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2023年山东省济南市历城区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省济南市历城区中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. −12 D. 12
2. 如右图所示的几何体，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 为完善城市轨道交通建设，提升城市公共交通服务水平，济南市城市轨道交通2020～2025年第二期建设规划地铁总里程约为159600米.把数字“159600”用科学记数法表示为( )
A. 1.596×106 B. 1.596×104 C. 1.596×105 D. 0.1596×106
4. 如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=78°，则∠EGF的度数是( )
A. 39°
B. 51°
C. 78°
D. 102°
5. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A. a+b>0 B. ab>0 C. (−a)+b<0 D. |b|<|a|
7. “二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张送给好朋友小亮.小明将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小亮从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是( )
A. 16 B. 29 C. 13 D. 23
8. 函数y=−x+b与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，则函数y=bx−k的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；(3)连接OM，MN，ND.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. ∠COM=∠COD
B. 若OM=MN，则∠AOB=30°
C. MN//CD
D. ∠MOD=2∠MND
10. 已知二次函数y=x2−2tx+t2+t，将其图象在直线x=1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G.在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或yn.令s=m−n，则s的取值范围是( )
A. s≤0 B. 0≤s≤2 C. s≤2 D. s≥2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：4a2−4= ______ ．
12. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在阴影区域的概率等于______ ．
13. 比 6大的最小整数是______ ．
14. 如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图(2))…；以此下去，则正方形A2023B2023C2023D2023的面积为______ ．
16. 正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在A′处，点B落在点B′处，A′B′交BC于G.以下结论：①当A′为CD中点时，△A′DE三边之比为3：4：5；②连接AA′，则AA′=EF；③当△A′DE三边之比为3：4：5时，A′为CD中点；④当A′在CD上移动时，△A′CG周长不变.其中正确的有______ (写出所有正确结论的序号)．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：|−3|− 8−(12)−1+2cos45°．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：2(x−1)x−1②，并写出它的所有非负整数解．
19. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，BF，求证：DE//BF．
20. (本小题8.0分)
为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛.发现该校全体学生的竞赛成绩(百分制)均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩得分用x表示，共分成四组)，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x<90”这组的数据如下：
82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x<70
8
65
2
70≤x<80
a
76
3
80≤x<90
b
85
4
90≤x≤100
c
94
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)c= ______ ；
(2)“80≤x<90”这组数据的众数是______ ，方差是______ ；
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______ ，平均分是______ ；
(4)若学生竞赛成绩达到85分以上(含85分)为优秀，请你估计全校1200名学生中优秀学生的人数．
21. (本小题8.0分)
如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以20 2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
(1)求C到直线AB的距离；
(2)求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？(结果精确到1海里，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=BD，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．
(1)求证：AE⊥EF；
(2)若DGAG=23，⊙O的半径为2，求BF的长．
23. (本小题10.0分)
山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格(元)
1100
1400
销售价格(元)
今年的销售价格
2000
24. (本小题10.0分)
如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.反比例函数y=kx(x>0)的图象交BC于点E，交AB于点F，BE=4．
(1)求k的值与点F的坐标；
(2)在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，请求出点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形.若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN.求证：∠ACN=∠ABM；
