
∵A（1，-1），B（-3，3），C（0，-3），
∴，
∴∠ACO=∠BCO，
∵∠ACP=3∠ACO，
∴∠MCF=∠FCO，
∵∠FHC=∠FOC=90°，CF=CF，
∴△CFH≌△CFO（AAS），
∴CH=CO=3，，
设直线BC的解析式为，将B（-3，3）代入，解得，
∴，当y=0时，，即，即，
故，
设FM=f，HM=g，则有，
解得，
∴，
∴M（-4，0），
设直线CM的解析式为，将M（-4，0）代入可得，解得
，所以，
联立，解得，或（舍去）
∴，
∴．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
山东省济南市历城区2021年中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．世界最大的单口径球面射电望远镜（FAST）被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒．数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，垂足为B，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如下，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10分 B．乙班成绩的中位数是9分
C．甲班的成绩的平均数是8.6分 D．乙班成绩的方差是2
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
10．如图，扇形的圆心角是直角，半径为，C为边上一点，将沿边折叠，圆心O恰好落在弧上，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
11．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
12．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式：_____．
14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
15．化简：__________．
16．在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是________．
17．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行．图中的，分别表示甲、乙离B地的距离与甲出发后所用时间的函数关系图象，则甲出发_______小时与乙相遇．
18．如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．已知：如图，在菱形中，E，F分别在边，上，且，求证：．
22．某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
4
8
a
6
7
4
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的_______，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是_________；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
23．如图，已知，，以为直径作，交于点D，过D点作的切线交边于点C，交的延长线于点P．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
24．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
25．如图，直线与双曲线的交点为，与x轴的交点为，点C为双曲线上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当时，求的面积；
（3）如图2，当时，求点C的坐标．
26．在中，，点P为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，为______度；
（2）如图2，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的最小值．
27．如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作轴，交线段于点Q．
①当为直角三角形时，求m的值；
②当时，若，求m的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据相反数的定义选出正确选项．
【详解】
解：的相反数是．
故选：D．
【点睛】
本题考查相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义．
2．A
【分析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】
解：从左面看，是一列2个小正方形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．A
【分析】
科学计数法的表示形式为，当表示较小数时，n的值为原数中第一个非零数前边所有0的个数（包括小数点前边的0）的相反数，由此表示即可.
【详解】
解：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了科学计数法，灵活的利用科学计数法表示较小数是解题的关键.
4．C
【分析】
首先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再利用平行线的性质可得∠ABF的度数．
【详解】
解：∵BD⊥CF，
∴∠DBC=90°，
∵∠BDC=55°，
∴∠C=180°-90°-55°=35°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠C=35°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5．C
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】
由轴对称图形的定义可得C选项是符合题意的，A，B，D均不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
6．B
【分析】
依次按照众数、中位数、平均数和方差的定义计算后判断即可．
【详解】
解：A．甲班成绩中9分和10分出现的次数最多为3次，故众数为9分和10分，原选项说法不正确，不符合题意；
B.乙班成绩从小到大，第5个人和第6个人的成绩依次为9分和9分，故中位数是9分，说法正确，符合题意；
C.甲班的平均数为：分，原选项说法错误，不符合题意；
D. 乙班的平均数为：分，方差为：，原选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查求众数、中位数、平均数和方差．注意众数可能有多个，中位数要排序．熟记平均数和方差的计算公式是解题关键．
7．B
【分析】
分别求出各个不等式的解，再取公共部分，画出数轴，即可．
【详解】
，
由①得：x≤1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：x≤1，
不等式组的解在数轴上表示为：
故选B．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组以及解在数轴上的表示法，掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
8．D
【分析】
根据点A的坐标以及平移后点A的对应点的坐标可以找出平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．
【详解】
∵点A(0，6)平移后的对应点为(10,10)，10－0＝10，10－6＝4，
