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高考数学一轮复习 第4章 重点强化课2 平面向量
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这是一份高考数学一轮复习 第4章 重点强化课2 平面向量，共12页。
(1)(2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))，则λ＋μ＝( )
图1
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8)D．2
(2)在▱ABCD中，AB＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b,3eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)
【导学号：31222163】
(1)B (2)－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b [(1)因为eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))＝λ(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up8(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up8(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.
(2)如图所示，eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))＋eq \(CN,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(BA,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a－eq \f(3,4)b＝－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b.]
[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．O在AB外，A，B，C三点共线，且eq \(OA,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋μeq \(OC,\s\up8(→))，则有λ＋μ＝1.
[对点训练1] 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为D为AB的中点，
则eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))，
又eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
所以eq \(OD,\s\up8(→))＝－eq \(OC,\s\up8(→))，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
则eq \f(S△ABC,SAOC)＝4.]
重点2 平面向量数量积的综合应用
(2016·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝
2|eq \(PN,\s\up8(→))|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))，求f(a)的取值范围．
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则eq \(PM,\s\up8(→))＝(4－x，－y)，eq \(PN,\s\up8(→))＝(1－x，－y)．
∵动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝2|eq \(PN,\s\up8(→))|，
∴eq \r(4－x2＋y2)＝2eq \r(1－x2＋y2)，
整理得x2＋y2＝4.4分
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，eq \r(4－a2))，B(a，－eq \r(4－a2))，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(0，eq \r(4－a2))·(0，－eq \r(4－a2))＝a2－4；6分
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq \f(k2a2－4,1＋k2)，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分
∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，
∴－2∴－4≤a2－4<0，∴f(a)的取值范围是[－4,0).12分
[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．
2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．
[对点训练2] (1)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(2)
C.eq \r(2)＋1D.eq \r(2)＋2
(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝eq \f(π,3)，点P满足AP＝λeq \(AB,\s\up8(→))，λ∈R，若eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(CP,\s\up8(→))＝－3，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
(1)C (2)A [(1)∵a，b是单位向量，且a·b＝0，
∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
∴|a＋b|＝eq \r(2).又|c－a－b|＝1，
∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1.
从而|c|≤|a＋b|＋1＝eq \r(2)＋1，∴|c|的最大值为eq \r(2)＋1.
(2)法一：由题意可得eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2×2cs 60°＝2，
eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(CP,\s\up8(→))＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·(eq \(BP,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→)))
＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·[(eq \(AP,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))－eq \(BC,\s\up8(→))]
＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·[(λ－1)·eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))]
＝(1－λ)eq \(BA,\s\up8(→))2－eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＋(1－λ)eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，
∴λ＝eq \f(1,2)，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq \r(3))，D(－1，eq \r(3))．
令P(x,0)，由BD·eq \(CP,\s\up8(→))＝(－3，eq \r(3))·(x－1，－eq \r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，得x＝1.
∵eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，∴λ＝eq \f(1,2).故选A.]
重点3 平面向量与三角函数的综合应用
(2017·合肥二次质检)已知m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，1))，n＝(cs x,1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调增区间．
[解] (1)由m∥n得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－cs x＝0，3分
展开变形可得sin x＝eq \r(3)cs x，即tan x＝eq \r(3).5分
(2)f(x)＝m·n＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(3,4)，7分
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得
－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.10分
又因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).12分
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[对点训练3] 已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(3sin α，cs α)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(2sin α，5sin α－4cs α)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，则tan α的值为( )
【导学号：31222165】
A．－eq \f(4,3)B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(3,4)
A [由题意知6sin2α＋cs α·(5sin α－4cs α)＝0，即6sin2α＋5sin αcs α－4cs2α＝0，上述等式两边同时除以cs2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
则tan α<0，解得tan α＝－eq \f(4,3)，故选A.]
重点强化训练(二) 平面向量
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
【导学号：31222166】
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]
2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cs α，sin α)，若|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(13)，α∈(0，π)，则eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为( ) 【导学号：31222167】
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2,3)π D.eq \f(5,6)π
A [由题意，得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋cs α，sin α)，
所以|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(3＋cs α2＋sin2α)
＝eq \r(10＋6cs α)＝eq \r(13)，
即cs α＝eq \f(1,2)，
因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,2)\r(3),3×1)＝eq \f(\r(3),2).
因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).]
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝eq \r(3)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值是 ( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,4) D．0
A [取AB的中点C，连接OC，AB＝eq \r(3)，
则AC＝eq \f(\r(3),2)，又因为OA＝1，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)∠AOB))＝sin∠AOC＝eq \f(AC,OA)＝eq \f(\r(3),2)，
所以∠AOB＝120°，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1×1×cs 120°＝－eq \f(1,2).]