(2)类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B.在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH.若正方形DEFG的边长为8，CH=3 2，求△CDH的面积．
26. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(0
(2)如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
(3)连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM=2CM.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：这个几何体的俯视图是：
．
故选：C．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【解析】解：159600=1.596×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD=78°，
∴∠GFD=12∠EFD=12×78°=39°，
∵AB//CD，
∴∠EGF=∠GFD=39°．
故选：A．
先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次分析求解．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.【答案】D
【解析】解：A.由数轴可知：−3
根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可．
本题考查了数轴上实数的大小比较，绝对值以及相反数的知识点考查．
7.【答案】C
【解析】解：将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是26=13，
故选：C．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：一次函数函数y=−x+b的图象经过第二、三、四象限，且与y轴交于负半轴，则b<0，
反比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k>0，
∴函数y=bx−k的图象经过第二、三、四象限，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
可先根据函数y=−x+b与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象可知b<0，k>0，即可判断出函数y=bx−k的大致图象．
本题考查的是一次函数和反比例函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx的在不同情况下所在的象限．
9.【答案】B
【解析】解：A、∵CD=MC，
∴CD=MC，
∴∠COD=∠MOC，故A不符合题意；
B、连接ON，由OM=ON=MN，得到∠MON=60°，
∵MC=CD=DN，
∴∠AOB=13∠MON=20°，故B符合题意；
C、连接MD，ND，
∵MC=DN，
∴∠MDC=∠DMN，
MN//CD，故C不符合题意；
D、由圆周角定理得到∠MOD=2∠MND，故D不符合题意．
故选：B．
由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：二次函数y=x2−2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y=−x2+2tx−t2−t，
∵点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y
∵y=x2−2tx+t2+t=(x−t)2+t，
∴m=t，
∵y=−x2+2tx−t2−t，当x=1时，y=−t2+t−1，
∴n=−t2+t−1，
∴s=m−n=t2+1≥2，
故选：D．
先求出二次函数y=x2−2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y=−x2+2tx−t2−t，再结合题意可知t≥1，根据图象分别求出m=t，n=−t2+t−1，再求s的范围即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数的图象变换，数形结合解题是关键．
11.【答案】4(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=4(a2−1)
=4(a+1)(a−1)．
故答案为：4(a+1)(a−1)．
直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12.【答案】49
【解析】解：由于一个圆平均分成9个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，
所以指针指向每个扇形的可能性相等，
即有9种等可能的结果，在这9种等可能结果中，指针指向阴影部分区域的有4种可能结果，
所以指针落在阴影区域的概率等于49．
故答案为：49．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】3
【解析】解：∵2< 6<3，
∴比 6大的最小整数是3，
故答案为：3．
运用算术平方根的概念进行估算．
此题考查了无理数的估算能力，对算术平方根概念的正确理解与运用是解决该问题的关键．
14.【答案】163π−8 3
【解析】解：连接OC交AB于H，
∵△OAB沿AB折叠落到△CAB，
∴AB垂直平分OC，
∴OH=12OC=12×4=2，
∵cos∠AOH=OHOA=12，
∴∠AOH=60°，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，AB=2AH，
∵AH= 3OH=2 3，
∴AB=2×2 3=4 3，
∴扇形OAB的面积=120π×42360=163π，△AOB的面积=12AB⋅OH=12×4 3×2=4 3，
∵△CAB的面积=△AOB的面积，
∴阴影的面积=扇形OAB的面积−△AOB的面积×2=163π−8 3．
故答案为：163π−8 3．
连接OC交AB于H，由条件推出∠AOB=120°，△OAB的面积=△CAB的面积，由勾股定理求出AH的长，得到AB的长，求出扇形OAB的面积，△OAB的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形的面积，关键是求出扇形OAB的面积，△OAB的面积．
15.【答案】52023
【解析】解：小正方形ABCD的面积为1，
正方形A1B1C1D1为：12+22=5，
正方形A2B2C2D2为：( 5)2+(2 5)2=5+20=25=52，
正方形A3B3C3D3为：52+(2×5)2=25+100=125=53，
…；
正方形AnBnCnDn为：5n，
则正方形A2023B2023C2023D2023的面积为：52023，
故答案为：52023．
先分别计算前几个正方形的面积，找到规律，再代入计算．
本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：①当A′为CD中点时，
则A′D=A′C=4，
设DE=x，则AE=8−x，
由题意得：AE=A′E=8−x，∠D=90°，
∵DE2+A′D2=A′E2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得：x=3，
