高考数学一轮复习 第2章 第9节 函数模型及其应用

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第九节　函数模型及其应用
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[考纲传真]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．


1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
　　函数
性质　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：


1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)
(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)
(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)
A．100只　 B．200只
C．300只 D．400只
B　[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]
3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x
B　[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　) 【导学号：31222069】

B　[由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
－1　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.]


用函数图象刻画变化过程

　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)
【导学号：31222070】

A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D
(1)A　(2)D　[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.
(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4 [规律方法]　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
[变式训练1]　设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]

应用所给函数模型解决实际问题
　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2­9­1①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2­9­1②.(注：利润和投资单位：万元)

①　　　　　　　　　　　　　②
图2­9­1
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解]　(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0).3分
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，
所以总利润y＝8.25万元.5分
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.7分
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，9分
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分
[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
[变式训练2]　(2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元　　　　　　 B．11元
C．10.5元 D．10元
A　[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A.]　

构建函数模型解决实际问题
　(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
(1)B　(2)9　[(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
(2)设出租车行驶了x km，付费y元，由题意得
y＝
当x＝8时，y＝19.75＜22.6，
因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，得x＝9.]
[规律方法]　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
[变式训练3]　(2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2 500　[L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]

[思想与方法]
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
[易错与防范]
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
课时分层训练(十二)　函数模型及其应用
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
【导学号：31222071】
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2 x
D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2 x，可知满足题意．]
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
D　[设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]
3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】

图2­9­2
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
A　[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]
4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)
A．85元 B．90元
C．95元 D．100元
C　[设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，
∴当x＝95时，y最大．]　
5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)
A．5　　　　 B．8
C．9　　　　 D．10
A　[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，
由题可知m＝k－5＝5，故选A.]


二、填空题
6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
【导学号：31222073】

图2­9­3
20　[设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.]
7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8　[设过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]
8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
24　[由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.]
三、解答题
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解]　(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，2分
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10).5分
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，7分
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立，10分
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.12分
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解]　(1)设旅行团人数为x，由题得0 飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝5分
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝8分
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为单调增函数，
故当x＝30时，S取最大值12 000元，
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，
当x＝60时，取得最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是(　　)
A.　　　　 B.
C．2　　　　 D.
A　[由题目可知加密密钥y＝kx3是一个幂函数型，由已知可得，当x＝4时，y＝2，即2＝k×43，解得k＝＝.故y＝x3，显然令y＝，则＝x3，即x3＝，解得x＝.]
2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个. 【导学号：31222074】
y＝4x　1 024　[设原有1个病毒，
经过1个30分钟有2＝21个病毒；
经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；
经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；
……
经过个30分钟有22x＝4x个病毒，
∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y＝4x，
∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]
3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；
(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．
[解]　(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，2分
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，
∴2t＝2，即t＝1，
∴经过1 min，物体的温度为5 ℃.5分
(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，
即m·2t＋≥2恒成立，
亦即m≥2恒成立.7分
令＝x，则0 ∴m≥2(x－x2).10分
∵x－x2＝－2＋≤，∴m≥.
因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m的取值范围是.12分