二、填空题
6．设O是坐标原点，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(10，k)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．
【导学号：31222168】
11或－2 [由题意得eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(k－4,7)，
eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(6，k－5)，
所以(k－4)(k－5)＝6×7，
k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]
7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))
－eq \(OB,\s\up6(→))|，其中O为原点，则正实数a的值为________．
2 [由|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|，知eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
∴|AB|＝2eq \r(2)，则得点O到AB的距离d＝eq \r(2)，
∴eq \f(|0×1＋1×0－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2(a>0)．]
8．在△ABC中，BC＝2，A＝eq \f(2π,3)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最小值为________．
－eq \f(2,3) [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs eq \f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤eq \f(4,3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs eq \f(2π,3)≥－eq \f(2,3)，(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)))min＝－eq \f(2,3)，当且仅当AB＝AC时等号取得．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R). 【导学号：31222169】
(1)若m＝n＝eq \f(2,3)，求|eq \(OP,\s\up6(→))|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝eq \f(2,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(1,2)＋eq \f(2,3)(2,1)＝(2,2)，3分
∴|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).5分
(2)∵eq \(OP,\s\up6(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))8分
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分
10．设向量a＝(eq \r(3)sin x，sin x)，b＝(cs x，sin x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(eq \r(3)sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cs x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，从而sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝eq \f(π,6).5分
(2)f(x)＝a·b＝eq \r(3)sin x·cs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，8分
当x＝eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))取最大值1.
所以f(x)的最大值为eq \f(3,2).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )
A．－4 B．3
C．－11 D．10
C [a·b＝2×3×cs 60°＝3，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－OA＝(m－1)a－2b.
∵AB⊥AC，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C.]
2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
eq \r(7) [∵a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉＝1×2×cs〈a，b〉＝1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(1，eq \r(3))．
设e＝(cs θ，sin θ)，
则|a·e|＋|b·e|＝|cs θ|＋|cs θ＋eq \r(3)sin θ|
≤|cs θ|＋|cs θ|＋|eq \r(3)sin θ|
＝2|cs θ|＋eq \r(3)|sin θ|
≤eq \r(|cs θ|2＋|sin θ|222＋3)
＝eq \r(7).]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cs x，－eq \r(3)sin 2x)，b＝(cs x,1)，x∈R.
【导学号：31222170】
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq \r(7)，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
[解] (1)f(x)＝a·b＝2cs2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，2分
令2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).5分
(2)∵f(A)＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1.7分
又eq \f(π,3)<2A＋eq \f(π,3)∵a＝eq \r(7)，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2.12分
(1)(2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))，则λ＋μ＝( )
图1
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8)D．2
(2)在▱ABCD中，AB＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b,3eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)
【导学号：31222163】
(1)B (2)－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b [(1)因为eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋μeq \(BD,\s\up8(→))＝λ(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up8(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up8(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.
(2)如图所示，eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))＋eq \(CN,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(BA,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a－eq \f(3,4)b＝－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b.]
[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．O在AB外，A，B，C三点共线，且eq \(OA,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋μeq \(OC,\s\up8(→))，则有λ＋μ＝1.
[对点训练1] 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为D为AB的中点，
则eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))，
又eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋2eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
所以eq \(OD,\s\up8(→))＝－eq \(OC,\s\up8(→))，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
则eq \f(S△ABC,SAOC)＝4.]
重点2 平面向量数量积的综合应用
(2016·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝
2|eq \(PN,\s\up8(→))|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))，求f(a)的取值范围．
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则eq \(PM,\s\up8(→))＝(4－x，－y)，eq \(PN,\s\up8(→))＝(1－x，－y)．
∵动点P满足|eq \(PM,\s\up8(→))|＝2|eq \(PN,\s\up8(→))|，
∴eq \r(4－x2＋y2)＝2eq \r(1－x2＋y2)，
整理得x2＋y2＝4.4分
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，eq \r(4－a2))，B(a，－eq \r(4－a2))，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(0，eq \r(4－a2))·(0，－eq \r(4－a2))＝a2－4；6分
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq \f(k2a2－4,1＋k2)，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up8(→))·eq \(GB,\s\up8(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分
∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，
∴－2
[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．
2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．
[对点训练2] (1)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(2)
C.eq \r(2)＋1D.eq \r(2)＋2
(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝eq \f(π,3)，点P满足AP＝λeq \(AB,\s\up8(→))，λ∈R，若eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(CP,\s\up8(→))＝－3，则λ的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
(1)C (2)A [(1)∵a，b是单位向量，且a·b＝0，
∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，
∴|a＋b|＝eq \r(2).又|c－a－b|＝1，
∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1.
从而|c|≤|a＋b|＋1＝eq \r(2)＋1，∴|c|的最大值为eq \r(2)＋1.