∴DE=3，A′E=8−3=4，
∵A′D=4，
∴△A′DE三边之比为3：4：5，
∴①的结论正确；
②过点F作FH⊥AD于点H，如图，
则FH=AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=90°，AB=AD，
∴AD=FH
∴∠D=∠EHF=90°．
∴∠DAA′+∠DA′A=90°，
∵将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在A′处，
∴AA′⊥EF，
∴∠EAA′+∠FEH=90°，
∴∠DA′A=∠FEH．
在△DAA′和△HFE中，
∠D=∠EHF=90°∠DA′A=∠FEHAD=FH，
∴△DAA′≌△HFE(AAS)，
∴AA′=EF，
∴②的结论正确；
③∵△A′DE三边之比为3：4：5，
∴设DE=4a，则A′D=3a，A′E=5a，AE=8−4a，
∵AE=A′E，
∴8−4a=5a，
∴a=89，
∴A′D=249≠4，
∴A′不是DC的中点，
∴③的结论不正确；
④连接AA′，AG，过点A作AH⊥A′G于点H，如图，
由题意得：∠BGA=∠A′GA，
∵AH⊥A′G，
∴∠AHG=∠B=90°．
在△ABG和△AHG中，
∠AGB=∠HGA∠B=∠AHG=90°AG=AG，
∴△ABG≌△AHG(AAS)，
∴AB=AH，BG=GH．
∵AD=AB，
∴AD=AH．
在Rt△ADA′和Rt△AHA′中，
AA′=AA′AD=AH，
∴Rt△ADA′≌Rt△AHA′(HL)，
∴A′D=A′H．
∵△A′CG周长=A′C+CG+A′G
=A′C+CG+A′H+GH
=A′C+CG+A′D+BG
=A′C+A′D+BG+CG
=AC+BC
=8+8
=16，
∴△A′CG周长不变．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
①设DE=x，则AE=8−x，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，利用中点的定义可知①的结论正确；
②过点F作FH⊥AD于点H，利用正方形的性质和轴对称的性质得到∠DA′A=∠FEH，利用全等三角形的判定与性质即可得出结论的正确；
③设DE=4a，则A′D=3a，A′E=5a，AE=8−4a，利用勾股定理列出方程，解方程求得A′D的值，利用中点的定义可得③的结论不正确；
④连接AA′，AG，过点A作AH⊥A′G于点H，利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到BG=GH，A′D=A′H，利用三角形的周长的公式，通过计算得到△A′CG周长总等于16，则得④的结论正确．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：|−3|− 8−(12)−1+2cos45°
=3−2 2−2+2× 22
=3−2 2−2+ 2
=1− 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式2(x−1)
∴原不等式组的解集是x<4．
∴非负整数解为0，1，2，3．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC//AB，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AE=CD，
∴AF=CE，
在△DEC和△BFA中
DC=AB∠DCA=∠CABAF=CE，
∴△DEC≌△BFA(SAS)，
∴∠DEF=∠BFA，
∴DE//BF．
【解析】直接利用平行四边形的性质可得DC=AB，DC//AB，进而可证出∠CAB=∠DCA，然后再证明△DEC≌△BFA(SAS)，可得∠DEF=∠BFA，然后可根据内错角相等两直线平行得到结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是正确证明△DEC≌△BFA，此题难度不大．
20.【答案】50 86 85 85.5 83.6
【解析】解：(1)由题意得，样本容量为：8÷16%=50，
∴c=50×(1−16%−24%−20%)=20．
故答案为：20；
(2)80≤x<90”这组的数据的众数是86；
中位数为85+852=85．
故答案为：86，85；
(3)由题意得，a=50×20%=10，b=50×24%=12，
随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是(85+86)÷2=85.5，
平均分是：150×(65×8+75×10+85×12+95×20)=83.6，
故答案为：85.5，83.6；
(4)1200×2750=648．
答：估计全校1200名学生中优秀学生的人数约648人．
(1)用1组的频数除以16%可得样本容量，再用样本容量乘4组所占百分比可得c的值；
(2)根据题目中的数据，可以写出“80≤x<90”这组的数据的众数；
(3)根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；
(4)用总人数1200乘样本中成绩达到85分以上(含85分)所占比例可得答案．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)如图，由题意可得，∠CAB=45°，
过点C作CE⊥AB于点E，
在△ABC中，∠BAC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
由题意得：AC=2×20 2=40 2，
∴CE= 22AC=40，
即点C到线段AB的距离为40海里；
(2)由题意可得，∠DCB=15°，则∠ACB=105°，
∵∠ACE=45°，
∴∠CBE=30°，
在Rt△BEC中，AE=CE=40，
∴BE= 3CE=40 3，
∴AB=AE+BE=40+40 3，
作BF⊥AC于点F，则∠AFB=90°，
在Rt△BEC中，cos∠BAC=BFAB= 22，
∴BF=20 2+20 6≈77，
答：与灯塔B的最小距离是77海里．
【解析】(1)作辅助线，构建直角三角形，证明△ACM是等腰直角三角形，可得CM的长，从而得结论；
(2)由题意得到∠DCB=15°，则∠ACB=105°，求得∠CBE=30°，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODF=90°，
∵CD=BD，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AE，
∴∠AEF=∠ODF=90°
∴AE⊥EF；
(2)解：∵∠CAD=∠ODA，∠AGE=∠OGD，
∴△OGD∽△EGA，
∴DGAG=ODAE=23，
∵∠AEF=∠ODF，∠F=∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴ODAE=OFAF=23，
∵AB=2OB=4，
∴2+BF4+BF=23，
∴BF=2．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质推出∠ODF=90°，根据等腰三角形的性质推出∠CAD=∠ODA，则OD//AE，根据平行线的性质及垂直的定义即可得解；
(2)根据题意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由题意，得
