河南省新蔡县2021届九年级第一次模拟考试数学试题（word版 含答案）

这是一份河南省新蔡县2021届九年级第一次模拟考试数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省新蔡县2021届九年级第一次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．在实数，，0，中，最小的实数是（ ）．
A． B． C．0 D．
2．如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（ ）

A．25 B．8 C．5 D．13
3．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
4．如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．

A． B． C． D．
5．设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）


A． B． C． D．
7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2017兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点，两点的横坐标分别为．则关于的不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．或
9．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（　　）

A．① B．② C．②或④ D．①或③

二、填空题
11．使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___．
12．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．

13．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为____元．
14．如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.

15．如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．


三、解答题
16．先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
17．某品牌牛奶供应商提供A、B、C、D四种不同口味的牛奶供学生饮用，学校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图的信息解决下列问题：

（1）本次调查的学生有多少人？
（2）补全上面的条形统计图；
（3）扇形统计图中C对应的圆心角度数是　 　；
（4）若该校有400名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A、B口味的牛奶共约多少盒？
18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（3，0）和点B（4，3）．
（1）求二次函数的表达式
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．如图，已知为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为，直线与的延长线交于点．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长．
20．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总高度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596，tan53.4°≈1.346）

21．某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：
普通口罩/个
N95口罩/个
总销售额/元
500
400
5000
600
300
4200
（1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？
（2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．为使该药店售完这1000个口罩后的总利润最大，该药店应如何进货？并求出最大利润．
22．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

23．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．D
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
∵，
∴在实数，，0，中，最小的实数是，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】
连接OA，由垂径定理得到M为AB中点，求出AM的长，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的长，再由求出CM的长即可．
【详解】
解：连接OA．

∵直径，，
∴,
在中，,,
根据勾股定理得：．
则
故选：B．
【点睛】
此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
3．B
【分析】
根据题意可知实心球落地时，即求的解即可．
【详解】
当时，，即．
解得：（舍），．
则小明此次成绩时10米．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
4．D
【分析】
连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．
【详解】
连接CD，

∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
5．A
【分析】
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴关于直线x=1的对称点是，
∵2<3<6，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
7．C
【分析】
先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】
由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
8．B
【分析】
利用数形结合观察图象可知，反比例函数图象在一次函数图象下方及满足条件，所对应的取值范围即为所求．
【详解】
观察图象可知，当，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴关于x的不等式的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查了利用反比例函数与一次函数的图象进行比大小，求解集的问题，主要考查学生观察图象的能力，用了数形结合思想．
9．C
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④.
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，所以②错误；
∵，，
∴，
把代入得，
∴，所以③正确；
∵，对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．④抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.注意利用数形结合的思想．
10．D
【分析】
分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．
【详解】
解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，
当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，
故①③正确，
故选：．
【点睛】
本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．x≤3且x≠0
【分析】
二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【详解】
解：使在实数范围内有意义，则
3－x≥0，x≠0，
∴实数x的取值范围是x≤3且x≠0，
故答案为：x≤3且x≠0．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．
【分析】
根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【详解】
解：如图：作BD⊥AC于D

由正六边形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cos∠BCD==，即，
解得a=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．
13．５５
【详解】
设此商品的售价为x元
则利润为：y=x[40-(x-40）]-30×[40-（x-40）]
化简为： y=-(x2-110x)-2400
所以：y=-（x-55）2+625
当x=55时，有最大值，故此商品的最佳售价应为55元
14． .
【分析】
过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
过作于，于，

等边三角形的边长为2，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积

，
故答案为．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．或
【分析】
存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．
【详解】
解：①当=DC时，如图1，连接ED，

∵点是的中点，，，四边形是矩形，
∴AD=BC=，∠A=90°，
∴DE=，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴A´E=AE=2，
A´D=DC=AB=4，
∴DE=A´E+A´D=6，
∴点E，A´，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA´E=∠FA´D=90°，
设AF=x，则A´F=x，FD=-x，
在Rt△FA´D中，，
解得x=，
∴FD=3；
②当=时，如图2，