∴线段AB向右平移了10个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B（-3，-3）的对应点的坐标为(－3＋10，－3＋4)，即(7，1)，
故选D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出线段平移的方向与距离．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．
9．C
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
10．A
【分析】
根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．
【详解】
解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积=．
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，推出△OAD是等边三角形，利用数形结合的思想解答．
11．C
【分析】
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈66cm，
∴CEBC−BE＝66−40＝22cm．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
12．C
【分析】
化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是在x=0或x=4时取得的，结合即可得m取值范围．
【详解】
解：，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时，得，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．
13．
【分析】
直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
．
【点睛】
考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．
14．8
【详解】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
15．
【分析】
利用单项式乘多项式法则以及完全平方公式，即可求解．
【详解】
解：原式=
=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式法则以及完全平方公式，是解题的关键．
16．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有2种情况，
∴摸到的两个球都是红球的概率为：＝．
故答案是：．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．1.4
【分析】
利用待定系数法求得两个函数解析式，联立求解即可．
【详解】
解：设对应的函数解析式为，
将和代入得：，解得，即；
设对应的函数解析式为，
将和代入得：，解得，即；
联立 得，
∴甲出发1.4小时与乙相遇．
故答案为：1.4．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，主要考查利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数与二元一次方程组的关系．能正确求得函数解析式是解题关键．
18．2
【分析】
如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A交MN于K，设AM＝M＝x，在Rt△MG中，利用勾股定理求出AM的长，利用sin∠MAK＝＝，求出MK的长，再证明MN＝4MK，即可解决问题．
【详解】
解：如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A 交MN于K．
由题意四边形DCE 是正方形，△DG是等腰直角三角形，
∴DG＝G＝3，AG＝AD−DG＝9，设AM＝M＝x，
在Rt△MG中，x2＝（9−x）2＋32，
∴x＝5，A＝，
∵sin∠MAK＝＝，
∴，解得：MK=，
∵AM∥O，AK＝K，
∴MK＝KO，
∵BN∥H∥AD，D＝E，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2
故答案为2．
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．4
【分析】
先算零指数幂，负整数指数幂，锐角三角函数以及二次根式，再算加减法，即可求解．
【详解】
原式=
=4．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，锐角三角函数以及分母有理化，是解题的关键．
20．，．
【分析】
先计算括号内的，再将除法化为乘法，分别给各部分因式分解后，约分，再将值代入计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=，
将代入，
原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值．掌握通分和约分以及因式分解是解题关键．
21．证明见解析
【分析】
由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CB-CE=CD-CF，即DF=BE．可证△ADF≌△ABE，所以AE=AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．
又∵CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，
即DF=BE．
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE=AF．
【点睛】
此题主要是利用菱形的性质求证全等三角形，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
22．（1）6，3；（2）补全条形统计图见解析；（3）；（4）该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人．
【分析】
（1）结合数据统计即可；
（2）根据（1）中的结果，补全条形统计图即可；
（3）“8分”对应的圆心角的度数等于360°乘以它所对应的百分比；
（4）用400乘以不低于8分所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）由样本可知，符合7.7≤x≤9.5的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个，
∴a=6，
符合3.0≤x≤5.2的有5，5.1，4.8共3个，
∴b=3，
故答案为：6，3；
（2）补全条形统计图如图：
（3）∵，
∴“8分”对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
（4）∵（人）
∴该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人．
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等．理解统计图表中的数量关系是正确计算的前提．
23．（1）见详解；（2）3
【分析】
（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，由，OA=OD，可得∠E=∠ODA，从而得OD∥BE，进而即可得到结论；
（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30°得到BC的长．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PC，
∵，
∴∠EAB=∠E，
∵OA=OD，
∴∠EAB=∠ODA，
∴∠E=∠ODA，
∴OD∥BE，