50000x+400=50000(1−20%)x，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1600−1100)a+(2000−1400)(60−a)，
y=−100a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60−a≤2a，
∴a≥20．
∵y=−100a+36000．
∴k=−100<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=34000元．
∴B型车的数量为：60−20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24.【答案】解：(1)∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，
∴AB=4，BC=6，
∵BE=4，
∴点E(2,4)，
把E(2,4)代入y=kx中，得4=k2，
∴k=8，
当x=6时，y=43，
∴F(6,43)；
(2)作点F关于x轴的对称点G(6,−43)，则MF=MG，
连接GE与x轴交于点M，连接EF，此时△EMF的周长最小，
设EG的函数关系式为y=ax+b，
把E(2,4)，G(6,−43)代入y=ax+b中，
得：2a+b=46a+b=−43，
解得a=−43b=203，
∴y=−43x+203，
当y=0时，x=5，
∴M(5,0)；
(3)设P(t,0)，
∵E(2,4)，M(5,0)，
∴EM= (2−5)2+42=5，MP=|5−t|，EP= (2−t)2+42，
若EM为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
①ME=MP，即5=|5−t|，
解得t=0或t=10，
∴P(0,0)或(10,0)；
②ME=PE，5= (2−t)2+42，
解得t=−1或t=5(不合题意舍去)，
P(−1,0)；
若EM为菱形的对角线，则有MP=EP，
即|5−t|= (2−t)2+42，
解得t=56，
∴P(56,0)；
综上，点P的坐标为(0,0)或(−1,0)或(10,0)或(56,0)．
【解析】(1)直接将点E的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，再求点F的坐标即可；
(2)作点F关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接FM，EF，此时△EMF的周长最小，过点E作EH⊥x轴于点H，通过证明△AGM～△HEM，利用相似三角形的性质求解即可；
(3)设P(t,0)，有两点间距离公式分别表示出EM= (2−5)2+42=5，MP=|5−t|，EP= (2−t)2+42，若EM为菱形的一边，则有两种情况，①ME=MP，②ME=EP，若EM为菱形的对角线，则有MP=EP，分别建立方程求解即可．
本题是反比例函数的解析式，考查了求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式及菱形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠CAM=∠MAN−∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，AM=AN，
∴△ABM≌△ACN(SAS)，
∴∠ACN=∠ABM；
(2)解：AN存在最小值，理由如下：
如图2，连接CN，
∵AM=MN，AB=BC，
∴AMMN=ABBC，
又∵∠AMN=∠B，
∴△ABC∽△AMN，
∴AMAB=ANAC，∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ACN=∠B=30°，
如图2，连接CN，过点A作AH⊥CN，交CN延长线于点H，
此时AN最小，最小值为AH，
Rt△ACH中，∠ACN=30°，
∴AH=12AC=12×8=4，
故AN存在最小值，最小值为4；
(3)解：连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于Q，
∵H为正方形DEFG的中心，
∴DH=EH，∠DHE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，
∴∠BDE=∠CDH，
∵BDCD=DEDH= 2，
∴△BDE∽△CDH，
∴∠DCH=∠DBC=45°，BE= 2CH=6，
设CE=x，则CD=x+6，
∵DE=8，
由勾股定理得：x2+(x+6)2=82，
解得：x= 23−3或x=− 23−3(舍)，
∴CD= 23+3，
在Rt△CDH中，CQ=QH=3，
∴△CDH的面积为12×( 23+3)×3=3 23+92．
【解析】(1)证明△BAM≌△CAN(SAS)，即可得出结论；
(2)证△ABC∽△AMN，得比例式，再证△ABM∽△ACN，得∠ABM=∠ACN=30°，则点N在∠ACN的边CN上运动，当AN⊥CN时，AN最小，进而得出结论；
(3)连接BD，证△DBE∽△DCH，得DBDC=BECH= 2，设EC=x，则BC=DC=6+x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，可得x的值，最后根据三角形的面积公式即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2．
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4)；
(2)∵y=−x2+2x+3，令x=0，则y=4，
∴点D(0,3)，
设直线BD的解析式为y=sx+t，
∵点B(3,0)，
∴3s+t=0t=3，
解得s=−1t=3．
∴直线BD解析式为y=−x+3，
过点P作PQ//y轴交BD于点Q，
设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，
∴S△PBD=12×PQ×OB=12×3(−m2+2m+3+m−3)=−32m2+92m，
∵△PBD的面积为3，
∴−32m2+92m=3，
∴m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
(3)∵在Rt△CMP中，PM=2CM，
∴tan∠MCP=PMCM=2，
设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图3，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴AE=2，CE=4，
∴OA=1，OE=1，CE=4．
∴OA=OE，AC= AE2+CE2=2 5．
Rt△AEC中，tan∠CAE=2，tan∠ACE=12，
∵tan∠MCP=tan∠CAE，
∴∠MCP=∠CAE，
∴GA=GC，
∴△GAC是等腰三角形，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO//CE，
∴OF=12CE=2，F为AC的中点．
∵△GAC是等腰三角形，GA=GC，
∴GF⊥AC．
∵FO⊥AG，
∴△AFO∽△FGO．
∴AOFO=OFOG，
∴12=2OG，
∴OG=4．
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
∴k+n=44k+n=0，
解得k=−43n=163．
∴直线CG的解析式为y=−43x+163．
∴y=−43x+163y=−x2+2x+3，
解得x1=1y1=4，x2=73y2=209，
∴P(73,209).