∵=，
∴点A´在线段CD的垂直平分线上，
∴点A´在线段AB的垂直平分线上，
∵点是的中点，
∴EA´是AB的垂直平分线，
∴∠AEA´=90°，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，
∴四边形AEA´F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=．
故答案为或．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．
16．
【分析】
先根据分式混合运算法则进行分式化简运算，然后求解不等式组的解集，然后取出符合条件的整数解代入分式化简结果计算即可．
【详解】
解：原式



，
解不等式组得：，
则不等式组的整数解为、、0、1，
又且，
∴且，
∴，
则原式．
【点睛】
本题考查分式的化简，解一元一次不等式组，分式有意义的条件等，掌握相关运算法则，理解分式有意义的条件是解题关键．
17．（1）150人；（2）见解析；（3）144°；（4）200盒
【分析】
（1）利用A类别人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B、D类别人数，求得C的人数，即可补全统计图；
（3）用360°乘以C类别人数所占比即可得出答案；
（4）总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比例即可．
【详解】
解：（1）本次调查的学生有：30÷20%＝150（人）；
（2）C类别人数为：150-(30+45+15)＝60（人），补全条形图如下：

（3）扇形统计图中C对应的圆心角度数是360°×＝144°
故答案为：144°.
（4）根据题意得：400×＝200（人），
答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约200盒．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
18．（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x＝2．
【分析】
（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
∴，
解得，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y═x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
对称轴为x＝2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（1）相切，理由见解析；（2）．
【分析】
(1) 是的平分线，所以，证明，推出，即可得出结论；
(2)由，推出，即，解得，由，，由此即可计算．
【详解】
解：（1）证明：连接，如图所示：

∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为切线；
（2）连接，
在中，，，
，
∴，，设半径为，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．389m．
【分析】
设AC为xm，根据等腰直角三角形的性质得到BC=AC=x，根据正切的定义列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
设AC为xm，则CD=（x+120）m，
在Rt△ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt△DCE中，tan∠DEC=，即≈1.346，
解得，x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389，
答：中原福塔CD的总高度约为389m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（1）普通口罩和N95口罩的销售单价分别是2元/个，10元/个；（2）该药店购进普通口罩800个，N95口罩200个，最大利润是1600元．
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得普通口罩和N95口罩的销售单价；
（2）根据题意，可以得到利润与购进普通口罩数量的函数关系式，再根据普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．可以求得普通口罩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】
解：（1）设普通口罩的销售单价为a元/个，N95口罩的销售单价为b元/个，
，
解得，，
即普通口罩和N95口罩的销售单价分别是2元/个，10元/个；
（2）设购买普通口罩x个，获得的利润为w元，
w＝（2﹣1）x+（10﹣6）×（1000﹣x）＝﹣3x+4000，
∴w随x的增大而减小，
∵普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．
∴x≥4×（1000﹣x），
解得，x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，此时w＝1600，100﹣x＝200，
答：为使该药店售完这1000个口罩后的总利润最大，该药店购进普通口罩800个，N95口罩200个，最大利润是1600元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．（1）见解析；（2），解析
【分析】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】
解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．

【点睛】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
23．（1）；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标是或或
【分析】
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，然后依次设出点坐标和点坐标，然后列出线段关于点横坐标的解析式，从而列出的面积关于点横坐标的解析式，利用二次函数的性质求解出的最大面积以及点的横坐标，即可求出结果；
（3）分别考虑四边形，四边形以及四边形为平行四边形时，根据平行四边形的四点相对位置关系求出点的坐标即可．
【详解】
解：（1）依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
设点坐标为，则点坐标为，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，此时，点的坐标为；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
①假设四边形为平行四边形，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
经验证，此时四边形为平行四边形．
同理假设四边形为平行四边形时，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当四边形为平行四边形时，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或．
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，掌握二次函数解析式的求法，以及利用函数的方法求图形面积的最值问题，灵活分类讨论是解题关键．