∴
（2）解：∵OD∥BE，
∴∠DOP＝∠ABC＝60°，
在Rt△POD中，∵∠P＝90°−∠DOP＝30°，
∴OD＝PD＝×2＝2，
∴PO＝2OD＝4，
∴PB＝PO＋OB＝6，
在Rt△PBC中，BC＝PB＝3．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30°的直角三角形三边的关系，关键是添加辅助线构造直角三角形．
24．（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
【分析】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断购买方案．
【详解】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】
本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键．
25．（1）a=2，；（2）；（3）(，)．
【分析】
（1）把代入，求得b的值，从而求出a的值，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，延长DA、EC交于点F，则DF⊥EF，如图1，利用割补法的面积=---，进而即可求解；
（3）作CH⊥x轴于点H，OM⊥AB于点M，∠CFO=45°，如图2，设点C坐标为(x，)，则OH=x，CH=，先证明，可得∠BAO=∠FOC，结合tan∠COH=tan∠BAO=，即可求解．
【详解】
（1）∵直线与x轴的交点为，
∴-1+b=0，即：b=1，
∴y=x+1，
∵直线与双曲线的交点为，
∴a=1+1=2，即A(1，2),
把A(1，2)代入，可得：，即：k=2，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，延长DA、EC交于点F，则DF⊥EF，如图1，
设直线OC的解析式为：，
∵OC∥AB，由（1）可知，直线AB的解析式为：y=x+1，
∴k1=1，即：直线OC的解析式为：，
联立，解得：（负值舍去），
∴C(，)，
∵A(1，2)，
∴OD=EF=2，DF=OE=，AD=1，CE=，AF=-1，CF=2-，
∴，，，
，
∴的面积=---=；
（3）作CH⊥x轴于点H，OM⊥AB于点M，∠CFO=45°，如图2，设点C坐标为(x，)，则OH=x，CH=，
∵∠AOF=∠ABO+∠BAO，即∠AOC+∠FOC=∠ABO+∠BAO，
又∵∠ABO=∠AOC=45°，
∴∠BAO=∠FOC，
∴，
∴∠BAO=∠FOC，
∵A(1，2)，B(-1，0)，
∴AB=，
又∵∠ABO=45°，
∴BM=OM=，
∴AM=AB-BM=，
∴tan∠BAO=，即：tan∠COH=，
解得：，（不合题意，舍去），
∴==，即点C的坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数、一次函数与几何图形的综合以及相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
26．（1）PA＝DC，60；（2）CD＝PA．理由见详解；（2）+
【分析】
（1）先证明△ABC，△PBD是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，进而线段与线段的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；
（2）证明△CBD∽△ABP，可得，解决问题；
（3）过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC，
过点B作BG⊥BA于点G，当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小，由，得，结合勾股定理求出GP，从而得CP，进而即可求解．
【详解】
（1）①证明： ∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
设BD交PC于点O，如图1，
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
故答案是：PA＝DC，60；
（2）解：结论：CD＝PA．理由如下：
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴=，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴，
∴CD＝PA；
（3） 过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N，则PN=PC，
过点B作于点G，则BG=AB×sin∠BAG=2×sin60°=3，AG= AB×cos∠BAG=．
当点B、P、N共线时，BP+PN最小，即最小，
∵∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN，
∴，
∴，
设GP=x，则AP=-x，BP=3x，
∴，解得：x=，
∴BP=，AP=-，
∴CP=AC+AP=2+-=3-，
∴最小值=+×(3-)=+．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C作射线CM，使得sin∠ACM=，过点P作PN⊥CM于点N．
27．（1）抛物线的表达式为y=x2+x-3；（2）①m=-2或-1时，△PAQ是直角三角形；②．
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分两种情形：∠QAP=90°或∠APQ=90°，分别求解即可；
②如图，连接AC，BC，BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，过点F作FH⊥CM于H．首先证明∠MCF=∠FCO，可得△CFH≌△CFO（AAS），推出CH=CO=3，，设FM=g，HM=f，构建方程组求出g，f，再求出直线CM的解析式，可得结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3经过点A（1，-1）、B（-3，3），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y=x2+x-3；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+n，
则将A（1，-1）、B（-3，3）代入
∴，解得，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴∠QAP=90°或∠APQ=90°，∠AQP=45°，
当∠APQ=90°，
点P的纵坐标与点A 的纵坐标相同为-1，
将y=-1代入y=x2+x-3得
，解得，（舍去）
即m=-2；
当∠QAP=90°时，设直线AP的解析式为，
将A（1，-1）代入得，解得，
∴，
联立，解得（舍去）或，
∴P（-1，-3），此时m=-1，
综上所述m=-2或-1时，△PAQ是直角三角形；
②如图，连接AC，BC，BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，过点F作FH⊥CM于H．
∵A（1，-1），B（-3，3），C（0，-3），
∴，
∴∠ACO=∠BCO，
∵∠ACP=3∠ACO，
∴∠MCF=∠FCO，
∵∠FHC=∠FOC=90°，CF=CF，
∴△CFH≌△CFO（AAS），
∴CH=CO=3，，
设直线BC的解析式为，将B（-3，3）代入，解得，
∴，当y=0时，，即，即，
故，
设FM=f，HM=g，则有，
解得，
∴，
∴M（-4，0），
设直线CM的解析式为，将M（-4，0）代入可得，解得
，所以，
联立，解得，或（舍去）
∴，
∴．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
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