【解析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y=−x+3，过点P作PQ//y轴交BD于点Q，设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，根据△PBD的面积为3，可得出关于m的方程，解方程即可得到m的值；
(3)设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，可得tan∠MCP=tan∠CAE，则∠MCP=∠CAE，△GAC是等腰三角形，证明△AFO∽△FGO，根据相似三角形的性质可得OG=4，G(4,0)，求出直线CG的解析式为为y=−43x+163，联立得方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
2023年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. −12 D. 12
2. 如右图所示的几何体，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 为完善城市轨道交通建设，提升城市公共交通服务水平，济南市城市轨道交通2020～2025年第二期建设规划地铁总里程约为159600米.把数字“159600”用科学记数法表示为( )
A. 1.596×106 B. 1.596×104 C. 1.596×105 D. 0.1596×106
4. 如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=78°，则∠EGF的度数是( )
A. 39°
B. 51°
C. 78°
D. 102°
5. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A. a+b>0 B. ab>0 C. (−a)+b<0 D. |b|<|a|
7. “二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张送给好朋友小亮.小明将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小亮从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是( )
A. 16 B. 29 C. 13 D. 23
8. 函数y=−x+b与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，则函数y=bx−k的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；(3)连接OM，MN，ND.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. ∠COM=∠COD
B. 若OM=MN，则∠AOB=30°
C. MN//CD
D. ∠MOD=2∠MND
10. 已知二次函数y=x2−2tx+t2+t，将其图象在直线x=1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G.在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y
A. s≤0 B. 0≤s≤2 C. s≤2 D. s≥2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：4a2−4= ______ ．
12. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在阴影区域的概率等于______ ．
13. 比 6大的最小整数是______ ．
14. 如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图(2))…；以此下去，则正方形A2023B2023C2023D2023的面积为______ ．
16. 正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在A′处，点B落在点B′处，A′B′交BC于G.以下结论：①当A′为CD中点时，△A′DE三边之比为3：4：5；②连接AA′，则AA′=EF；③当△A′DE三边之比为3：4：5时，A′为CD中点；④当A′在CD上移动时，△A′CG周长不变.其中正确的有______ (写出所有正确结论的序号)．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：|−3|− 8−(12)−1+2cos45°．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：2(x−1)
19. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，BF，求证：DE//BF．
20. (本小题8.0分)
为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛.发现该校全体学生的竞赛成绩(百分制)均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩得分用x表示，共分成四组)，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x<90”这组的数据如下：
82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x<70
8
65
2
70≤x<80
a
76
3
80≤x<90
b
85
4
90≤x≤100
c
94
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)c= ______ ；
(2)“80≤x<90”这组数据的众数是______ ，方差是______ ；
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______ ，平均分是______ ；
(4)若学生竞赛成绩达到85分以上(含85分)为优秀，请你估计全校1200名学生中优秀学生的人数．
21. (本小题8.0分)
如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以20 2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．
(1)求C到直线AB的距离；
(2)求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？(结果精确到1海里，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=BD，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．
(1)求证：AE⊥EF；
(2)若DGAG=23，⊙O的半径为2，求BF的长．
23. (本小题10.0分)
山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格(元)
1100
1400
销售价格(元)
今年的销售价格
2000
24. (本小题10.0分)
如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.反比例函数y=kx(x>0)的图象交BC于点E，交AB于点F，BE=4．
(1)求k的值与点F的坐标；
(2)在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，请求出点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形.若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN.求证：∠ACN=∠ABM；
