(新高考)高考数学一轮复习第13讲《函数模型及其应用》达标检测(解析版)

《函数模型及其应用》达标检测

[A组]—应知应会

1．(2019·湖北荆、荆、襄、宜四地联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况.

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)

A．6升　　　　　　　　　　 B．8升

C．10升  D．12升

【解析】　因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝10(升)．故选C.

2.(·广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)

【解析】函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B.

3．（2019·芜湖质检）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)

A．8  B．9

C．10  D．11

【解析】　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由＜，得n≥10，

所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.

4. (·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)

A．x＝15，y＝12   B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10   D．x＝10，y＝14

【解析】　由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，

所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，

所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．

5．(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个论断则一定正确的是(　　 )

A．0点到3点只进水不出水

B．3点到4点不进水只出水

C．3点到4点总蓄水量降低

D．4点到6点不进水不出水

【解析】　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错．

6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6  B．9

C．8  D．7

【解析】　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，由nlg≤－lg 20，即n(lg 2－ln 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥≈7.4，所以选B、C.

7．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

【解析】∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

【解析】前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

9．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又 x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．

(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤a 恒成立，x≤，又a≥120，所以＝15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.

10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．

【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e，

∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.

当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.

即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.

11. (2019·咸宁质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

解　(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4≤x≤20时，设v＝ax＋b，a≠0，

显然v＝ax＋b在[4,20]内是减函数，

由已知得解得

所以v＝－x＋，

故函数v＝

(2)设年生长量为f (x)千克/立方米，依题意并由(1)可得

f (x)＝

当0<x≤4时，f (x)为增函数，故f (x)max＝f (4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f (x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f (x)max＝f (10)＝12.5.

所以当0<x≤20时，f (x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

12．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；

(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？

解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝＝24，得k＝2 400，

所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．

(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5，

当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，

所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．

[B组]—强基必备

(2019·安徽皖东名校联盟)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.

(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；

(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．

【解析】(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2]．

(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是＞0.2，不符合公司的要求．

当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.

由≤0.2可知y－0.2x≤0.

令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝＜0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．