(2)法一：由题意可得eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2×2cs 60°＝2，
eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(CP,\s\up8(→))＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·(eq \(BP,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→)))
＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·[(eq \(AP,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))－eq \(BC,\s\up8(→))]
＝(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))·[(λ－1)·eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))]
＝(1－λ)eq \(BA,\s\up8(→))2－eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＋(1－λ)eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，
∴λ＝eq \f(1,2)，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq \r(3))，D(－1，eq \r(3))．
令P(x,0)，由BD·eq \(CP,\s\up8(→))＝(－3，eq \r(3))·(x－1，－eq \r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，得x＝1.
∵eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，∴λ＝eq \f(1,2).故选A.]
重点3 平面向量与三角函数的综合应用
(2017·合肥二次质检)已知m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，1))，n＝(cs x,1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调增区间．
[解] (1)由m∥n得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－cs x＝0，3分
展开变形可得sin x＝eq \r(3)cs x，即tan x＝eq \r(3).5分
(2)f(x)＝m·n＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(3,4)，7分
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得
－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.10分
又因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).12分
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[对点训练3] 已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(3sin α，cs α)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(2sin α，5sin α－4cs α)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，则tan α的值为( )
【导学号：31222165】
A．－eq \f(4,3)B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(3,4)
A [由题意知6sin2α＋cs α·(5sin α－4cs α)＝0，即6sin2α＋5sin αcs α－4cs2α＝0，上述等式两边同时除以cs2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
则tan α<0，解得tan α＝－eq \f(4,3)，故选A.]
重点强化训练(二) 平面向量
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
【导学号：31222166】
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]
2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cs α，sin α)，若|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(13)，α∈(0，π)，则eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为( ) 【导学号：31222167】
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2,3)π D.eq \f(5,6)π
A [由题意，得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋cs α，sin α)，
所以|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(3＋cs α2＋sin2α)
＝eq \r(10＋6cs α)＝eq \r(13)，
即cs α＝eq \f(1,2)，
因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,2)\r(3),3×1)＝eq \f(\r(3),2).
因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).]
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝eq \r(3)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值是 ( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,4) D．0
A [取AB的中点C，连接OC，AB＝eq \r(3)，
则AC＝eq \f(\r(3),2)，又因为OA＝1，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)∠AOB))＝sin∠AOC＝eq \f(AC,OA)＝eq \f(\r(3),2)，
所以∠AOB＝120°，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1×1×cs 120°＝－eq \f(1,2).]
二、填空题
6．设O是坐标原点，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(10，k)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．
【导学号：31222168】
11或－2 [由题意得eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(k－4,7)，
eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(6，k－5)，
所以(k－4)(k－5)＝6×7，
k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]
7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))
－eq \(OB,\s\up6(→))|，其中O为原点，则正实数a的值为________．
2 [由|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|，知eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
∴|AB|＝2eq \r(2)，则得点O到AB的距离d＝eq \r(2)，
∴eq \f(|0×1＋1×0－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2(a>0)．]
8．在△ABC中，BC＝2，A＝eq \f(2π,3)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最小值为________．
－eq \f(2,3) [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs eq \f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤eq \f(4,3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs eq \f(2π,3)≥－eq \f(2,3)，(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)))min＝－eq \f(2,3)，当且仅当AB＝AC时等号取得．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R). 【导学号：31222169】
(1)若m＝n＝eq \f(2,3)，求|eq \(OP,\s\up6(→))|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝eq \f(2,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(1,2)＋eq \f(2,3)(2,1)＝(2,2)，3分
∴|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).5分
(2)∵eq \(OP,\s\up6(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))8分
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分
10．设向量a＝(eq \r(3)sin x，sin x)，b＝(cs x，sin x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(eq \r(3)sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cs x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，从而sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝eq \f(π,6).5分
(2)f(x)＝a·b＝eq \r(3)sin x·cs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，8分
当x＝eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))取最大值1.
所以f(x)的最大值为eq \f(3,2).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )
A．－4 B．3
C．－11 D．10
C [a·b＝2×3×cs 60°＝3，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－OA＝(m－1)a－2b.
∵AB⊥AC，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C.]
2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
eq \r(7) [∵a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉＝1×2×cs〈a，b〉＝1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(1，eq \r(3))．
设e＝(cs θ，sin θ)，
则|a·e|＋|b·e|＝|cs θ|＋|cs θ＋eq \r(3)sin θ|
≤|cs θ|＋|cs θ|＋|eq \r(3)sin θ|
＝2|cs θ|＋eq \r(3)|sin θ|
≤eq \r(|cs θ|2＋|sin θ|222＋3)
＝eq \r(7).]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cs x，－eq \r(3)sin 2x)，b＝(cs x,1)，x∈R.
【导学号：31222170】
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq \r(7)，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
[解] (1)f(x)＝a·b＝2cs2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，2分
令2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).5分
(2)∵f(A)＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1.7分
又eq \f(π,3)<2A＋eq \f(π,3)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2.12分
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