(2)类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B.在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH.若正方形DEFG的边长为8，CH=3 2，求△CDH的面积．
26. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(0
(2)如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
(3)连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM=2CM.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：这个几何体的俯视图是：
．
故选：C．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【解析】解：159600=1.596×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD=78°，
∴∠GFD=12∠EFD=12×78°=39°，
∵AB//CD，
∴∠EGF=∠GFD=39°．
故选：A．
先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次分析求解．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.【答案】D
【解析】解：A.由数轴可知：−3
根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可．
本题考查了数轴上实数的大小比较，绝对值以及相反数的知识点考查．
7.【答案】C
【解析】解：将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是26=13，
故选：C．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：一次函数函数y=−x+b的图象经过第二、三、四象限，且与y轴交于负半轴，则b<0，
反比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k>0，
∴函数y=bx−k的图象经过第二、三、四象限，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
可先根据函数y=−x+b与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象可知b<0，k>0，即可判断出函数y=bx−k的大致图象．
本题考查的是一次函数和反比例函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx的在不同情况下所在的象限．
9.【答案】B
【解析】解：A、∵CD=MC，
∴CD=MC，
∴∠COD=∠MOC，故A不符合题意；
B、连接ON，由OM=ON=MN，得到∠MON=60°，
∵MC=CD=DN，
∴∠AOB=13∠MON=20°，故B符合题意；
C、连接MD，ND，
∵MC=DN，
∴∠MDC=∠DMN，
MN//CD，故C不符合题意；
D、由圆周角定理得到∠MOD=2∠MND，故D不符合题意．
故选：B．
由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：二次函数y=x2−2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y=−x2+2tx−t2−t，
∵点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y
∵y=x2−2tx+t2+t=(x−t)2+t，
∴m=t，
∵y=−x2+2tx−t2−t，当x=1时，y=−t2+t−1，
∴n=−t2+t−1，
∴s=m−n=t2+1≥2，
故选：D．
先求出二次函数y=x2−2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y=−x2+2tx−t2−t，再结合题意可知t≥1，根据图象分别求出m=t，n=−t2+t−1，再求s的范围即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数的图象变换，数形结合解题是关键．
11.【答案】4(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=4(a2−1)
=4(a+1)(a−1)．
故答案为：4(a+1)(a−1)．
直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12.【答案】49
【解析】解：由于一个圆平均分成9个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，
所以指针指向每个扇形的可能性相等，
即有9种等可能的结果，在这9种等可能结果中，指针指向阴影部分区域的有4种可能结果，
所以指针落在阴影区域的概率等于49．
故答案为：49．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】3
【解析】解：∵2< 6<3，
∴比 6大的最小整数是3，
故答案为：3．
运用算术平方根的概念进行估算．
此题考查了无理数的估算能力，对算术平方根概念的正确理解与运用是解决该问题的关键．
14.【答案】163π−8 3
【解析】解：连接OC交AB于H，
∵△OAB沿AB折叠落到△CAB，
∴AB垂直平分OC，
∴OH=12OC=12×4=2，
∵cos∠AOH=OHOA=12，
∴∠AOH=60°，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，AB=2AH，
∵AH= 3OH=2 3，
∴AB=2×2 3=4 3，
∴扇形OAB的面积=120π×42360=163π，△AOB的面积=12AB⋅OH=12×4 3×2=4 3，
∵△CAB的面积=△AOB的面积，
∴阴影的面积=扇形OAB的面积−△AOB的面积×2=163π−8 3．
故答案为：163π−8 3．
连接OC交AB于H，由条件推出∠AOB=120°，△OAB的面积=△CAB的面积，由勾股定理求出AH的长，得到AB的长，求出扇形OAB的面积，△OAB的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形的面积，关键是求出扇形OAB的面积，△OAB的面积．
15.【答案】52023
【解析】解：小正方形ABCD的面积为1，
正方形A1B1C1D1为：12+22=5，
正方形A2B2C2D2为：( 5)2+(2 5)2=5+20=25=52，
正方形A3B3C3D3为：52+(2×5)2=25+100=125=53，
…；
正方形AnBnCnDn为：5n，
则正方形A2023B2023C2023D2023的面积为：52023，
故答案为：52023．
先分别计算前几个正方形的面积，找到规律，再代入计算．
本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：①当A′为CD中点时，
则A′D=A′C=4，
设DE=x，则AE=8−x，
由题意得：AE=A′E=8−x，∠D=90°，
∵DE2+A′D2=A′E2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得：x=3，
∴DE=3，A′E=8−3=4，
∵A′D=4，
∴△A′DE三边之比为3：4：5，
∴①的结论正确；
②过点F作FH⊥AD于点H，如图，
