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高三数学一轮复习： 第2章 第9节 函数模型及其应用
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这是一份高三数学一轮复习： 第2章 第9节 函数模型及其应用，共8页。
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlgax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)幂函数增长比直线增长更快．( )
(3)不存在x0，使ax0＜xeq \\al(n,0)＜lgax0.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B.200只
C．300只 D.400只
B [由题意知100＝alg3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100lg3(x＋1)，当x＝8时，y＝100lg3 9＝200.]
3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x B.y＝lg2x
C．y＝eq \f(1,2)(x2－1) D.y＝2.61cs x
B [由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝lg23∈(1,2)，C中y＝eq \f(1,2)(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cs 3＜0，不合要求，故选B.]
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
【导学号：01772069】
B [由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
eq \r(1＋p1＋q)－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.]
(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
A B C D
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
【导学号：01772070】
A B C D
(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.
(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4[规律方法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]
某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)
① ②
图291
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2eq \r(x)(x≥0).3分
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq \r(9)＝6，
所以总利润y＝8.25万元.5分
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝eq \f(1,4)(18－x)＋2eq \r(x)，0≤x≤18.7分
令eq \r(x)＝t，t∈[0,3eq \r(2)]，
则y＝eq \f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq \f(1,4)(t－4)2＋eq \f(17,2).
所以当t＝4时，ymax＝eq \f(17,2)＝8.5，9分
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B.11元
C．10.5元 D.10元
A [根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)(20－5)＝11.5，故选A.]
(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B.2019年
C．2020年 D.2021年
(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)B (2)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*) 16 [(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>eq \f(20,13)，两边取常用对数，得n>eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝eq \f(19,5)，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
(2)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，
x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润．]
[规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2 500 [L(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2－10Q－2 000＝－eq \f(1,20)Q2＋30Q－2 000＝－eq \f(1,20)(Q－300)2＋2 500.
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]
[思想与方法]
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
[易错与防范]
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝lgax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有lgax＜xn＜ax
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
用函数图象刻画变化过程
应用所给函数模型解决实际问题
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
构建函数模型解决实际问题
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlgax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)幂函数增长比直线增长更快．( )
(3)不存在x0，使ax0＜xeq \\al(n,0)＜lgax0.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B.200只
C．300只 D.400只
B [由题意知100＝alg3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100lg3(x＋1)，当x＝8时，y＝100lg3 9＝200.]
3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x B.y＝lg2x
C．y＝eq \f(1,2)(x2－1) D.y＝2.61cs x
B [由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝lg23∈(1,2)，C中y＝eq \f(1,2)(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cs 3＜0，不合要求，故选B.]
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
【导学号：01772069】
B [由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
eq \r(1＋p1＋q)－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.]
(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
A B C D
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
【导学号：01772070】
A B C D
(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.
(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]
某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)
① ②
图291
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2eq \r(x)(x≥0).3分
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq \r(9)＝6，
所以总利润y＝8.25万元.5分
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝eq \f(1,4)(18－x)＋2eq \r(x)，0≤x≤18.7分
令eq \r(x)＝t，t∈[0,3eq \r(2)]，
则y＝eq \f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq \f(1,4)(t－4)2＋eq \f(17,2).
所以当t＝4时，ymax＝eq \f(17,2)＝8.5，9分
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B.11元
C．10.5元 D.10元
A [根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)(20－5)＝11.5，故选A.]
(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B.2019年
C．2020年 D.2021年
(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)B (2)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*) 16 [(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>eq \f(20,13)，两边取常用对数，得n>eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝eq \f(19,5)，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
(2)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，
x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润．]
[规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2 500 [L(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2－10Q－2 000＝－eq \f(1,20)Q2＋30Q－2 000＝－eq \f(1,20)(Q－300)2＋2 500.
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]
[思想与方法]
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
[易错与防范]
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝lgax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有lgax＜xn＜ax
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
用函数图象刻画变化过程
应用所给函数模型解决实际问题
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
构建函数模型解决实际问题
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