则FH=AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=90°，AB=AD，
∴AD=FH
∴∠D=∠EHF=90°．
∴∠DAA′+∠DA′A=90°，
∵将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在A′处，
∴AA′⊥EF，
∴∠EAA′+∠FEH=90°，
∴∠DA′A=∠FEH．
在△DAA′和△HFE中，
∠D=∠EHF=90°∠DA′A=∠FEHAD=FH，
∴△DAA′≌△HFE(AAS)，
∴AA′=EF，
∴②的结论正确；
③∵△A′DE三边之比为3：4：5，
∴设DE=4a，则A′D=3a，A′E=5a，AE=8−4a，
∵AE=A′E，
∴8−4a=5a，
∴a=89，
∴A′D=249≠4，
∴A′不是DC的中点，
∴③的结论不正确；
④连接AA′，AG，过点A作AH⊥A′G于点H，如图，
由题意得：∠BGA=∠A′GA，
∵AH⊥A′G，
∴∠AHG=∠B=90°．
在△ABG和△AHG中，
∠AGB=∠HGA∠B=∠AHG=90°AG=AG，
∴△ABG≌△AHG(AAS)，
∴AB=AH，BG=GH．
∵AD=AB，
∴AD=AH．
在Rt△ADA′和Rt△AHA′中，
AA′=AA′AD=AH，
∴Rt△ADA′≌Rt△AHA′(HL)，
∴A′D=A′H．
∵△A′CG周长=A′C+CG+A′G
=A′C+CG+A′H+GH
=A′C+CG+A′D+BG
=A′C+A′D+BG+CG
=AC+BC
=8+8
=16，
∴△A′CG周长不变．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
①设DE=x，则AE=8−x，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，利用中点的定义可知①的结论正确；
②过点F作FH⊥AD于点H，利用正方形的性质和轴对称的性质得到∠DA′A=∠FEH，利用全等三角形的判定与性质即可得出结论的正确；
③设DE=4a，则A′D=3a，A′E=5a，AE=8−4a，利用勾股定理列出方程，解方程求得A′D的值，利用中点的定义可得③的结论不正确；
④连接AA′，AG，过点A作AH⊥A′G于点H，利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到BG=GH，A′D=A′H，利用三角形的周长的公式，通过计算得到△A′CG周长总等于16，则得④的结论正确．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：|−3|− 8−(12)−1+2cos45°
=3−2 2−2+2× 22
=3−2 2−2+ 2
=1− 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式2(x−1)
∴原不等式组的解集是x<4．
∴非负整数解为0，1，2，3．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC//AB，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AE=CD，
∴AF=CE，
在△DEC和△BFA中
DC=AB∠DCA=∠CABAF=CE，
∴△DEC≌△BFA(SAS)，
∴∠DEF=∠BFA，
∴DE//BF．
【解析】直接利用平行四边形的性质可得DC=AB，DC//AB，进而可证出∠CAB=∠DCA，然后再证明△DEC≌△BFA(SAS)，可得∠DEF=∠BFA，然后可根据内错角相等两直线平行得到结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是正确证明△DEC≌△BFA，此题难度不大．
20.【答案】50 86 85 85.5 83.6
【解析】解：(1)由题意得，样本容量为：8÷16%=50，
∴c=50×(1−16%−24%−20%)=20．
故答案为：20；
(2)80≤x<90”这组的数据的众数是86；
中位数为85+852=85．
故答案为：86，85；
(3)由题意得，a=50×20%=10，b=50×24%=12，
随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是(85+86)÷2=85.5，
平均分是：150×(65×8+75×10+85×12+95×20)=83.6，
故答案为：85.5，83.6；
(4)1200×2750=648．
答：估计全校1200名学生中优秀学生的人数约648人．
(1)用1组的频数除以16%可得样本容量，再用样本容量乘4组所占百分比可得c的值；
(2)根据题目中的数据，可以写出“80≤x<90”这组的数据的众数；
(3)根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；
(4)用总人数1200乘样本中成绩达到85分以上(含85分)所占比例可得答案．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)如图，由题意可得，∠CAB=45°，
过点C作CE⊥AB于点E，
在△ABC中，∠BAC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
由题意得：AC=2×20 2=40 2，
∴CE= 22AC=40，
即点C到线段AB的距离为40海里；
(2)由题意可得，∠DCB=15°，则∠ACB=105°，
∵∠ACE=45°，
∴∠CBE=30°，
在Rt△BEC中，AE=CE=40，
∴BE= 3CE=40 3，
∴AB=AE+BE=40+40 3，
作BF⊥AC于点F，则∠AFB=90°，
在Rt△BEC中，cos∠BAC=BFAB= 22，
∴BF=20 2+20 6≈77，
答：与灯塔B的最小距离是77海里．
【解析】(1)作辅助线，构建直角三角形，证明△ACM是等腰直角三角形，可得CM的长，从而得结论；
(2)由题意得到∠DCB=15°，则∠ACB=105°，求得∠CBE=30°，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODF=90°，
∵CD=BD，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AE，
∴∠AEF=∠ODF=90°
∴AE⊥EF；
(2)解：∵∠CAD=∠ODA，∠AGE=∠OGD，
∴△OGD∽△EGA，
∴DGAG=ODAE=23，
∵∠AEF=∠ODF，∠F=∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴ODAE=OFAF=23，
∵AB=2OB=4，
∴2+BF4+BF=23，
∴BF=2．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质推出∠ODF=90°，根据等腰三角形的性质推出∠CAD=∠ODA，则OD//AE，根据平行线的性质及垂直的定义即可得解；
(2)根据题意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由题意，得
50000x+400=50000(1−20%)x，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1600−1100)a+(2000−1400)(60−a)，
y=−100a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60−a≤2a，
∴a≥20．
∵y=−100a+36000．
∴k=−100<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=34000元．
∴B型车的数量为：60−20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【解析】(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24.【答案】解：(1)∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，
∴AB=4，BC=6，
∵BE=4，
∴点E(2,4)，
把E(2,4)代入y=kx中，得4=k2，
∴k=8，
当x=6时，y=43，
∴F(6,43)；
(2)作点F关于x轴的对称点G(6,−43)，则MF=MG，
连接GE与x轴交于点M，连接EF，此时△EMF的周长最小，
设EG的函数关系式为y=ax+b，
把E(2,4)，G(6,−43)代入y=ax+b中，
得：2a+b=46a+b=−43，
解得a=−43b=203，
∴y=−43x+203，
当y=0时，x=5，
∴M(5,0)；
(3)设P(t,0)，
∵E(2,4)，M(5,0)，
∴EM= (2−5)2+42=5，MP=|5−t|，EP= (2−t)2+42，
若EM为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
①ME=MP，即5=|5−t|，
解得t=0或t=10，
∴P(0,0)或(10,0)；
②ME=PE，5= (2−t)2+42，
解得t=−1或t=5(不合题意舍去)，
P(−1,0)；
若EM为菱形的对角线，则有MP=EP，
即|5−t|= (2−t)2+42，
解得t=56，
∴P(56,0)；
综上，点P的坐标为(0,0)或(−1,0)或(10,0)或(56,0)．
【解析】(1)直接将点E的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，再求点F的坐标即可；
(2)作点F关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接FM，EF，此时△EMF的周长最小，过点E作EH⊥x轴于点H，通过证明△AGM～△HEM，利用相似三角形的性质求解即可；
(3)设P(t,0)，有两点间距离公式分别表示出EM= (2−5)2+42=5，MP=|5−t|，EP= (2−t)2+42，若EM为菱形的一边，则有两种情况，①ME=MP，②ME=EP，若EM为菱形的对角线，则有MP=EP，分别建立方程求解即可．
本题是反比例函数的解析式，考查了求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式及菱形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠CAM=∠MAN−∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，AM=AN，
∴△ABM≌△ACN(SAS)，
∴∠ACN=∠ABM；
(2)解：AN存在最小值，理由如下：
如图2，连接CN，
∵AM=MN，AB=BC，
∴AMMN=ABBC，
又∵∠AMN=∠B，
∴△ABC∽△AMN，
∴AMAB=ANAC，∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ACN=∠B=30°，
如图2，连接CN，过点A作AH⊥CN，交CN延长线于点H，
此时AN最小，最小值为AH，
Rt△ACH中，∠ACN=30°，
∴AH=12AC=12×8=4，
故AN存在最小值，最小值为4；
(3)解：连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于Q，
∵H为正方形DEFG的中心，
∴DH=EH，∠DHE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，
∴∠BDE=∠CDH，
∵BDCD=DEDH= 2，
∴△BDE∽△CDH，
∴∠DCH=∠DBC=45°，BE= 2CH=6，
设CE=x，则CD=x+6，
∵DE=8，
由勾股定理得：x2+(x+6)2=82，
解得：x= 23−3或x=− 23−3(舍)，
∴CD= 23+3，
在Rt△CDH中，CQ=QH=3，
∴△CDH的面积为12×( 23+3)×3=3 23+92．
【解析】(1)证明△BAM≌△CAN(SAS)，即可得出结论；
(2)证△ABC∽△AMN，得比例式，再证△ABM∽△ACN，得∠ABM=∠ACN=30°，则点N在∠ACN的边CN上运动，当AN⊥CN时，AN最小，进而得出结论；
(3)连接BD，证△DBE∽△DCH，得DBDC=BECH= 2，设EC=x，则BC=DC=6+x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，可得x的值，最后根据三角形的面积公式即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2．
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4)；
(2)∵y=−x2+2x+3，令x=0，则y=4，
∴点D(0,3)，
设直线BD的解析式为y=sx+t，
∵点B(3,0)，
∴3s+t=0t=3，
解得s=−1t=3．
∴直线BD解析式为y=−x+3，
过点P作PQ//y轴交BD于点Q，
设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，
∴S△PBD=12×PQ×OB=12×3(−m2+2m+3+m−3)=−32m2+92m，
∵△PBD的面积为3，
∴−32m2+92m=3，
∴m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
(3)∵在Rt△CMP中，PM=2CM，
∴tan∠MCP=PMCM=2，
设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图3，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴AE=2，CE=4，
∴OA=1，OE=1，CE=4．
∴OA=OE，AC= AE2+CE2=2 5．
Rt△AEC中，tan∠CAE=2，tan∠ACE=12，
∵tan∠MCP=tan∠CAE，
∴∠MCP=∠CAE，
∴GA=GC，
∴△GAC是等腰三角形，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO//CE，
∴OF=12CE=2，F为AC的中点．
∵△GAC是等腰三角形，GA=GC，
∴GF⊥AC．
∵FO⊥AG，
∴△AFO∽△FGO．
∴AOFO=OFOG，
∴12=2OG，
∴OG=4．
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
∴k+n=44k+n=0，
解得k=−43n=163．
∴直线CG的解析式为y=−43x+163．
∴y=−43x+163y=−x2+2x+3，
解得x1=1y1=4，x2=73y2=209，
∴P(73,209).
【解析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y=−x+3，过点P作PQ//y轴交BD于点Q，设点P(m,−m2+2m+3)，点Q(m,−m+3)，根据△PBD的面积为3，可得出关于m的方程，解方程即可得到m的值；
(3)设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，可得tan∠MCP=tan∠CAE，则∠MCP=∠CAE，△GAC是等腰三角形，证明△AFO∽△FGO，根据相似三角形的性质可得OG=4，G(4,0)，求出直线CG的解析式为为y=−43x+163，联立得方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
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